Kurs:Differentialgeometrie/5/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) einer (als Abbildung nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$) zweimal stetig differenzierbaren Kurve

   ${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow Y}$

   in eine differenzierbare Hyperfläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

2. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${\displaystyle {}X}$.
3. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N,}$

   wobei ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

4. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$.
5. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform ${\displaystyle {}\omega }$ auf einer ${\displaystyle {}n}$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
6. Eine geodätische Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$.
2. Die Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten.
3. Der Satz über die Gaußkrümmung und die Schnittkrümmung auf einer differenzierbaren Fläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ${\displaystyle {}v\in T_{P}Z}$ ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser ${\displaystyle {}Z}$ zu ${\displaystyle {}\varphi }$ durch ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow Z}$

(für ein geeignetes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$) mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ und mit

${\displaystyle {}\gamma '(t)=v\,}$

gibt.

Es ist ${\displaystyle {}v\in T_{P}Z=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}}$. Nach dem Satz über implizite Abbildungen gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}P\in W}$, ${\displaystyle {}W\subseteq G}$, eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W}$

derart, dass ${\displaystyle {}\psi (V)\subseteq Z\cap W}$ ist und ${\displaystyle {}\psi }$ eine Bijektion

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow Z\cap W}$

induziert. Es sei ${\displaystyle {}Q\in V}$ der Punkt mit ${\displaystyle {}\psi (Q)=P}$. Die Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ ist in jedem Punkt ${\displaystyle {}Q\in V}$ regulär und für das totale Differential von ${\displaystyle {}\psi }$ gilt

${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,,}$

also

${\displaystyle {}\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=T_{P}Y\,.}$

Wegen der Regularität von ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}Q}$ ist

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

injektiv und

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-m}\longrightarrow T_{P}Y}$

bijektiv. Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} ^{n-m}}$ das Urbild von ${\displaystyle {}v}$ und sei

${\displaystyle \theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m},\,t\longmapsto Q+tu,}$

wobei ${\displaystyle {}\epsilon }$ hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in ${\displaystyle {}V}$ liegt. Dann besitzt

${\displaystyle \gamma =\psi \circ \theta \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

die Eigenschaft

${\displaystyle {}\gamma (0)=\psi (\theta (0))=\psi (Q)=P\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma '(0)=\left(D\psi \right)_{Q}(\theta '(0))=\left(D\psi \right)_{Q}(u)=v\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}R}$ positive reelle Zahlen mit ${\displaystyle {}0<r<R}$. Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus

${\displaystyle {}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}R+z^{2}+R^{2}\,}$

und ${\displaystyle {}T=h^{-1}(r^{2})}$. Der Gradient von ${\displaystyle {}h}$ ist

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,h=2{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.}$

Das Einheitsnormalenfeld ist daher

${\displaystyle {}N(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {{\left(x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.}$

Man erläutere die Relevanz des Satzes über implizite Abbildungen für den Aufbau der Theorie der Mannigfaltigkeiten.

Beweise den Satz über die Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung.

Für Vektoren ${\displaystyle {}v,w\in T_{P}Y}$ ist

${\displaystyle {}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,}$

zu zeigen. Mit ${\displaystyle {}N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}}$ ist gemäß Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor ${\displaystyle {}v}$ steht. Mit Koordinatenfunktionen ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}}$

Der obige Ausdruck ist somit gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}}$

Nach Satz 44.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von ${\displaystyle {}v}$ und ${\displaystyle {}w}$ vertauschen kann.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein kompakter Raum und es sei ${\displaystyle {}Y\subseteq X}$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${\displaystyle {}Y}$ ebenfalls kompakt ist.

Es sei

${\displaystyle {}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,}$

eine Überdeckung mit offenen Teilmenge ${\displaystyle {}V_{i}\subseteq Y}$. Dies bedeutet, dass es offene Mengen ${\displaystyle {}U_{i}\subseteq X}$ gibt mit ${\displaystyle {}V_{i}=Y\cap U_{i}}$. Daher ist

${\displaystyle {}Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}\,.}$

Wegen der Abgeschlossenheit von ${\displaystyle {}Y}$ in ${\displaystyle {}X}$ ist ${\displaystyle {}X\setminus Y}$ offen und daher ist

${\displaystyle {}X=Y\cup (X\setminus Y)=\bigcup _{i\in I}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,}$

eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$. Wegen der Kompaktheit von ${\displaystyle {}X}$ gibt es eine endliche Teilüberdeckung

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,.}$

Dies bedeutet wiederum

${\displaystyle {}Y=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.}$

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$ und einem Punkt ${\displaystyle {}P\in M}$ derart, dass ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M\setminus \{P\}}$ zueinander diffeomorph sind.

Es sei

${\displaystyle {}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {N} _{+}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0),(2,0),(3,0),\ldots \}\,,}$

es werden also aus dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ die auf der ${\displaystyle {}x}$-Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}y\geq 0}$ durch einen geraden Weg mit ${\displaystyle {}(0,1)}$ und jeden Punkt aus ${\displaystyle {}M}$ mit ${\displaystyle {}y\leq 0}$ durch einen geraden Weg mit ${\displaystyle {}(0,-1)}$ verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun

${\displaystyle {}P=(0,0)\,}$

und

${\displaystyle {}M'=M\setminus \{P\}\,.}$

Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x-1,y),}$

ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von ${\displaystyle {}M}$ ist genau ${\displaystyle {}M'}$. Daher sind ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M'=M\setminus \{P\}}$ zueinander diffeomorph.

Man gebe für jeden Tangentialvektor ${\displaystyle {}v\in T_{P}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =1}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow S^{2}}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$. Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

mit

${\displaystyle {}\gamma (t)={\left(\cos t\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin t\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1\,,}$

der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist

${\displaystyle {}\gamma (0)={\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma '(0)=-{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

Wir betrachten die Standardparabel ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(t,\,t^{2}\right),}$

die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion ${\displaystyle {}g(t)=g_{11}(t)}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g(t)&=\left\langle T_{t}\varphi (1),T_{t}\varphi (1)\right\rangle _{Y,\varphi (t)}\\&=\left\langle \varphi '(t),\varphi '(t)\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2t\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=1+4t^{2}.\end{aligned}}}$

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\tau }$ zu

${\displaystyle {}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,}$

unter der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).}$

Es ist

${\displaystyle {}dx=d(r^{2}s)=2rsdr+r^{2}ds\,,}$

${\displaystyle {}dy=dt\,,}$

${\displaystyle {}dz=d(\sin r)=\cos rdr\,}$

und

${\displaystyle {}dw=d(e^{st})=se^{st}dt+te^{st}ds\,.}$

Damit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\tau &=d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(\sin r)-e^{st}d(r^{2}s)\wedge dt\wedge d(e^{st})\\&\,\,\,\,+\cos(r^{2}st)d(r^{2}s)\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})-te^{st}dt\wedge d(\sin r)\wedge d(e^{st})\\&=r^{2}\cos(r^{2}st)\cos rds\wedge dt\wedge dr-2rste^{st}e^{st}dr\wedge dt\wedge ds\\&\,\,\,\,+r^{2}se^{st}\cos rds\wedge dr\wedge dt-t^{2}e^{st}e^{st}\cos rdt\wedge dr\wedge ds\\&=(r^{2}\cos r+2rste^{2st}-r^{2}se^{st}\cos(r^{2}st)\cos r-t^{2}e^{2st}\cos r)dr\wedge ds\wedge dt\end{aligned}}}$

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

${\displaystyle \gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),}$

und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),}$

und die Differentialform

${\displaystyle {}\omega =xdx-zdy+dz\,}$

auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ zum Weg ${\displaystyle {}\gamma }$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${\displaystyle {}\omega }$ zum Weg ${\displaystyle {}\varphi \circ \gamma }$.

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}}$

b) Das Wegintegral ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}}$

c) Der verknüpfte Weg ist

${\displaystyle {}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ${\displaystyle {}N\subseteq M}$ ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

${\displaystyle {}\partial N=\partial M\cap N\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}P\in N}$ und ${\displaystyle {}P\in U}$ ein Kartengebiet von ${\displaystyle {}M}$. Es sei

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

eine Karte mit einer offenen Menge ${\displaystyle {}V\subseteq H}$, ${\displaystyle {}H=\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{n-1}}$. Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

${\displaystyle N\cap U\longrightarrow \alpha (N\cap U).}$

Diese Karten nehmen wir für ${\displaystyle {}N}$. Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu ${\displaystyle {}M}$ überträgt sich direkt auf die Karten zu ${\displaystyle {}N}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in N\cap \partial M}$. Dann wird ${\displaystyle {}P}$ unter einer Karte auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet, und da die Karten für ${\displaystyle {}N}$ Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}P\in \partial N}$ ist, so ist natürlich einerseits ${\displaystyle {}P\in N\subseteq M}$. Andererseits gibt es zu ${\displaystyle {}P}$ eine Karte zu ${\displaystyle {}N}$, die durch Einschränkung von einer Karte zu ${\displaystyle {}M}$ herrührt, in der ${\displaystyle {}P}$ auf einen Randpunkt von ${\displaystyle {}H}$ abgebildet wird.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ die Dimension von ${\displaystyle {}M}$. Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung ***** durch

${\displaystyle T(U\times \mathbb {R} ^{n})=U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w)\cong V(U\times \mathbb {R} ^{n})}$

gegeben, wobei man die Abbildung nach ${\displaystyle {}TU}$ erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)

${\displaystyle T(\gamma )\colon I\longrightarrow TU,\,t\longmapsto (\gamma (t),\gamma '(t)),}$

und entsprechend

${\displaystyle T(T(\gamma ))\colon I\longrightarrow T(TU),\,t\longmapsto ((\gamma (t),\gamma '(t)),(\gamma '(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)))}$

(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit ${\displaystyle {}\gamma '(t)=\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}'(t)\partial _{j}}$ wird dies unter der vertikalen Projektion auf

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))\right)}\partial _{k}+\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)\partial _{k}}$

abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in ${\displaystyle {}TTM}$) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich ${\displaystyle {}0}$ sind und dies bedeutet

${\displaystyle {}\sum _{i,j}\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))+\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)=0\,}$

für ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$.