Kurs:Elementare Algebra/24/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${\displaystyle {}(G,\circ ,e_{G})}$ und ${\displaystyle {}(H,\circ ,e_{H})}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Die eulersche Funktion ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
5. Die Dimension eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraums ${\displaystyle {}V}$ (${\displaystyle {}V}$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Chinesische Restsatz für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
3. Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra ${\displaystyle {}K[f]}$ zu einem algebraischen Element ${\displaystyle {}f\in L}$ bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Es sei ${\displaystyle {}(M,\circ ,e)}$ ein Monoid und ${\displaystyle {}x,y,a\in M}$.

a) Folgt aus ${\displaystyle {}x=y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$?

b) Folgt aus ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}x=y}$?

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

${\displaystyle X^{3}-1}$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ und in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Zahlen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ und Zahlen ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K}$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$ gibt, das ${\displaystyle {}Q(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ erfüllt.

Man finde ein Polynom ${\displaystyle {}f\in \mathbb {R} [X]}$ mit ${\displaystyle {}f(0)=0}$, ${\displaystyle {}f(1)=1}$, ${\displaystyle {}f(-1)=1}$ und ${\displaystyle {}f(3)=9}$.

Es sei ${\displaystyle {}z}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10}$.
2. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
3. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für jedes ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
4. Die Endziffer von ${\displaystyle {}z}$ im Zehnersystem ist ${\displaystyle {}1,3,7}$ oder ${\displaystyle {}9}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 1}$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}5+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}3+7{\mathrm {i} }}$.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativen Ringe mit ${\displaystyle {}6}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$ genau dann eine Einheit modulo ${\displaystyle {}n}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen.

a) Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}d}$. Wie viele Elemente besitzt ${\displaystyle {}V}$?

b) Zeige, dass ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein ${\displaystyle {}d}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum?

Berechne

${\displaystyle {\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.}$

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L\subseteq M}$.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${\displaystyle {}y=3x-2\,}$

gegebenen Geraden.

Beschreibe eine Situation, an der man den Unterschied zwischen einer koordinatenfreien Geometrie und einer Geometrie mit Koordinaten erläutern kann.

Ist es möglich, zum Einheitsquadrat einen flächengleichen Kreis mit Zirkel und Lineal zu konstruieren?

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen (ohne Beweis) diejenigen natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n}$, für die das reguläre ${\displaystyle {}n}$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für ${\displaystyle {}n}$ zwischen ${\displaystyle {}30}$ und ${\displaystyle {}40}$ an.