Kurs:Lineare Algebra/Teil II/21/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.
2. Der Abstand von nichtleeren Teilmengen ${\displaystyle {}A,B\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle {}g\in G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
6. Eine eigentliche Symmetrie einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq V}$ eines euklidischen Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Koeffizienten zu einer Orthonormalbasis in einem Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts.

a) Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

eine eigentliche Isometrie. Zeige, dass für das Kreuzprodukt die Gleichung

${\displaystyle {}\varphi {\left(x\times y\right)}=\varphi (x)\times \varphi (y)\,}$

gilt.

b) Zeige, dass diese Gleichung bei einer Isometrie nicht gelten muss.

Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.

Es sei ein (nichtausgeartetes) Dreieck und eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene gegeben, wobei die Gerade durch keinen Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Zeige, dass die Gerade höchstens zwei Seiten des Dreiecks trifft. Verwende, dass eine Gerade die Ebene in zwei disjunkte offene Halbebene zerlegt, die beide konvex sind.

Es sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform vom Typ ${\displaystyle {}(p,q)}$ auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung der Form auf ${\displaystyle {}W}$ positiv definit sei. Zeige, dass es einen ${\displaystyle {}p}$-dimensionalen Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ mit ${\displaystyle {}W\subseteq U\subseteq V}$ derart gibt, dass die Einschränkung auf ${\displaystyle {}U}$ ebenfalls positiv definit ist.

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&5&-4\\0&-4&2\end{pmatrix}}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit der orthogonalen Projektion

${\displaystyle p_{U}\colon V\longrightarrow U.}$

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung und sei ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$ der zugehörige adjungierte Endomorphismus. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}p_{U}\circ {\hat {\varphi }}{|}_{U}={\left(p_{U}\circ \varphi {|}_{U}\right)}^{\hat {}}\,.}$

Beweise die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation.

Betrachte die rationalen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ als kommutative Gruppe. Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ zyklisch ist.

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}}$

über dem Körper mit ${\displaystyle {}3}$ Elementen.

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines jeden Großbuchstabens

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z.

Diskutiere bei Zweifelsfällen die möglichen Interpretationen.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von orientierungstreuen Abbildungen mit der Determinante.

Der Matrizenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ sei mit der Summennorm (bezogen auf die ${\displaystyle {}n^{2}}$ Einträge) versehen. Zeige, dass ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle {}M,N}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\mid \mid \!M\circ N\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\leq \mid \mid \!M\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\cdot \mid \mid \!N\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\,}$

erfüllen.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung, ${\displaystyle {}V,W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$- Vektorräume und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine ${\displaystyle {}K}$- lineare Abbildung. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie zwischen ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)}$ und ${\displaystyle {}L\otimes _{K}\operatorname {kern} \varphi }$ gibt.

Vereinfache in ${\displaystyle {}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}}$ den Ausdruck

${\displaystyle e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).}$