Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz

Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.

Es sei ${\displaystyle f}$ eine auf einem Gebiet ${\displaystyle G}$ mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten ${\displaystyle S\subseteq G}$ holomorphe Funktion und ${\displaystyle \Gamma }$ ein in ${\displaystyle G}$ nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von ${\displaystyle S}$ trifft. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\cdot \sum _{z\in S}n(\Gamma ,z)\cdot \mathrm {res} _{z}(f).}$

Die Summe in der Aussage des Residuensatzes ist endlich, da ${\displaystyle \Gamma }$ nur endlich viele Punkte der diskreten Menge ${\displaystyle S}$ aller Singularitäten umlaufen kann.

Seien nun ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ die Punkte in ${\displaystyle S}$, für die ${\displaystyle n(\Gamma ,z_{i})\neq 0}$ gilt. Die Singularitäten aus ${\displaystyle S}$, die nicht umlaufen werden, werden mit ${\displaystyle T:=\{z\in S:n(\Gamma ,z)=0\}}$.

${\displaystyle \Gamma }$ ist nach Voraussetzung nullhomolog in ${\displaystyle G}$. Nach der Definition von ${\displaystyle T}$ ist ${\displaystyle \Gamma }$ auch nullhomolog in ${\displaystyle G\setminus T}$.

Für die Singularitäten ${\displaystyle z_{i}\in S}$ mit ${\displaystyle n(\Gamma ,z_{i})\not =0}$ und ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ sei

${\displaystyle h_{i}(z)=\sum _{j=-\infty }^{-1}a_{ij}(z-z_{i})^{j}}$

der Hauptteil der Laurententwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{i}}$. Es ist ${\displaystyle h_{i}}$ eine auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{i}\}}$ holomorphe Funktion.

Wenn man alle Hauptteile ${\displaystyle h_{i}}$ bzgl. ${\displaystyle z_{i}}$ von der gegebenen Funktion ${\displaystyle f}$ subtrahiert, erhält man mit ${\displaystyle g:=f-\sum _{i=1}^{k}h_{i}}$

${\displaystyle \int f=\int \underbrace {\left(f-\sum _{i=1}^{k}h_{i}\right)} _{=g}+\int \sum _{i=1}^{k}h_{i}=\int g+\sum _{i=1}^{k}\int h_{i}}$

eine Funktion auf ${\displaystyle G\setminus T}$, die jetzt nur noch hebbare Singularitäten besitzt.

Wenn die Singularitäten ${\displaystyle z_{i}}$ hebbar auf ${\displaystyle G\setminus T}$ sind, lässt sich ${\displaystyle g}$ holomorph in allen ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in G\setminus T}$ fortsetzen.

Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy für das Integral über ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \int _{\Gamma }g(z)\,dz=0}$

also ist, nach Definition von ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\Gamma }g(z)\,dz+\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz.\end{array}}}$

Die Berechnung des Integrals über ${\displaystyle f}$ beschränkt sich damit auf die Berechnung der Integrale über die Hauptteile ${\displaystyle h_{i}}$ mit ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$. Unter Verwendung der Lineariät des Integrals erhält man zunächst:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{-1}a_{ij}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}\end{array}}}$

Die Funktionsterme ${\displaystyle \displaystyle \int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}}$ besitzen für ${\displaystyle j\leq -2}$ eine Stammfunktion und es gilt ${\displaystyle \displaystyle \int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}=0}$

Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung des Integrals über die Hauptteile mit der Definition der Umlaufzahl.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{-1}a_{ij}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}\,dz\\&=&\displaystyle a_{i,-1}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{-1}\,dz\\&=&\displaystyle a_{i,-1}\cdot 2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\\&=&\displaystyle 2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\cdot \mathrm {res} _{z_{i}}(f)\end{array}}}$

da bezogen auf die Summanden alle Funktion ${\displaystyle (z-z_{i})^{j}}$ für ${\displaystyle j<-1}$ eine Stammfunktion existiert.

Insgesamt folgt die Behauptung mit

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle 2\pi i\cdot \sum _{i=1}^{k}n(\Gamma ,z_{i})\cdot \mathrm {res} _{z_{i}}(f)\end{array}}}$

• Sei ${\displaystyle f:G\rightarrow {\widehat {\mathbb {C} }}}$ eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten (Pole) in ${\displaystyle G}$), Warum umrundet der Zyklus ${\displaystyle \Gamma }$ nur endlich viele Pole?

• Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion
• Reelle Integrale mit dem Residuensatz berechnen

• nullhomolog
• hebbare Singularitäten
• Reelle Integrale als Anwendung vom Residuensatz

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.