U(1)-Hauptfaserbündel

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel (auch ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$-Hauptfaserbündel) sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der ersten unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ (isomorph zur zweiten speziell orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$) als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der eindimensionalen Sphäre, dadurch sind ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel insbesondere Sphärenbündel, jedoch mit einer zusätzlichen Gruppenwirkung.

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa bei der Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen oder der Monopol-Floer-Homologie. Da ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ die Eichgruppe der elektromagnetischen Wechselwirkung ist, sind ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung. Konkret sind die ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Yang-Mills-Gleichungen genau die Maxwell-Gleichungen. Insbesondere können ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel über der zweidimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$ (wozu die komplexe Hopf-Faserung gehört) zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole in drei Dimensionen, genannt Dirac-Monopole, verwendet werden, siehe auch zweidimensionale Yang-Mills-Theorie und Wu-Yang-Korrespondenz.