Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Bereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Das Legendre-Symbol.
4. Die Riemannsche Zetafunktion.
5. Eine Mersennesche Primzahl.
6. Eine Sophie-Germain-Primzahl.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Chinesische Restsatz für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
3. Der Primzahlsatz.

Bestätige die folgende Identität.

${\displaystyle {}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.}$

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle {\binom {15}{5}}.}$

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ sei ${\displaystyle {}a_{n}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${\displaystyle {}1,2,3,\ldots ,n}$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}a_{n}}$ für ${\displaystyle {}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9}$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

   ${\displaystyle {}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?}$

Es seien ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt ${\displaystyle {}xy}$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {55}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(93)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Zeige die folgenden Aussagen.

Für ${\displaystyle {}p=2}$ ist ${\displaystyle {}-1=1}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$.

Für ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ ist ${\displaystyle {}-1}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$.

Für ${\displaystyle {}p=3\mod 4}$ ist ${\displaystyle {}-1}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f\in R}$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${\displaystyle {}1+f}$ eine Einheit ist.

Man gebe ein Beispiel für eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {N} _{+}}$ derart, dass die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n\in T}{\frac {1}{n}}}$ konvergiert, und dass es in ${\displaystyle {}T}$ arithmetische Progressionen beliebiger Länge gibt.

Es sei ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$ derart, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}P\neq 0}$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}P(z)=0\,}$

gibt. Zeige, dass man

${\displaystyle {}z={\frac {u}{v}}\,}$

schreiben kann, wobei ${\displaystyle {}v}$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${\displaystyle {}u}$ ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}Q(u)=0\,}$

gibt.

Beweise den Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige unter Verwendung der Divisorengruppe, dass es eine Produktdarstellung

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,}$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}R}$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$, gibt.

Wir betrachten den Ring der Gaußschen Zahlen als Gitter ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\mathrm {i} }\subset {\mathbb {C} }}$. Man gebe ein Beispiel für ein volldimensionales Untergitter ${\displaystyle {}\Lambda \subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$, das kein Ideal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-21}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-21}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.

Zeige, dass eine binäre quadratische Form ${\displaystyle {}aX^{2}+bXY+cY^{2}}$ mit einer quadratfreien Diskriminante einfach ist.