Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 29

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es seien ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{r}}$ und ${\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{r}}$ Vektoren in ${\displaystyle {}V}$, die miteinander in der Beziehung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{r}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{r}\end{pmatrix}}\,}$

stehen, wobei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}r\times r}$- Matrix bezeichnet. Dann gilt in ${\displaystyle {}\bigwedge ^{r}V}$ die Beziehung

${\displaystyle {}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{r}=(\det M)v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{r}\,.}$

Zeige, dass die multiplikative Gruppe ${\displaystyle {}({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )}$ eine lineare Gruppe ist.

Zeige, dass die additive Gruppe ${\displaystyle {}({\mathbb {C} },0,+)}$ eine lineare Gruppe ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}$ keine lineare Gruppe über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}$ keine affin-algebraische Gruppe über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}$, versehen mit der diskreten Topologie, über keinem Körper ${\displaystyle {}K}$ eine affin-algebraische Gruppe ist.

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ erzeugten Untergruppe ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}}$.

Zeige, dass das Produkt von zwei linearen Gruppen wieder eine lineare Gruppe ist.

a) Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}K}$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${\displaystyle {}n\times n}$- oberen Dreiecksmatrizen über ${\displaystyle {}K}$ eine Untergruppe der ${\displaystyle {}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}\operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle {}n\times n}$- oberen Dreiecksmatrizen über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K^{\times },\cdot ,1\right)}^{n}}$

gibt. Bestimme den Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${\displaystyle {}n\times n}$- oberen Scherungsmatrizen über ${\displaystyle {}K}$ eine Untergruppe der ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}\operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}}$ die Gruppe der ${\displaystyle {}n\times n}$- oberen Scherungsmatrizen über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K,+,0\right)}^{n-1}}$

gibt. Bestimme den Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}}$ die Gruppe der ${\displaystyle {}3\times 3}$- oberen Scherungsmatrizen über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow K\longrightarrow \operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{2}\longrightarrow 0}$

gibt, und dass ${\displaystyle {}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}}$ nicht isomorph zu ${\displaystyle {}K^{3}}$ ist.

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ erzeugten Untergruppe ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}}$.

Zeige, dass eine zyklische Untergruppe ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}}$ bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ nicht Zariski-dicht ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}$ keine lineare Gruppe über ${\displaystyle {}K}$ ist.