Kurs:Lineare Algebra/Teil II/22/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Metrik auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
2. Kongruente Dreiecke in der euklidischen Ebene.
3. Eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ zwischen komplexen Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$.
4. Ein Polynom in mehreren Variablen ${\displaystyle {}X_{1},\ldots ,X_{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
5. Eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
6. Die alternierende Gruppe ${\displaystyle {}A_{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Das Minorenkriterium für die Definitheit einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.

Vergleiche anhand eines Begriffes aus der linearen Algebra die elementargeometrische und die abstrakte Sichtweise.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}(-1,1)}$ und ${\displaystyle {}(4,-2)}$ verläuft.

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${\displaystyle {}3x+5y=c\,.}$

Einsetzen eines Punkt ergibt ${\displaystyle {}c=2}$. Somit ist

${\displaystyle {}y={\frac {2-3x}{5}}\,.}$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

ein und erhalten

${\displaystyle {}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,}$

oder

${\displaystyle {}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.}$

Die Normierung davon ist

${\displaystyle x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}}$

Die Schnittpunkte sind also

${\displaystyle \left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{m}}$ von ${\displaystyle {}U}$. Zeige, dass die orthogonale Projektion auf ${\displaystyle {}U}$ durch

${\displaystyle {}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,}$

gegeben ist.

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$. Das orthogonale Komplement zu ${\displaystyle {}U}$ ist

${\displaystyle {}U^{\perp }=\langle u_{m+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.}$

Nach Lemma 32.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist

${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}={\left(\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}\,.}$

Somit ist ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}$ die Projektion auf ${\displaystyle {}U}$ längs ${\displaystyle {}U^{\perp }}$.

Beweise den Satz über die eigentlichen Isometrien in der reellen Ebene.

Es seien ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ die Bilder der Standardvektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

${\displaystyle {}\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.}$

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,}$

gelten. Bei ${\displaystyle {}y=0}$ folgt daraus (wegen ${\displaystyle {}x=\pm 1}$) ${\displaystyle {}u=0}$. Dann ist ${\displaystyle {}v=\pm 1}$ und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von ${\displaystyle {}x}$ sein. Es sei also ${\displaystyle {}y\neq 0}$. Dann gilt

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

Da die beiden Vektoren die Länge ${\displaystyle {}1}$ haben, muss der skalare Faktor ${\displaystyle {}u/y}$ den Betrag ${\displaystyle {}1}$ haben. Bei ${\displaystyle {}u=y}$ wäre ${\displaystyle {}v=-x}$ und die Determinante wäre ${\displaystyle {}-1}$. Also muss ${\displaystyle u=-y}$ und ${\displaystyle v=x}$ sein. Die beschreibende Matrix bezüglich der Standardmatrix hat also die Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x^{2}+y^{2}=1.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}x}$ eine reelle Zahl zwischen ${\displaystyle {}-1}$ und ${\displaystyle {}+1}$ und ${\displaystyle {}y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$, d.h. ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel ${\displaystyle {}\theta }$, ${\displaystyle {}0\leq \theta <2\pi }$, mit

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\,.}$

Zeige, dass in einem gleichseitigen Dreieck das Verhältnis zwischen dem Umkreisradius und dem Inkreisradius ${\displaystyle {}2:1}$ ist.

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei ${\displaystyle {}1}$. Die Höhe ist

${\displaystyle {}{\sqrt {1^{2}-{\frac {1}{2^{2}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.}$

Der Schwerpunkt ist der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt. Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierende im Verhältnis ${\displaystyle {}2:1}$ schneidet, ist der Umkreisradius gleich ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. Entsprechend ist der Inkreisradius gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, und somit ist ihr Verhältnis gleich ${\displaystyle {}2:1}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine reell-symmetrische ${\displaystyle {}2\times 2}$- Matrix. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ einen Eigenwert besitzt.

Die Matrix hat die Form

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\,.}$

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

${\displaystyle {}\chi _{M}=\det {\left(xE_{2}-{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\right)}=(x-a)(x-d)-b^{2}=x^{2}-(a+d)x+ad-b^{2}\,.}$

Wir schreiben dies als

${\displaystyle {}{\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-b^{2}={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}ad-b^{2}\,.}$

Da

${\displaystyle {}{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {d^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}ad+b^{2}={\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+b^{2}\,}$

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.

Zeige, dass die auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}}$ durch

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,}$

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ${\displaystyle {}(a,b)\sim (c,d)}$ und ${\displaystyle {}(c,d)\sim (e,f)}$. Dies bedeutet ${\displaystyle {}ad=bc}$ bzw. ${\displaystyle {}cf=ed}$. Somit ist

${\displaystyle {}adf=bcf=bde\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}d\neq 0}$ ergibt die Kürzungsregel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ die Gleichheit

${\displaystyle {}af=eb\,,}$

also ${\displaystyle {}(a,b)\sim (e,f)}$.

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.

Wir wenden Satz 47.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) auf ${\displaystyle {}Q=G/\operatorname {kern} \varphi }$ und die kanonische Projektion ${\displaystyle {}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi }$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H}$

mit ${\displaystyle {}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q}$, der surjektiv ist. Sei ${\displaystyle {}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi }$ und ${\displaystyle {}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,}$

also ${\displaystyle {}x\in \operatorname {kern} \varphi }$. Damit ist ${\displaystyle {}[x]=e_{Q}}$, d.h. der Kern von ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ ist trivial und nach Lemma 44.22 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ auch injektiv.

a) Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle {}x,y\neq 0}$ derart, dass ${\displaystyle {}x-y}$ eine rationale Zahl ist, aber ${\displaystyle {}x/y}$ nicht.

b) Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle {}u,v\neq 0}$ derart, dass ${\displaystyle {}u/v}$ eine rationale Zahl ist, aber ${\displaystyle {}u-v}$ nicht.

a) Es sei ${\displaystyle {}y}$ eine positive irrationale Zahl und

${\displaystyle {}x:=y+1\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}x-y=1\,}$

rational und

${\displaystyle {}{\frac {x}{y}}={\frac {y+1}{y}}=1+{\frac {1}{y}}\,}$

irrational, da das Inverse einer irrationalen Zahl wieder irrational ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}v}$ eine positive irrationale Zahl und

${\displaystyle {}u:=2v\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\frac {u}{v}}={\frac {2v}{v}}=2\,}$

rational und

${\displaystyle {}u-v=2v-v\,}$

irrational.

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Stetigkeit von linearen Abbildungen.

Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es gibt insbesondere für ${\displaystyle {}\epsilon =1}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart, dass aus

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq \delta \,}$

die Abschätzung

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq 1\,}$

folgt. Aus

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq 1\,}$

folgt dann wegen der skalaren Verträglichkeit

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq {\frac {1}{\delta }}\,.}$

Von (3) nach (1). Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine obere Schranke für die Norm der Werte auf der Einssphäre. Sei ${\displaystyle {}v\in V}$ gegeben. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(\varphi (v),\varphi (w))&=\Vert {\varphi (v)-\varphi (w)}\Vert \\&=\Vert {\varphi (v-w)}\Vert \\&=\Vert {v-w}\Vert \cdot \Vert {\varphi {\left({\frac {(v-w)}{\Vert {v-w}\Vert }}\right)}}\Vert \\&\leq \Vert {v-w}\Vert \cdot C.\end{aligned}}}$

Zu ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ kann man also

${\displaystyle {}\delta :=\epsilon /C\,}$

wählen.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der Maximumsnorm und als Zielraum mit der euklidischen Norm versehen ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der euklidischen Normen der Bildvektoren, also das Maximum von

${\displaystyle {}{\sqrt {{\left(x+2y\right)}^{2}+{\left(4x+3y\right)}^{2}}}={\sqrt {x^{2}+4y^{2}+4xy+16x^{2}+9y^{2}+24xy}}={\sqrt {17x^{2}+28xy+13y^{2}}}\,}$

für die Menge

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {max} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}\,.}$

Das Maximum wird für

${\displaystyle {}x=y=1\,}$

angenommen und besitzt den Wert ${\displaystyle {}{\sqrt {58}}}$.