Kurs:Lineare Algebra/Teil I/37/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Der Graph zu einer Abbildung ${\displaystyle {}F\colon L\rightarrow M}$.
3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ zu einer weiteren Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}}$ in einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$, wobei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ist.
6. Eine affine Basis in einem affinen Raum ${\displaystyle {}E}$ über einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Basisaustauschsatz.
2. Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
3. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

Um eine Bevölkerung gegen ein bestimmtes Virus zu schützen, braucht man eine Herdenimmunität von ${\displaystyle {}70\%}$. Eine Impfung führt zu ${\displaystyle {}95\%}$ zur Immunität. Wie viel Prozent der Bevölkerung müssen geimpft werden, um die Herdenimmunität zu erreichen?

Es seien ${\displaystyle {}n}$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}n}$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Es seien ${\displaystyle {}(M,*)}$ und ${\displaystyle {}(N,\circ )}$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N}$

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

${\displaystyle {}\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.}$

Die Verknüpfung auf ${\displaystyle {}M}$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf ${\displaystyle {}N}$ assoziativ ist.

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${\displaystyle {}21,7}$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung (${\displaystyle {}8}$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${\displaystyle {}K^{n}}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ seien die beiden Untervektorräume

${\displaystyle {}U={\left\{s{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}V={\left\{p{\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${\displaystyle {}U\cap V}$.

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und es seien ${\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{m}}$ Linearformen auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}=0\,}$

genau dann gilt, wenn die ${\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{m}}$ ein Erzeugendensystem des Dualraums ${\displaystyle {}{V}^{*}}$ bilden.

Bestimme die Determinante der inversen Matrix zur reellen Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&0&5\\-3&2&4\end{pmatrix}}\,.}$

Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}T={\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,b\neq 0\right\}}\,}$

eine Untergruppe der Gruppe der reellen invertierbaren ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen ist.

Beweise den Satz über Permutationen und Transpositionen.

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

a) Finde eine quadratische Gleichung der Form

${\displaystyle {}x^{2}+px+q=0\,}$

mit ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Z} }$, für die ${\displaystyle {}17}$ die einzige Lösung ist.

b) Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

${\displaystyle {}x^{2}+px+q=0\,}$

mit ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Z} }$, für die ${\displaystyle {}17}$ eine Lösung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]_{\leq d}}$ der ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$. Zu ${\displaystyle {}z\in K}$ bezeichne ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ die Auswertung an ${\displaystyle {}z}$, also die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ linear ist.

b) Es seien ${\displaystyle {}d+1}$ Punkte ${\displaystyle {}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d+1}\in K}$ gegeben. Zeige, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z_{1}},\ldots ,\operatorname {Ev} _{z_{d+1}}}$ eine Basis des Dualraumes ${\displaystyle {}{\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}}$ ist.

c) Zeige, dass nicht jede Linearform auf ${\displaystyle {}K[X]_{\leq d}}$ eine Auswertung an einem Punkt ${\displaystyle {}w\in K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ und sei

${\displaystyle {}\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,}$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome ${\displaystyle {}P,Q\in K[X]}$ mit der zugehörigen direkten Summenzerlegung

${\displaystyle {}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,}$

in ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianten Untervektorräumen. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianter Untervektorraum. Zeige

${\displaystyle {}U={\left(U\cap \operatorname {kern} P(\varphi )\right)}\oplus {\left(U\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}E}$ ein affiner Raum über dem ${\displaystyle {}n}$- dimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in E}$ ein fixierter Punkt und es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,}$

die zugehörige bijektive Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}P,P+v_{1},\ldots ,P+v_{n}}$ die zugehörige affine Basis von ${\displaystyle {}E}$. Wie hängen die Koordinaten eines Vektors ${\displaystyle {}v\in V}$ bezüglich der Vektorraumbasis mit den baryzentrischen Koordinaten von ${\displaystyle {}P+v}$ bezüglich der affinen Basis zusammen?