Anwendungsfälle

Es gibt drei Situationen, in denen die Prüfziffer zu berechnen ist:

1. Beim Generieren neuer Abgabenkontonummern. In diesem Fall sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle A}$ für ein bestimmtes Finanzamt gegeben, und es werden die Ziffern ${\displaystyle N_{1},\dotsc ,N_{6}}$ (z. B. per Zufallszahlengenerator) festgelegt. Anschließend muss ${\displaystyle P}$ berechnet werden, um eine vollständige Abgabenkontonummer ${\displaystyle (F,A,N_{1},\dotsc ,N_{6},P)}$ zu erhalten. (Bei der Vergabe ist darauf zu achten, dass die neu generierte Abgabenkontonummer nicht bereits existiert; jede vergebene Abgabenkontonummer muss eindeutig sein.) Normalerweise erledigt das Generieren das Finanzamt.
2. Beim Validieren – also beim Überprüfen auf formale Gültigkeit – bereits vorliegender Abgabenkontonummern. In diesem Fall ist die vollständige Abgabenkontonummer ${\displaystyle (F,A,N_{1},\dotsc ,N_{6},P)}$ gegeben, und es wird die Prüfziffer ${\displaystyle P'}$ neu berechnet und mit der gegebenen Prüfziffer ${\displaystyle P}$ verglichen. Das Validieren empfiehlt sich überall dort, wo mit Abgabenkontonummern hantiert wird, die möglicherweise Fehler (z. B. Tipp-, Übertragungs-, Einscanfehler u. dgl.) enthalten könnten.
3. Beim Rekonstruieren bereits vorliegender Abgabenkontonummern, bei denen die Prüfziffer nicht zweifelsfrei oder gar nicht lesbar geworden ist, alle übrigen acht Ziffern hingegen zweifelsfrei lesbar sind.

Zweck

Der Zweck der Prüfziffer ist es, der Abgabenkontonummer absichtlich Redundanz hinzuzufügen, um fehlerhafte Abgabenkontonummern mit einer möglichst hohen Wahrscheinlichkeit als fehlerhaft erkennen zu können. Durch die Prüfziffer kann man erreichen, dass Eingabefehler zu formalen Fehlern führen, die dann sicher erkennbar sind. (Die Betonung liegt hier auf „kann“, das heißt, es kann gelingen, muss aber nicht immer gelingen.)

Letztlich will man erreichen, dass man fehlerhafte Abgabenkontonummern ausscheiden kann und dann nur mehr mit korrekten Abgabenkontonummern arbeitet, um die Verwaltung effizient zu gestalten.

Berechnung der Prüfziffer

Die Prüfziffer ${\displaystyle P}$ der Abgabenkontonummer ${\displaystyle (F,A,N_{1},N_{2},N_{3},N_{4},N_{5},N_{6},P)}$ lässt sich – in Anlehnung an den Luhn-Algorithmus – wie folgt berechnen:

1. ${\displaystyle S:=F+Q(A)+N_{1}+Q(N_{2})+N_{3}+Q(N_{4})+N_{5}+Q(N_{6})}$ mit ${\displaystyle Q(z):=q(2\cdot z)={\begin{cases}2\cdot z,&{\text{wenn }}0\leq z\leq 4{\text{,}}\\2\cdot z-9,&{\text{wenn }}5\leq z\leq 9{\text{;}}\end{cases}}}$
2. ${\displaystyle P:=(-S){\bmod {1}}0}$ = (80 - S) % 10

Die Formel zur Berechnung der Prüfziffer ${\displaystyle P}$ ist also eine diskrete, 8-stellige, surjektive Funktion mit den acht Variablen ${\displaystyle F,A,N_{1},\dotsc ,N_{6}}$:

${\displaystyle P(F,A,N_{1},\dotsc ,N_{6})=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})]{\bmod {1}}0}$

Hierbei gilt:

• ${\displaystyle q(n)}$ … Quersumme der Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\displaystyle 0\leq Q(z)=q(2\cdot z)\leq 9}$ mit Ziffer ${\displaystyle z\in \{0,\dotsc ,9\}}$
• ${\displaystyle S_{\mathrm {min} }\leq S\leq S_{\mathrm {max} }}$, ${\displaystyle S\in \mathbb {N} _{0}}$ … Hilfssumme
  • ${\displaystyle S_{\mathrm {min} }=8\cdot 0=0}$ für ${\displaystyle F=A=N_{1}=\dotsb =N_{6}=0}$
  • ${\displaystyle S_{\mathrm {max} }=8\cdot 9=72}$ für ${\displaystyle F=A=N_{1}=\dotsb =N_{6}=9}$
• ${\displaystyle 0\leq S\leq 72}$
• ${\displaystyle 0\leq P\leq 9}$

Dabei ist ${\displaystyle a{\bmod {m}}}$ die „mathematische“ (und nicht die „symmetrische“) Variante der Modulo-Funktion. Für die Programmierung empfiehlt es sich hier, die Modulo-Funktion stets mit nicht-negativen Zahlen aufzurufen, da man sich dann nicht mehr darum kümmern muss, ob die verwendete Programmiersprache die „mathematische“ oder die „symmetrische“ Variante implementiert, weil dann beide Varianten dieselben (und hier passenden) Ergebnisse liefern. Bei der obigen Berechnung der Prüfziffer wird dies durch das Hinzuaddieren von ${\displaystyle 8\cdot m=8\cdot 10=80}$ zu ${\displaystyle -S}$ erreicht, was zum Programmcode (80 - S) % 10 führt.

Details zur Quersummenberechnung der mit 2 multiplizierten Ziffer:

Wertetabelle für ${\displaystyle Q(z)}$

Ziffer ${\displaystyle z}$	${\displaystyle \color {gray}2\cdot z}$	Quersumme ${\displaystyle Q(z)=q(2\cdot z)}$
0	00	0
1	02	2
2	04	4
3	06	6
4	08	8
5	10	1
6	12	3
7	14	5
8	16	7
9	18	9

Ein zugehöriges Rechenbeispiel findet sich unten.

Hieraus ist erkennbar, dass die Funktion ${\displaystyle Q(z)=q(2\cdot z)}$ bzw. ${\displaystyle Q\colon \{0,\dotsc ,9\}\to \{0,\dotsc ,9\},z\mapsto q(2\cdot z)}$ bijektiv ist. Daher existiert auch ihre Umkehrfunktion ${\displaystyle Q^{-1}}$, mit deren Hilfe sich bei einem gegebenen Wert für ${\displaystyle Q}$ die zugehörige Ziffer ${\displaystyle z}$ eindeutig bestimmen lässt. Die Umkehrfunktion lautet wie folgt:

${\displaystyle z(Q)=Q^{-1}(Q)={\begin{cases}{\frac {Q}{2}},&{\text{wenn }}Q{\text{ gerade,}}\\{\frac {Q+9}{2}},&{\text{wenn }}Q{\text{ ungerade;}}\end{cases}}}$ mit ${\displaystyle Q\in \{0,\dotsc ,9\}}$

Das heißt, dass sich die Ziffer ${\displaystyle z}$ als Funktion von ${\displaystyle Q}$, also der Quersumme der mit 2 multiplizierten Ziffer, darstellen lässt.

Beispiel: Wenn ${\displaystyle Q=q(2\cdot z)=5}$ ist, dann muss ${\displaystyle z=7}$ sein; siehe Tabelle bzw. Umkehrfunktion: ${\displaystyle \textstyle z(5)=Q^{-1}(5)={\frac {5+9}{2}}={\frac {14}{2}}=7}$

Diese eindeutige Umkehrbarkeit ist wichtig, damit beispielsweise die Rekonstruktion einer unbekannten Ziffer einer Abgabenkontonummer in allen Fällen funktioniert.

Validierung anhand der Struktur

Eine gegebene Abgabenkontonummer ist sinnvollerweise zuallererst daraufhin zu prüfen, ob ihr Aufbau den grundlegenden Anforderungen an die Struktur genügt.

Validierung anhand der Prüfziffer

Eine gegebene Abgabenkontonummer ${\displaystyle (F,A,N_{1},\dotsc ,N_{6},P)}$ kann auf formale Gültigkeit geprüft werden (Datenvalidierung, Plausibilitätskontrolle), indem deren gegebene Prüfziffer ${\displaystyle P}$ mit der zu dieser Abgabenkontonummer neu berechneten Prüfziffer ${\displaystyle P'}$ verglichen wird. Das Berechnungsverfahren ist für ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P'}$ dasselbe.

• Stimmen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P'}$ überein, so ist die gegebene Abgabenkontonummer formal gültig. (Anmerkung: Nur weil eine gegebene Abgabenkontonummer rein formal gültig ist, muss sie deshalb nicht auch zwingend vor dem Finanzamt gültig sein; möglicherweise wurde sie z. B. vom Finanzamt noch nicht vergeben.)
• Stimmen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P'}$ nicht überein, so ist die gegebene Abgabenkontonummer jedenfalls ungültig.

Zwei zugehörige Rechenbeispiele finden sich unten.

Validierung anhand der Finanzamtsnummer

Zur Prüfung, ob eine gegebene Abgabenkontonummer gültig sein kann, kann die in ihr enthaltene Finanzamtsnummer FA mit einer Liste von gültigen Finanzamtsnummern abgeglichen werden (siehe z. B. obige Tabelle oder untenstehende Weblinks).

• Scheint die in der Abgabenkontonummer enthaltene Finanzamtsnummer FA in der Liste gültiger Finanzamtsnummern auf, so kann (muss aber nicht) die gegebene Abgabenkontonummer vor dem Finanzamt gültig sein.
• Ist die Finanzamtsnummer FA hingegen nicht in der Liste gültiger Finanzamtsnummern enthalten, so ist die gegebene Abgabenkontonummer jedenfalls nicht gültig.

Allgemeines

Rein formale Fehler bei einer Abgabenkontonummer können mithilfe der Prüfziffer stets mit einer 100%igen Wahrscheinlichkeit erkannt werden. Das heißt, wenn eine Abgabenkontonummer den vorgegebenen formalen Kriterien (Aufbau/Struktur, hier insbesondere Prüfziffer) nicht entspricht, dann ist dies zu 100 % erkennbar.

Im Unterschied dazu steht die Erkennung von zufälligen Eingabefehlern, also z. B. Tipp-, Übertragungs-, Einscanfehler u. dgl. Hier sind insbesondere das Drücken der falschen Taste beim Eintippen auf einer Tastatur, das Vertauschen von (benachbarten) Ziffern (z. B. 69 anstelle von 96; Zahlendreher), das Verwechseln von Ziffern aufgrund schlechter Lesbarkeit (z. B. 8 anstelle von 3) oder schlechter Verständlichkeit beim Telefonieren (z. B. 3 anstelle von 2) oder Ähnliches gemeint.

Die Wahrscheinlichkeit, dass vorhandene Eingabefehler auch tatsächlich erkennbar sind, liegt hier bei 90 %. Statistisch wirken sich zufällige Eingabefehler nämlich so aus, dass in 90 % aller möglichen Fälle (${\displaystyle \textstyle 1-{\frac {10^{8}}{10^{9}}}}$) eine Abgabenkontonummer entsteht, die – wegen ihrer Prüfziffer – formal nicht mehr gültig ist und sodann sicher (zu 100 %) als ungültig erkannt werden kann.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fehlererkennung versagt, also dass vorhandene Eingabefehler fälschlicherweise nicht erkannt werden, liegt hier bei 10 %. Statistisch wirken sich zufällige Eingabefehler nämlich so aus, dass in 10 % aller möglichen Fälle (${\displaystyle \textstyle {\frac {10^{8}}{10^{9}}}}$) eine Abgabenkontonummer entsteht, die trotz des Eingabefehlers und trotz ihrer Prüfziffer formal gültig ist und daher eben nicht als ungültig erkannt werden kann.

Diese beiden Wahrscheinlichkeiten liegen daran, dass als Prüfsumme hier nur eine einzige dezimale Prüfziffer zur Anwendung kommt, die aus zehn möglichen Ziffernwerten nur einen bestimmten Wert für eine konkrete Abgabenkontonummer annehmen kann.

Wenn ein formaler Fehler (anhand der Prüfziffer) erkannt wurde, dann ist 100%ig klar, dass die Abgabenkontonummer formal ungültig ist, sie also Fehler enthält. Es lässt sich allerdings nicht eruieren, wo (bei welcher bzw. welchen der neun Ziffern) der Fehler liegt. Auch lässt sich die genaue Anzahl der Fehler nicht bestimmen; es ist dann lediglich klar, dass mindestens eine der neun Ziffern falsch sein muss. Eine automatische Korrektur des Eingabefehlers ist nicht möglich. Es gibt hier also keine Fehlertoleranz, sondern lediglich eine einfache Fehlererkennung.

Näheres zur Erkennung spezieller Eingabefehler ist im gleichnamigen Abschnitt weiter unten zu finden.

Erkennung spezieller Eingabefehler

Um einen besseren Eindruck davon zu bekommen, welche Eingabefehler unter welchen Umständen mit welchen Wahrscheinlichkeiten als Eingabefehler erkannt oder eben nicht als solche erkannt werden können, sollen die folgenden Spezialfälle genauer betrachtet werden, von denen man annehmen kann, dass sie in der alltäglichen Praxis häufig vorkommen.

Methode 1: direkte Berechnung

Die Berechnung der unbekannten Ziffer ${\displaystyle x}$ hängt davon ab, an welcher Stelle in der Abgabenkontonummer die Ziffer ${\displaystyle x}$ steht. Die Berechnung kann folgendermaßen erfolgen:

direkte Berechnung einer unbekannten Ziffer ${\displaystyle x}$

Struktur	unbekannte Ziffer ${\displaystyle x}$ an der Stelle von	Berechnung
xA-NNN/NNNP	${\displaystyle F=x}$	${\displaystyle x=F=[-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$
Fx-NNN/NNNP	${\displaystyle A=x}$	${\displaystyle Q_{A}=Q(A)=[-F-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$ ${\displaystyle x=A=z(Q_{A})}$
FA-xNN/NNNP	${\displaystyle N_{1}=x}$	${\displaystyle x=N_{1}=[-F-Q(A)-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$
FA-NxN/NNNP	${\displaystyle N_{2}=x}$	${\displaystyle Q_{N_{2}}=Q(N_{2})=[-F-Q(A)-N_{1}-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$ ${\displaystyle x=N_{2}=z(Q_{N_{2}})}$
FA-NNx/NNNP	${\displaystyle N_{3}=x}$	${\displaystyle x=N_{3}=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$
FA-NNN/xNNP	${\displaystyle N_{4}=x}$	${\displaystyle Q_{N_{4}}=Q(N_{4})=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-N_{5}-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$ ${\displaystyle x=N_{4}=z(Q_{N_{4}})}$
FA-NNN/NxNP	${\displaystyle N_{5}=x}$	${\displaystyle x=N_{5}=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0}$
FA-NNN/NNxP	${\displaystyle N_{6}=x}$	${\displaystyle Q_{N_{6}}=Q(N_{6})=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-P]{\bmod {1}}0}$ ${\displaystyle x=N_{6}=z(Q_{N_{6}})}$
FA-NNN/NNNx	${\displaystyle P=x}$	${\displaystyle x=P=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-Q(N_{6})]{\bmod {1}}0}$

1. ↑ Zwecks Vollständigkeit und besserer Vergleichsmöglichkeiten ist hier nochmals die Prüfzifferformel in kompakter Form angeführt. Es kann durchaus vorkommen, dass die Prüfziffer zu rekonstruieren ist.

Hierbei gilt:

• ${\displaystyle Q(z):=q(2\cdot z)}$ mit Ziffer ${\displaystyle z\in \{0,\dotsc ,9\}}$
• ${\displaystyle q(n)}$ … Quersumme der Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\displaystyle z(Q)=Q^{-1}(Q)={\begin{cases}{\frac {Q}{2}},&{\text{wenn }}Q{\text{ gerade,}}\\{\frac {Q+9}{2}},&{\text{wenn }}Q{\text{ ungerade;}}\end{cases}}}$ mit ${\displaystyle Q\in \{0,\dotsc ,9\}}$

Zwei zugehörige Rechenbeispiele finden sich unten.

Methode 2: iterative Berechnung

Die Berechnung der unbekannten Ziffer ${\displaystyle x}$ kann auch auf iterativem Weg erfolgen. Dabei kann man wie folgt vorgehen:

• Falls die unbekannte Ziffer ${\displaystyle x}$ an der Stelle der Prüfziffer ${\displaystyle P}$ steht, dann kann deren Rekonstruktion direkt, also nicht-iterativ, durch die Prüfzifferformel erfolgen.
• Für alle anderen Fälle: Man weist der unbekannten Ziffer ${\displaystyle x}$ solange unterschiedliche Werte aus der Menge ${\displaystyle \{0,\dotsc ,9\}}$ zu, bis die jeweils damit aufs Neue berechnete Prüfziffer ${\displaystyle P'}$ mit der gegebenen Prüfziffer ${\displaystyle P}$ übereinstimmt. Meist wird man dabei ${\displaystyle x}$ die Werte 0, 1, 2, …, 9 der Reihe nach zuweisen, kann aber auch jede beliebige andere Reihenfolge wählen. Im günstigsten Fall beim ersten Versuch, im Allgemeinen nach durchschnittlich fünf, jedenfalls nach maximal zehn Versuchen hat man dann den gesuchten Wert für ${\displaystyle x}$ durch Durchprobieren der insgesamt zehn verschiedenen Möglichkeiten gefunden.

Ein zugehöriges Rechenbeispiel findet sich unten.

Anmerkung: Falls bei einer gegebenen Abgabenkontonummer ${\displaystyle k}$ Ziffern unbekannt sein sollten, die Prüfziffer ${\displaystyle P}$ selbst jedoch bekannt ist, dann lässt sich die Abgabenkontonummer bei ${\displaystyle 2\leq k\leq 8}$ rein von der Prüfziffer her nicht mehr eindeutig rekonstruieren. Unter Umständen kann bei ${\displaystyle k=2}$ durch das Hinzuziehen anderer Kriterien doch noch Eindeutigkeit erreicht werden; im Allgemeinen wird dies jedoch nicht gelingen. So können beispielsweise potenzielle Abgabenkontonummer-Kandidaten ausgeschlossen werden, wenn deren (errechnete) Finanzamtsnummer FA nicht in der Liste der tatsächlich verwendeten Finanzamtsnummern (siehe Tabelle) aufscheint. Jedenfalls lassen sich durch geeignete Verallgemeinerung des eben skizzierten iterativen Verfahrens, also durch Durchprobieren aller ${\displaystyle 10^{k}}$ möglichen Variationen, all jene potenziellen Kandidaten eruieren, die eine formal gültige Abgabenkontonummer ergeben würden. In der Praxis ist dies allerdings nicht empfehlenswert.

Beispiel 1 – Generieren einer neuen Abgabenkontonummer

Es soll die Abgabenkontonummer für das Finanzamt Nr. 98 (Feldkirch) generiert werden, wobei die ersten sechs Ziffern der Steuernummer 123456 lauten sollen.

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=9,A=8}$
• ${\displaystyle N_{1}=1,N_{2}=2,N_{3}=3,N_{4}=4,N_{5}=5,N_{6}=6}$

Gesucht ist die Prüfziffer ${\displaystyle P}$:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}S&=F+q(2\cdot A)+N_{1}+q(2\cdot N_{2})+N_{3}+q(2\cdot N_{4})+N_{5}+q(2\cdot N_{6})\\&=9+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 8} ^{16})} _{7}+1+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 2} ^{4})} _{4}+3+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 4} ^{8})} _{8}+5+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 6} ^{12})} _{3}\\&=9+7+1+4+3+8+5+3=40\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle P=(-S){\bmod {1}}0=(-40){\bmod {1}}0=0}$ = (80 - S) % 10 = (80 - 40) % 10 = 40 % 10 = 0

Die Abgabenkontonummer lautet daher: 98-123/4560

Beispiel 2 – Validierung einer gegebenen Abgabenkontonummer

Es soll die Abgabenkontonummer 90-123/4567 auf formale Gültigkeit geprüft werden.

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=9,A=0}$
• ${\displaystyle N_{1}=1,N_{2}=2,N_{3}=3,N_{4}=4,N_{5}=5,N_{6}=6}$
• ${\displaystyle P=7}$

Zu berechnen ist die Prüfziffer ${\displaystyle P'}$, die dann mit ${\displaystyle P}$ zu vergleichen ist:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}S&=F+q(2\cdot A)+N_{1}+q(2\cdot N_{2})+N_{3}+q(2\cdot N_{4})+N_{5}+q(2\cdot N_{6})\\&=9+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 0} ^{0})} _{0}+1+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 2} ^{4})} _{4}+3+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 4} ^{8})} _{8}+5+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 6} ^{12})} _{3}\\&=9+0+1+4+3+8+5+3=33\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle P'=(-S){\bmod {1}}0=(-33){\bmod {1}}0=7}$ = (80 - S) % 10 = (80 - 33) % 10 = 47 % 10 = 7

Die gegebene Abgabenkontonummer 90-123/4567 ist formal gültig, da hier ${\displaystyle P=P'}$ ist.

Beispiel 3 – Validierung einer gegebenen Abgabenkontonummer

Es soll die Steuernummer 987/6543, die dem Finanzamt „Wien 02/20/21/22“ (FA = 12) zugeordnet sein soll, auf formale Gültigkeit geprüft werden. (Es ist somit die Abgabenkontonummer 12-987/6543 auf formale Gültigkeit zu prüfen.)

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=1,A=2}$
• ${\displaystyle N_{1}=9,N_{2}=8,N_{3}=7,N_{4}=6,N_{5}=5,N_{6}=4}$
• ${\displaystyle P=3}$

Zu berechnen ist die Prüfziffer ${\displaystyle P'}$, die dann mit ${\displaystyle P}$ zu vergleichen ist:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}S&=F+q(2\cdot A)+N_{1}+q(2\cdot N_{2})+N_{3}+q(2\cdot N_{4})+N_{5}+q(2\cdot N_{6})\\&=1+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 2} ^{4})} _{4}+9+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 8} ^{16})} _{7}+7+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 6} ^{12})} _{3}+5+\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 4} ^{8})} _{8}\\&=1+4+9+7+7+3+5+8=44\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle P'=(-S){\bmod {1}}0=(-44){\bmod {1}}0=6}$ = (80 - S) % 10 = (80 - 44) % 10 = 36 % 10 = 6

Die gegebene Abgabenkontonummer 12-987/6543 ist formal nicht gültig, da hier ${\displaystyle P\neq P'}$ ist.

Beispiel 4 – direkte Rekonstruktion einer unbekannten Ziffer einer Abgabenkontonummer

Es soll die Abgabenkontonummer 46-376/5x21 rekonstruiert werden, deren vorvorletzte Stelle x unkenntlich geworden ist.

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=4,A=6}$
• ${\displaystyle N_{1}=3,N_{2}=7,N_{3}=6,N_{4}=5,N_{6}=2}$
• ${\displaystyle P=1}$

Gesucht ist ${\displaystyle N_{5}=x}$.

Die Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=N_{5}=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-Q(N_{6})-P]{\bmod {1}}0\\&=[-4-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 6} ^{12})} _{3}-3-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 7} ^{14})} _{5}-6-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 5} ^{10})} _{1}-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 2} ^{4})} _{4}-1]{\bmod {1}}0\\&=[-4-3-3-5-6-1-4-1]{\bmod {1}}0=[-27]{\bmod {1}}0=3\end{aligned}}}$

Die vollständige Abgabenkontonummer lautet somit 46-376/5321. Eine abschließend durchgeführte Validierung bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

Beispiel 5 – direkte Rekonstruktion einer unbekannten Ziffer einer Abgabenkontonummer

Es soll die Abgabenkontonummer 03-826/15x4 rekonstruiert werden, deren vorletzte Stelle x unkenntlich geworden ist.

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=0,A=3}$
• ${\displaystyle N_{1}=8,N_{2}=2,N_{3}=6,N_{4}=1,N_{5}=5}$
• ${\displaystyle P=4}$

Gesucht ist ${\displaystyle N_{6}=x}$.

Die Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{N_{6}}&=Q(N_{6})=[-F-Q(A)-N_{1}-Q(N_{2})-N_{3}-Q(N_{4})-N_{5}-P]{\bmod {1}}0\\&=[-0-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 3} ^{6})} _{6}-8-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 2} ^{4})} _{4}-6-\underbrace {q(\overbrace {2\cdot 1} ^{2})} _{2}-5-4]{\bmod {1}}0\\&=[0-6-8-4-6-2-5-4]{\bmod {1}}0=[-35]{\bmod {1}}0=5\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle x=N_{6}=z(Q_{N_{6}})=z(5)=\underbrace {\tfrac {5+9}{2}} _{{\text{da }}Q_{N_{6}}=5{\text{ ungerade}}}=7}$

Die vollständige Abgabenkontonummer lautet somit 03-826/1574. Eine abschließend durchgeführte Validierung bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.

Beispiel 6 – iterative Rekonstruktion einer unbekannten Ziffer einer Abgabenkontonummer

Es soll die Abgabenkontonummer 54-2x7/9451 rekonstruiert werden, deren vierte (von links beginnend gezählt) Stelle x unkenntlich geworden ist.

Gegeben ist also:

• ${\displaystyle F=5,A=4}$
• ${\displaystyle N_{1}=2,N_{3}=7,N_{4}=9,N_{5}=4,N_{6}=5}$
• ${\displaystyle P=1}$

Gesucht ist ${\displaystyle N_{2}=x}$.

Die iterative Berechnung kann wie folgt durchgeführt werden:

Laufnummer	gewählter Wert für ${\displaystyle x}$	temporäre Abgabenkontonummer	errechnete Prüfziffer ${\displaystyle P'}$	Validierungsergebnis (ist ${\displaystyle P'}$ gleich ${\displaystyle P}$?)
1	0	54-207/9451	4	nein
2	1	54-217/9451	2	nein
3	2	54-227/9451	0	nein
4	3	54-237/9451	8	nein
5	4	54-247/9451	6	nein
6	5	54-257/9451	3	nein
7	6	54-267/9451	1	ja

In diesem Beispiel hat man im siebenten Iterationsschritt jene Ziffer gefunden, die eine erfolgreiche Validierung der temporären Abgabenkontonummer ergibt. Die gefundene Ziffer vervollständigt also die gegebene Abgabenkontonummer. Die vollständige Abgabenkontonummer lautet somit 54-267/9451. Eine abschließend durchgeführte Validierung bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.