Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/18/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine zyklische Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Ein gemeinsamer Teiler von Elementen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{k}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Die eulersche Funktion ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
4. Die Riemannsche Zetafunktion.
5. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
6. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ kommutativer Ringe.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Chinesische Restsatz für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit ${\displaystyle {}24}$ Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem ${\displaystyle {}23}$. Türchen?
2. Hinter welchem Türchen befindet sich die ${\displaystyle {}23}$?
3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?

Es seien ${\displaystyle {}a,m,n}$ natürliche Zahlen mit ${\displaystyle {}a\geq 1}$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}10868}$ und ${\displaystyle {}9243}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {25}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Man berechne in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(80)}$ die Elemente

a) ${\displaystyle {}3^{1234567}}$,

b) ${\displaystyle {}2^{1234567}}$,

c) ${\displaystyle {}5^{1234567}}$.

1. Finde den kleinsten Exponenten ${\displaystyle {}n\geq 2}$ derart, dass die Potenzierung

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},}$

   die Identität ist.

2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?

Beweise das Euler-Kriterium für Quadratreste.

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

${\displaystyle \left({\frac {373}{599}}\right).}$

Bemerkung: ${\displaystyle {}373}$ und ${\displaystyle {}599}$ sind Primzahlen.

Zeige, dass die quadratische Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}-5y^{2}=2\,}$

keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Zeige, dass für ${\displaystyle {}k\geq 2}$ die beiden Zahlen ${\displaystyle {}a=3\cdot 2^{k-1}-1}$ und ${\displaystyle {}b=3\cdot 2^{k}-1}$ teilerfremd sind.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {Q} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ trivial ist.

Zeige, dass zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ der Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ endlich ist.

Beweise den Gitterpunktsatz von Minkowski.

Wir betrachten die Ringerweiterungen

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=R\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]\subseteq T\,,}$

wobei ${\displaystyle {}T}$ den ganzen Abschluss von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]}$ bezeichnet. Zeige, dass das Erweiterungsideal zu

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,}$

in ${\displaystyle {}T}$ ein Hauptideal wird.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-19}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-19}$. Zeige mittels Korollar 27.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)), dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.