Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Eine Körpererweiterung.
3. Die Einheitengruppe in einem Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Ein Integritätsbereich.
5. Eine Linearkombination in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine Fermatsche Primzahl.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Irreduzibilitätskriterium für Polynome ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ von kleinem Grad über einem Körper.
2. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
3. Der Satz über den algebraischen Abschluss von ${\displaystyle {}K}$ zu einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Es sei ${\displaystyle {}S=\{0,1\}}$. Betrachte das Monoid ${\displaystyle {}M}$, das aus allen Abbildungen von ${\displaystyle {}S}$ nach ${\displaystyle {}S}$ besteht mit der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}\circ }$ von Abbildungen als Verknüpfung.

a) Beschreibe die Elemente in ${\displaystyle {}M}$ und erstelle eine Verknüpfungstabelle für ${\displaystyle {}M}$.

b) Bestimme sämtliche Untermonoide von ${\displaystyle {}M}$ und entscheide jeweils, ob sie kommutativ sind und ob es sich um Gruppen handelt.

a) Es gibt vier Abbildungen der zweielementigen Menge in sich selbst, nämlich die Identität ${\displaystyle {}I}$, die Vertauschung ${\displaystyle {}V}$, die durch ${\displaystyle {}V(0)=1{\text{ und }}V(1)=0}$ festgelegt ist, und die beiden konstanten Abbildungen, die wir mit ${\displaystyle {}0}$ bzw. ${\displaystyle {}1}$ bezeichnen. Die Verknüpfungstabelle, bei der im Kreuzungspunkt von der ${\displaystyle {}\varphi }$-Zeile mit der ${\displaystyle {}\psi }$-Spalte die Verknüpfung ${\displaystyle {}\varphi \circ \psi }$ (also ${\displaystyle {}\psi }$ zuerst angewendet) steht, sieht folgendermaßen aus:

${\displaystyle {}\circ }$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$
${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$
${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}0}$
${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}0}$
${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}1}$

b) Die Identität ${\displaystyle {}I}$ ist das neutrale Element des Monoids, jedes Untermonoid muss dieses Element enthalten.

Das kleinste Untermonoid ist ${\displaystyle {}\{I\}}$, das ist eine kommutative Gruppe.

${\displaystyle {}\{I,V\}}$ ist ebenfalls eine kommutative Gruppe, da ${\displaystyle {}V}$ zu sich selbst invers ist.

${\displaystyle {}\{I,0\}}$ ist ein kommutatives Untermonoid, wegen ${\displaystyle {}I\circ 0=0=0\circ I}$ und ${\displaystyle {}0\circ 0=0}$, aber keine Gruppe, da es kein inverses Element zu ${\displaystyle {}0}$ gibt.

${\displaystyle {}\{I,1\}}$ ist ebenfalls ein kommutatives Untermonoid und keine Gruppe (gleicher Grund).

${\displaystyle {}\{I,0,1\}}$ ist ein Untermonoid, da es unter der Operation abgeschlossen ist. Es ist keine Gruppe, da ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ nicht invertierbar sind. Es ist nicht kommutativ, da ${\displaystyle {}0\circ 1=0}$ und ${\displaystyle {}1\circ 0=1}$ ist. Wenn man zu ${\displaystyle {}\{I,V\}}$ noch ein Element dazu tut, so ist wegen ${\displaystyle {}V\circ 0=1}$ auch das andere drin. Daher gibt es nur noch das volle Untermonoid ${\displaystyle {}\{I,V,0,1\}}$, das weder kommutativ noch eine Gruppe ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Da ${\displaystyle {}G}$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

${\displaystyle g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots }$

eine Wiederholung geben, sagen wir ${\displaystyle g^{m}=g^{n}}$ mit ${\displaystyle m<n}$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${\displaystyle {}g^{-m}}$ und erhalten

${\displaystyle {}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.}$

Also ist die Ordnung von ${\displaystyle {}g}$ maximal gleich ${\displaystyle {}n-m}$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Es sei

${\displaystyle {}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.}$

Bestimme ${\displaystyle {}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}&=3{\left(u^{2}-2v\right)}^{2}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3{\left(u^{4}-4u^{2}v+4v^{2}\right)}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3u^{4}-12u^{2}v+12v^{2}-7u^{2}+14v+5.\end{aligned}}}$

Man finde ein Polynom

${\displaystyle {}f=a+bX+cX^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

${\displaystyle f(-1)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=-7.}$

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}a-b+c=4\,,}$

${\displaystyle {}a+b+c=0\,,}$

${\displaystyle {}a+2b+4c=-7\,.}$

${\displaystyle {}I-II}$ führt auf

${\displaystyle {}b=-2\,}$

und ${\displaystyle {}I-III}$ führt auf

${\displaystyle {}-3b-3c=11\,,}$

also

${\displaystyle {}c=-{\frac {11}{3}}-b=-{\frac {11}{3}}+2=-{\frac {5}{3}}\,}$

und somit

${\displaystyle {}a=-b-c=2+{\frac {5}{3}}={\frac {11}{3}}\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {\frac {11}{3}}-2X-{\frac {5}{3}}X^{2}.}$

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es ist

${\displaystyle {}x^{3}=3x^{2}+6x+2\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{4}&=x(3x^{2}+6x+2)\\&=3x^{3}+6x^{2}+2x\\&=3(3x^{2}+6x+2)+6x^{2}+2x\\&=x^{2}+6x+6.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)&=6x^{4}+3x^{3}+5x^{2}+5x+4\\&=6(x^{2}+6x+6)+3(3x^{2}+6x+2)+5x^{2}+5x+4\\&=6x^{2}+3x+4.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${\displaystyle {}K[X]}$ ein Hauptidealbereich ist.

Wir betrachten auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} _{+}}$ die Relation ${\displaystyle {}\sim }$, die durch

${\displaystyle {}m\sim n\,}$

festgelegt ist, falls ${\displaystyle {}m}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}n}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}m}$ teilt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   ${\displaystyle 100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.}$

3. Es sei ${\displaystyle {}Q}$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${\displaystyle {}\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })}$

   führt. Ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

1. Die Reflexivität ist klar, da ${\displaystyle {}n}$ die erste Potenz ${\displaystyle {}n=n^{1}}$ teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei ${\displaystyle {}\ell \sim m}$ und ${\displaystyle {}m\sim n}$. Dann ist ${\displaystyle {}\ell }$ ein Teiler von ${\displaystyle {}m^{r}}$ für ein gewisses ${\displaystyle {}r\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}m}$ ist ein Teiler von ${\displaystyle {}n^{s}}$ für ein gewisses ${\displaystyle {}s\in \mathbb {N} }$. Dann ist

   ${\displaystyle {}\ell a=m^{r}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}mb=n^{s}\,}$

   und daraus folgt

   ${\displaystyle {}\ell ab^{r}=m^{r}b^{r}=(mb)^{r}={\left(n^{s}\right)}^{r}=n^{sr}\,,}$

   sodass ${\displaystyle {}\ell }$ eine Potenz von ${\displaystyle {}n}$ teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso.

2. Es ist offenbar ${\displaystyle {}10\sim 100\sim 1000\sim 500}$ (es kommen jeweils die Primfaktoren ${\displaystyle {}2}$ und ${\displaystyle {}5}$ vor) und ${\displaystyle {}9\sim 27=3^{3}}$, darüber hinaus sind ${\displaystyle {}125=5^{3}}$ und ${\displaystyle {}210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$ nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil.
3. Wir betrachten die Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} }),\,n\longmapsto \{{\text{Primteiler von }}n\},}$

   die einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ die Menge der in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$ vorkommenden Primzahlen zuordnet. Es sei ${\displaystyle {}m\sim n}$. Da in einer Potenz (zu einem positiven Exponenten) die gleichen Primfaktoren vorkommen (nur ihre Vielfachheit ändert sich) folgt aus der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}m}$ eine Potenz von ${\displaystyle {}n}$ teilt, dass die Primteiler von ${\displaystyle {}m}$ in den Primteilern von ${\displaystyle {}n}$ enthalten sein müssen. Aus ${\displaystyle {}m\sim n}$ folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach Lemma 39.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es daher eine zugehörige Abbildung

   ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} }).}$

   Diese ist injektiv, da wenn von ${\displaystyle {}m}$ und ${\displaystyle {}n}$ die Primteiler übereinstimmen, dann ${\displaystyle {}m}$ eine hinreichend große Potenz von ${\displaystyle {}n}$ teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt.

4. Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich ${\displaystyle {}1}$ sind.

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}\varphi (0)=0}$. ist ${\displaystyle {}0\in I}$. Es seien ${\displaystyle {}a,b\in I}$. Das bedeutet ${\displaystyle {}\varphi (a)=0}$ und ${\displaystyle {}\varphi (b)=0}$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,}$

und daher ${\displaystyle {}a+b\in I}$.

Es sei nun ${\displaystyle {}a\in I}$ und ${\displaystyle {}r\in R}$ beliebig. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,}$

also ist ${\displaystyle {}ra\in I}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {44}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(97)}$.

Der euklidische Algorithmus liefert

${\displaystyle {}97=2\cdot 44+9\,,}$

${\displaystyle {}44=4\cdot 9+8\,,}$

${\displaystyle {}9=1\cdot 8+1\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=9-1\cdot 8\\&=9-1\cdot (44-4\cdot 9)\\&=5\cdot 9-1\cdot 44\\&=5\cdot (97-2\cdot 44)-1\cdot 44\\&=5\cdot 97-11\cdot 44.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}-11=86\,}$

das inverse Element zu ${\displaystyle {}44}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(97)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Wir starten mit ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(p)}$, das ist ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$. Dazu betrachten wir den Quotientenkörper ${\displaystyle {}K(X)=Q(K[X])}$ des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X]}$. Der Polynomring und sein Quotientenkörper enthalten ${\displaystyle {}K}$, sodass ${\displaystyle {}K(X)}$ ebenfalls die Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ besitzt. Ferner enthält ${\displaystyle {}K(X)}$ die unendlich vielen Potenzen ${\displaystyle {}X^{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, die alle untereinander verschieden sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum.

Zu einer Familie von Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle {}V}$ heißt bekanntlich

${\displaystyle {}U={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid s_{i}\in K\right\}}\,}$

der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum.

Wäre auch die folgende formal ähnliche Begriffsbildung sinnvoll:

„Zu einer Familie von Skalaren ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}}$ in ${\displaystyle {}K}$ heißt

${\displaystyle {}W={\left\{s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\mid v_{i}\in V\right\}}\,}$

der von diesen Skalaren erzeugte Untervektorraum“?

Diese Begriffsbildung ist zwar korrekt, aber mathematisch nicht sinnvoll. Wenn alle ${\displaystyle {}s_{i}=0}$ sind, so ergibt sich der Nullraum. Sobald ein ${\displaystyle {}s_{i}\neq 0}$ ist, handelt es sich bereits um den Gesamtraum ${\displaystyle {}V}$. Man kann ja dann jeden Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ als

${\displaystyle {}v=s_{i}(s_{i}^{-1}v)\,}$

schreiben.

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$

erzeugten Untervektorraumes des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$.

Die Summe der vier Vektoren ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\\3\\3\end{pmatrix}}\,.}$

Daher gehört ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$ zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,}$

also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ erzeugt und die Dimension ist ${\displaystyle {}4}$.

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Lemma 13.5 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${\displaystyle {}p}$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${\displaystyle {}K}$ den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ enthält. Damit ist aber ${\displaystyle {}K}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$, und zwar, da ${\displaystyle {}K}$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${\displaystyle {}n}$ die Dimension, ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Dann hat man eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Vektorraumisomorphie

${\displaystyle {}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,}$

und somit besitzt ${\displaystyle {}K}$ gerade ${\displaystyle {}p^{n}}$ Elemente.

Wir interessieren uns für zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden. Skizziere wesentlich verschiedene Konfigurationen von zwei Kreisen mit dieser Eigenschaft.

Es sei eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ gegeben, auf der zwei Punkte als ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ auf ${\displaystyle {}G}$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf ${\displaystyle {}G}$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.

Man zeichnet eine senkrechte Gerade ${\displaystyle {}H}$ zu ${\displaystyle {}G}$ durch den Nullpunkt. Mit dem Zirkel schlägt man Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${\displaystyle {}1}$, ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ und markiert die entsprechenden Punkte auf ${\displaystyle {}H}$ als ${\displaystyle {}1'}$, ${\displaystyle {}a'}$ und ${\displaystyle {}b'}$. Dabei wählt man ${\displaystyle {}1'}$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${\displaystyle {}a'}$ und ${\displaystyle {}b'}$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Jetzt zeichnet man die Gerade ${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}1'}$ und dazu die parallele Gerade ${\displaystyle {}P'}$ durch ${\displaystyle {}b'}$. Diese Gerade schneidet ${\displaystyle {}G}$ in genau einem Punkt ${\displaystyle {}x}$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Streckenverhältnis

${\displaystyle {}x:a=b':1'=b:1\,.}$

${\displaystyle {}x=ab}$

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${\displaystyle {}G}$ und des Kreises ${\displaystyle {}K}$, wobei ${\displaystyle {}G}$ durch die Gleichung ${\displaystyle {}y-3x+1=0}$ und ${\displaystyle {}K}$ durch den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(-2,3)}$ und den Radius ${\displaystyle {}4}$ gegeben ist.

Die Kreisgleichung ist

${\displaystyle {}(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16\,.}$

Wir lösen die Geradengleichung nach ${\displaystyle {}y}$ auf und erhalten

${\displaystyle {}y=3x-1\,.}$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten

${\displaystyle {}(x+2)^{2}+(3x-4)^{2}=x^{2}+4x+4+9x^{2}-24x+16=16\,,}$

also

${\displaystyle {}10x^{2}-20x+4=0\,}$

bzw.

${\displaystyle {}x^{2}-2x+{\frac {2}{5}}=0\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}x={\frac {2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {2}{5}}}}}{2}}={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {12}{5}}}}{2}}={\frac {2\pm 2{\sqrt {\frac {3}{5}}}}{2}}=1\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}\,.}$

Bei

${\displaystyle {}x_{1}=1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,}$

ist

${\displaystyle {}y_{1}=3{\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,}$

der erste Schnittpunkt ist also

${\displaystyle {}P_{1}=\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.}$

Bei

${\displaystyle {}x_{2}=1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,}$

ist

${\displaystyle {}y_{2}=3{\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,}$

der zweite Schnittpunkt ist also

${\displaystyle {}P_{2}=\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.}$

Wie kann man anhand einer (schulrelevanten) Situation die Beziehung zwischen Geometrie und Algebra erläutern?