Kurs:Analysis/Teil I/4/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow N.}$

2. Eine Teilfolge einer Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Das Maximum der Funktion

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

   wird im Punkt ${\displaystyle {}x\in M}$ angenommen.

4. Die Potenzreihe in ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ zu den Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{n}\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
5. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem beschränkten Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

6. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Die Division mit Rest im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Satz über partielle Integration.

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis ${\displaystyle {}3:10^{7}}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums ${\displaystyle {}21}$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm ${\displaystyle {}2}$ Quadratzentimeter einnimmt.

1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?

Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist ${\displaystyle {}10^{7}/3}$, der umgekehrte Faktor ist ${\displaystyle {}3\cdot 10^{-7}}$.

1. Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist

   ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}\cdot 21cm=7cm=7\cdot 10^{-2}m\,.}$

   Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich ${\displaystyle {}7\cdot 10^{-2}\cdot 3\cdot 10^{-7}=21\cdot 10^{-9}=2,1\cdot 10^{-8}}$ in Meter, also ${\displaystyle {}21}$ Nanometer.

2. Der Flächeninhalt im Mikroskop ist

   ${\displaystyle {}2cm^{2}=2\cdot 10^{-4}m^{2}\,.}$

   Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich

   ${\displaystyle {}2\cdot 10^{-4}\cdot {\left(3\cdot 10^{-7}\right)}^{2}=18\cdot 10^{-18}\,}$

   Quadratmeter.

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${\displaystyle {}b=7}$ mit dem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}=3}$ durch (es sollen also die Approximationen ${\displaystyle {}x_{1},x_{2},x_{3}}$ für ${\displaystyle {}{\sqrt {7}}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Die Formel für ${\displaystyle {}x_{n+1}}$ lautet

${\displaystyle {}x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.}$

Schließlich ist

${\displaystyle {}x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Es sei zunächst die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergent mit Grenzwert ${\displaystyle {}x}$. Dann ist die Folge nach Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) beschränkt. Der Grenzwert ${\displaystyle {}x}$ ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt ${\displaystyle {}y\neq x}$ geben. Für ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {\vert {x-y}\vert }{3}}}$ liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung (also ${\displaystyle ]x-\epsilon ,x+\epsilon [}$) von ${\displaystyle {}x}$, und daher kann es innerhalb der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}y}$ nur endlich viele Glieder geben.

Es sei nun die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt ${\displaystyle {}x}$. Wir behaupten, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert. Dann gibt es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ derart, dass es außerhalb der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}x}$ unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge ${\displaystyle {}x_{n_{i}}}$ gibt, die ganz außerhalb von ${\displaystyle ]x-\epsilon ,x+\epsilon [}$ verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (eine konvergente Teilfolge und) einen Häufungspunkt ${\displaystyle {}y}$ der Folge ${\displaystyle {}x_{n_{i}}}$, der auch ein Häufungspunkt von ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ ist. Dabei ist ${\displaystyle {}x\neq y}$, da es in der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}x}$ überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge ${\displaystyle {}x_{n_{i}}}$ gibt.

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${\displaystyle {}k_{0}=0}$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${\displaystyle {}a_{k}}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist

${\displaystyle {}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.}$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

Es seien die beiden Polynome

${\displaystyle P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7}$

gegeben.

a) Berechne ${\displaystyle {}P(Q)}$ (es soll also ${\displaystyle {}Q}$ in ${\displaystyle {}P}$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${\displaystyle {}P(Q)}$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P(Q)&=(X^{2}-4X+7)^{2}+3(X^{2}-4X+7)-5\\&=X^{4}+16X^{2}+49-8X^{3}+14X^{2}-56X+3X^{2}-12X+21-5\\&=X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65.\end{aligned}}}$

b) Die Ableitung von ${\displaystyle {}P(Q)}$ ist

${\displaystyle {}(X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65)^{\prime }=4X^{3}-24X^{2}+66X-68\,.}$

Es ist ${\displaystyle {}P'=2X+3}$ und

${\displaystyle {}P'(Q)=2(X^{2}-4X+7)+3=2X^{2}-8X+17\,.}$

Nach der Kettenregel ist daher

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(P(Q))^{\prime }&=P'(Q)\cdot Q'\\&=(2X^{2}-8X+17)(2X-4)\\&=4X^{3}-8X^{2}-16X^{2}+32X+34X-68\\&=4X^{3}-24X^{2}+66X-68.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ und seien

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

stetige Funktionen mit

${\displaystyle {}f(a)>g(a)\,.}$

Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}f(x)>g(x)\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in [a-\delta ,a+\delta ]}$ gilt.

Sei

${\displaystyle {}c:=f(a)-g(a)>0\,.}$

Da ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ stetig sind, gibt es zu

${\displaystyle {}\epsilon :={\frac {c}{3}}\,}$

positive Zahlen ${\displaystyle {}\delta _{1}}$ bzw. ${\displaystyle {}\delta _{2}}$ derart, dass aus ${\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta _{1}}$ die Abschätzung ${\displaystyle {}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq \epsilon }$ und aus ${\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta _{2}}$ die Abschätzung ${\displaystyle {}\vert {g(x)-g(a)}\vert \leq \epsilon }$ folgt. Mit

${\displaystyle {}\delta :={\min {\left(\delta _{1},\delta _{2},\right)}}\,}$

gilt somit für jedes ${\displaystyle {}x\in [a-\delta ,a+\delta ]}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}f(x)\geq f(a)-\epsilon >g(a)+\epsilon \geq g(x)\,.}$

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${\displaystyle {}42}$ ist?

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${\displaystyle {}f(x)=x^{4}-2x^{3}=-{\sqrt {42}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}x<0}$ und ${\displaystyle {}x>2}$ ist ${\displaystyle {}f(x)=x^{3}(x-2)>0}$, es kann also allenfalls in ${\displaystyle {}[0,2]}$ eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ${\displaystyle {}f}$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

${\displaystyle {}f'(x)=4x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(2x-3)\,.}$

An den beiden Nullstellen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}{\frac {3}{2}}}$ sind die Werte

${\displaystyle {}f(0)=0\,}$

und

${\displaystyle {}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}{\left({\frac {3}{2}}-2\right)}={\frac {27}{8}}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=-{\frac {27}{16}}>-2>-{\sqrt {42}}\,.}$

Also ist das Minimum von ${\displaystyle {}f}$ größer als ${\displaystyle {}-{\sqrt {42}}}$ und es gibt keine Lösung.

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$.

Wenn ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar ist, so setzen wir ${\displaystyle {}s:=f'(a)}$. Für die Funktion ${\displaystyle {}r}$ muss notwendigerweise

${\displaystyle r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}}$

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in {\mathbb {K} }\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,}$

und hat den Wert ${\displaystyle {}0}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}r}$ in ${\displaystyle {}a}$ stetig ist.

Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}r}$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für ${\displaystyle {}x\neq a}$ die Beziehung

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x).}$

Da ${\displaystyle {}r}$ stetig in ${\displaystyle {}a}$ ist, muss auch der Limes links für ${\displaystyle {}x\rightarrow a}$ existieren.

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

b)

${\displaystyle {}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.}$

c)

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

a) Es ist ${\displaystyle {}\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z}$ nach [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]]. Daher ist

${\displaystyle {}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,,}$

da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus

${\displaystyle {}1=\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}+\cos ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=2\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}\sin ^{2}{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{2}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{4}}>0}$ ist, ist

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sin \left(3\alpha \right)&=\cos \alpha \sin \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\alpha \right)\sin \alpha \\&=\cos \alpha {\left(2\cos \alpha \sin \alpha \right)}+{\left(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\sin \alpha \\&=\sin \alpha {\left(3\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}\\&=\sin \alpha {\left(4\cos ^{2}\alpha -1\right)}.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle {}\alpha ={\frac {\pi }{3}}}$ ist also

${\displaystyle {}0=\sin \pi =\sin {\frac {\pi }{3}}{\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\right)}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{3}}\neq 0\,}$

ist somit

${\displaystyle {}0=4\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}-1\,,}$

woraus sich

${\displaystyle {}\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}\,}$

ergibt. Da ${\displaystyle {}\cos {\frac {\pi }{3}}}$ positiv ist, folgt

${\displaystyle {}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.}$

c) Aus

${\displaystyle {}1=\cos ^{2}{\frac {\pi }{3}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{4}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}\,}$

folgt

${\displaystyle {}\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}={\frac {3}{4}}\,,}$

woraus sich wegen der Positivität von ${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{3}}}$ schließlich

${\displaystyle {}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$

ergibt.

Bestimme für die Funktion

${\displaystyle f(x)=2^{x}+{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{x}}$

die Extrema.

Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+3^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 3}.\end{aligned}}}$

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

${\displaystyle {}f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 3)e^{-x\ln 3}\,.}$

Die Bedingung ${\displaystyle {}f'(x)=0}$ führt durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}e^{x\ln 3}}$ auf

${\displaystyle {}0=(\ln 2)e^{x(\ln 2+\ln 3)}-\ln 3\,.}$

Daher muss

${\displaystyle {}e^{x\ln 6}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}\,}$

sein, woraus sich

${\displaystyle {}x\ln 6=\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}\,,}$

also

${\displaystyle {}x={\frac {\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}}{\ln 6}}\,}$

ergibt. Die zweite Ableitung ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2)^{2}e^{x\ln 2}+(\ln 3)^{2}e^{-x\ln 3}\\\end{aligned}}}$

und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.

Berechne das bestimmte Integral

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.}$

Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution

${\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{5x+1}}\,}$

mit der Umkehrfunktion

${\displaystyle {}x={\frac {y^{3}-1}{5}}\,}$

und

${\displaystyle {}dx={\frac {3y^{2}}{5}}dy\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx&=\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}{\frac {\frac {y^{3}-1}{5}}{y}}\cdot {\frac {3y^{2}}{5}}dy\\&={\frac {3}{25}}\int _{1}^{\sqrt[{3}]{6}}y^{4}-ydy\\&={\frac {3}{25}}[{\frac {1}{5}}y^{5}-{\frac {1}{2}}y^{2}]_{1}^{\sqrt[{3}]{6}}\\&={\frac {3}{25}}{\left({\frac {1}{5}}{\sqrt[{3}]{6}}^{5}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{6}}^{2}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&={\frac {3}{125}}6^{\frac {5}{3}}-{\frac {3}{50}}6^{\frac {2}{3}}+{\frac {9}{250}}.\end{aligned}}}$

Beweise, dass eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

Riemann-integrierbar ist.

Die stetige Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist auf dem kompakten Intervall ${\displaystyle {}[a,b]}$ beschränkt nach Korollar 13.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für ${\displaystyle {}f}$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ${\displaystyle {}\leq \epsilon }$ ist. Nach Lemma 14.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${\displaystyle {}f}$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu ${\displaystyle {}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}x,x'\in I}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta }$ die Abschätzung ${\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '}$ gilt. Es sei nun ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ so, dass ${\displaystyle {}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta }$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten ${\displaystyle {}a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}}$. Auf den Teilintervallen ${\displaystyle {}[a_{i-1},a_{i}]}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, ist der Abstand zwischen dem Maximum

${\displaystyle t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}}$

und dem Minimum

${\displaystyle s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}}$

kleiner/gleich ${\displaystyle {}\epsilon '}$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

${\displaystyle t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}}$

und

${\displaystyle s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}}$

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu ${\displaystyle {}f}$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.}$

Zeige, dass

${\displaystyle {}y(t):={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\,}$

die logistische Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'=y(5-3y)\,}$

und die Anfangsbedingung ${\displaystyle {}y(0)=1}$ erfüllt.

Es ist einerseits

${\displaystyle {}y'(t)={\frac {-5\cdot 2\cdot (-5)\cdot e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\,}$

und andererseits ebenso

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y(t)(5-3y(t))&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}{\left(5-3{\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\right)}\\&={\frac {25}{2e^{-5t}+3}}-{\frac {75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {25(2e^{-5t}+3)-75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Ferner ist

${\displaystyle {}y(0)={\frac {5}{2e^{0}+3}}={\frac {5}{2+3}}=1\,.}$