Kurs:Elementare Algebra/22/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
2. Eine zyklische Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$, wobei ${\displaystyle {}R}$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
4. Eine Nebenklasse zu einem Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Das Minimalpolynom eines Elementes ${\displaystyle {}x\in L}$ in einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
2. Der Satz über die Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus.
3. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,}$

die einem Paar ${\displaystyle {}(a,b)}$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl ${\displaystyle {}b}$ ${\displaystyle {}a}$-fach hintereinander schreibt.

1. Bestimme ${\displaystyle {}7*6}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}4*13}$.
3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

Es sei ${\displaystyle {}{\left(G,\cdot ,1\right)}}$ eine Gruppe. Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in G}$ Elemente mit

${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,.}$

1. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a}$?
2. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b}$?
3. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}c}$?
4. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c}$?

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.

Berechne das Quadrat des Polynoms

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${\displaystyle {}T}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in ${\displaystyle {}T}$ durch seine Vielfachheit in ${\displaystyle {}P}$ beschränkt ist.

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {37}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Sind die reellen Zahlen ${\displaystyle {}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$?

Es sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum (${\displaystyle {}K}$ ein Körper) und seien ${\displaystyle {}U,V\subseteq W}$ Untervektorräume der Dimension ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=r}$ und ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=s}$. Es gelte ${\displaystyle {}r+s>n}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}U\cap V\neq 0}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+3X+5\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}L=\mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)}\,.}$

Stifte einen expliziten ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Algebraisomorphismus

${\displaystyle K\longrightarrow L.}$

a) Skizziere die prinzipiellen Möglichkeiten, wie sich eine Gerade und ein Kreis in der Ebene zueinander verhalten können.

b) Mit welchem algebraischen Sachverhalt besteht ein Zusammenhang?

c) Begründe diesen Zusammenhang.

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man den Raum verstehen kann.