Kurs:Invariantentheorie/1/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Isotropiegruppe ${\displaystyle {}G_{x}}$ zu einer Gruppenoperation

   ${\displaystyle G\times X\longrightarrow X}$

   und einem Punkt ${\displaystyle {}x\in X}$.

2. Der Invariantenring zu einer Operation (von rechts) einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen.
3. Die Hilbert-Reihe einer positiv graduierten Algebra ${\displaystyle {}R}$, bei der die Stufen ${\displaystyle {}R_{d}}$ endlichdimensional seien.
4. Ein noetherscher Ring.
5. Eine Überlagerung ${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$ zwischen topologischen Räumen.
6. Eine linear reduktive affin-algebraische Gruppe ${\displaystyle {}G}$ (über einem Körper ${\displaystyle {}K}$).

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Invariantenringe bei konjugierten Untergruppen.
2. Der Satz von Noether (Invariantentheorie).
3. Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd.

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c}$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

${\displaystyle {}F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,}$

ist.

Zeige, dass die ${\displaystyle {}G}$- Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ${\displaystyle {}R^{G}=R}$ ist.

Beweise den Satz über die Quotientenkörper von Invariantenringen.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid, ${\displaystyle {}\Gamma }$ seine Differenzengruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

${\displaystyle K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\Gamma \right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}}$

injektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra, die als ${\displaystyle {}K}$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${\displaystyle {}f\in A}$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Beweise den Satz über die Hilbert-Reihe eines positiv graduierten Polynomringes ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$