Galoistheorie

Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Algebra. In klassischer Sicht beschäftigt sich die Galoistheorie mit den Symmetrien der Nullstellen von Polynomen. Diese Symmetrien können grundsätzlich durch Gruppen von Permutationen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, beschrieben werden. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werden Körpererweiterungen mit Hilfe ihrer Galoisgruppe untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa

1. „Welche regelmäßigen Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?“,
2. „Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?“ (wieder nur mit Zirkel und Lineal),
3. „Warum kann zu einem Würfel nicht die Seite eines Würfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden?“ (auch „Delisches Problem (der Kubusverdopplung)“ genannt),
4. „Warum kann man zu einem Kreis kein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren, das heißt, warum ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich?“ und
5. „Warum gibt es keine allgemeingültige Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?“ (Der Satz von Abel-Ruffini).