Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Untermodul ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ zu einem ${\displaystyle {}R}$- Modul ${\displaystyle {}M}$.
3. Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle {}f\in R}$ an einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.
4. Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{D}}$ (zu ${\displaystyle D\neq 0,1}$ quadratfrei).
6. Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}5}$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}8}$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle {\binom {49}{6}}.}$

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.

Berechne ${\displaystyle {}17^{1000000}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)}$.

Finde ein primitives Element in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$ und in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(121)}$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}10}$ und ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}11}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(121)}$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${\displaystyle {}10}$ und der Ordnung ${\displaystyle {}11}$ auch in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{121}}$?

Finde drei Quadratzahlen

${\displaystyle {}u^{2}<v^{2}<w^{2}\,}$

derart, dass der Abstand von ${\displaystyle {}u^{2}}$ zu ${\displaystyle {}v^{2}}$ gleich dem Abstand von ${\displaystyle {}v^{2}}$ zu ${\displaystyle {}w^{2}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$ genau dann eine Einheit modulo ${\displaystyle {}n}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Wir nennen die natürlichen Quadratzahlen ${\displaystyle {}<p}$ natürliche Quadrate und bezeichnen ihre Anzahl mit ${\displaystyle {}A(p)}$. Die Anzahl der Quadrate modulo ${\displaystyle {}p}$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle {}Q(p)}$ (jeweils ${\displaystyle {}0}$ mitzählen).

a) Was ist die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ derart, dass es ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ gibt, das keine natürliche Quadratzahl ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}}$ nicht monoton fallend ist.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

d) Was ist die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ mit

${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}\leq {\frac {1}{5}}\,.}$

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert ${\displaystyle {}1}$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.

Man gebe zu jedem ${\displaystyle {}n\geq 2}$ einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ und ein Element ${\displaystyle {}x\in R}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$, an, für das ${\displaystyle {}nx=0}$ und ${\displaystyle {}x^{n}=0}$ gilt.

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\displaystyle {\sqrt {1000000000000000000000000000}}}$

rational ist oder nicht.

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass die Diskriminante von ${\displaystyle {}A_{D}}$ gleich

${\displaystyle \triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4}$

bzw.

${\displaystyle \triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=14}$. Berechne zu

${\displaystyle {}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,}$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=5}$.

1. Zeige unter Verwendung von Korollar 27.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)), dass ${\displaystyle {}A_{5}}$ faktoriell ist.
2. Sieht nicht die Gleichung

   ${\displaystyle {}-{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=4=2\cdot 2\,}$

   wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}4}$ in ${\displaystyle {}A_{5}}$?