Kurs:Lineare Algebra/Teil I/35/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon M\longrightarrow N.}$

2. Die Kommutativität einer Verknüpfung

   ${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M.}$

3. Der Kern einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen zwei ${\displaystyle {}K}$-Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$.

4. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Eine Streckung auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine nilpotente ${\displaystyle {}d\times d}$- Matrix über ${\displaystyle {}K}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$.
2. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
3. Die Division mit Rest im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

${\displaystyle {}E}$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${\displaystyle {}A}$ oder ${\displaystyle {}B}$ oder ${\displaystyle {}C}$ oder ${\displaystyle {}D}$.
2. Wenn ${\displaystyle {}C}$ der Mörder ist, dann ist ${\displaystyle {}D}$ nicht der Mörder oder ${\displaystyle {}A}$ ist der Mörder.
3. ${\displaystyle {}A,B,C,D}$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${\displaystyle {}A}$ nicht der Mörder ist, dann ist ${\displaystyle {}D}$ nicht der Mörder.
6. ${\displaystyle {}A}$ ist genau dann der Mörder, wenn ${\displaystyle {}B}$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

In den Klassenarbeiten der Klasse ${\displaystyle {}7x}$ können die üblichen Noten mit den Zehntelangaben ${\displaystyle {}0,3}$ oder ${\displaystyle {}7}$ erzielt werden (also beispielsweise ${\displaystyle {}2+=1,7}$, ${\displaystyle {}2=2,0}$ und ${\displaystyle {}2-=2,3}$). Es werden im Halbjahr zwei Klassenarbeiten geschrieben, ihr Durchschnitt (das arithmetische Mittel) bestimmt über die Endnote, die ganzzahlig ist. Kann es einen Unterschied machen, ob man zuerst die einzelnen Klassenarbeiten rundet und dann den Durchschnitt rundet, oder ob man den Durchschnitt nimmt und dann rundet (${\displaystyle {},5}$ soll auf die größere ganze Note gerundet werden)?

Es seien ${\displaystyle {}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K}$ Elemente in einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,}$

und

${\displaystyle {}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,}$

die Gleichung ${\displaystyle {}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})}$ erfüllen.

Beweise den Basisergänzungssatz.

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ den von den Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}12\\6\\-11\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6\\-4\\-3\end{pmatrix}}}$

erzeugten Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$. Was ist die Dimension von ${\displaystyle {}U}$?

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

In einem Wintermonat fielen insgesamt ${\displaystyle {}9}$ cm Regen, ${\displaystyle {}7}$ cm Schnee und ${\displaystyle {}2}$ cm Hagel (gemessene Höhe des Niederschlages). ${\displaystyle {}20\%}$ des Schnees und ${\displaystyle {}30\%}$ des Hagels werden zu Wasser. Welche Niederschlagshöhe vermeldet der Monat insgesamt?

a) Begründe mit einer Skizze die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms in der Ebene (Grundseite mal Höhe).

b) Begründe mit einer Skizze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in der Ebene (Grundseite mal Höhe durch ${\displaystyle {}2}$).

Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechteckes darf dabei verwendet werden.

Berechne die Determinante der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&9&0\\-1&0&5&2\\0&1&3&6\\-3&0&0&7\end{pmatrix}}.}$

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz.

Forme die Gleichung

${\displaystyle {}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,}$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${\displaystyle {}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,}$

mit ${\displaystyle {}b_{i}\in \mathbb {Q} }$ um.

1. Bestimme ein Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$ mit

   ${\displaystyle {}P(-1)=-4\,,}$

   ${\displaystyle {}P(0)=2\,,}$

   ${\displaystyle {}P(1)=2\,}$

   und

   ${\displaystyle {}P(2)=3\,}$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ vom Grad ${\displaystyle {}3}$ mit

   ${\displaystyle {}Q(0)=1\,,}$

   ${\displaystyle {}Q(2)=3\,}$

   und

   ${\displaystyle {}Q(3)=10\,.}$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${\displaystyle {}P}$ und zu ${\displaystyle {}Q}$.

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}}$

durch eine explizite Rechnung.

Beweise den Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Bestimme für die reelle Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}{\frac {9}{3}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&1+1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &{\sqrt[{3}]{8}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&7-4&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {10}{5}}\end{pmatrix}}\,}$

die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten.

Bestimme eine Basis des ${\displaystyle {}K^{3}}$, bezüglich der die Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}$

jordansche Normalform besitzt. Wie sieht die jordansche Normalform aus?

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${\displaystyle {}3x+3y-2z+w=2\,.}$