Produktregel

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Zum Beispiel kann mit der Produktregel die Ableitung der Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}\cdot \ln(x)}$ schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Faktoren ${\displaystyle x^{2}}$ und ${\displaystyle \ln(x)}$ schon bekannt sind, die sich als ${\displaystyle 2\cdot x}$ sowie ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ berechnen lassen mithilfe der Ableitungsregeln elementarer Funktionen. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende mathematische Satz besagt, dass Differenzierbarkeit, also die Eigenschaft von Funktionen, eine Ableitungsfunktion zu haben, stabil unter Produktbildung ist. Wenn also Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ (in einem Punkt) differenzierbar sind, dann auch ihr Produkt ${\displaystyle f\cdot g}$.

Das Analogon hinsichtlich Addition ist die Summenregel und das Analogon hinsichtlich der Division ist die Quotientenregel.

Im Rahmen der Integralrechnung kann die Produktregel dazu verwendet werden, die partielle Integration herzuleiten. Ähnlich wie die Integration gemäß dem Fundamentalsatz der Analysis als Umkehroperator der Differentiation gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration dem Umkehroperator der Produktregel.