Schnitt von Hyperbeln

Die Lösung von Adriaan van Roomen (1596) basiert auf dem Schnitt zweier Hyperbeln. Die gegebenen Kreise seien mit C₁, C₂ und C₃ bezeichnet. Van Roomen löste das allgemeine Problem durch Zurückführung auf ein einfacheres Problem, nämlich die Bestimmung von Kreisen, die zwei gegebene Kreise berühren, etwa C₁ und C₂. Er stellte fest, dass der Mittelpunkt eines Kreises, der die beiden gegebenen Kreise berührt, auf einer Hyperbel liegen muss, deren Brennpunkte die Mittelpunkte der gegebenen Kreise sind. Um das zu verstehen, sollen die Radien des Lösungskreises und der zwei gegebenen Kreise mit r_s, r₁ bzw. r₂ bezeichnet werden (Abbildung 3). Der Abstand d₁ zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und von C₁ ist entweder r_s + r₁ oder r_s − r₁ – je nachdem, ob diese Kreise ausschließend oder einschließend berührt werden. Entsprechend ist der Abstand d₂ zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und von C₂ entweder gleich r_s + r₂ oder r_s − r₂ – wieder abhängig von der Art der Berührung. Daher ist die Differenz d₁ − d₂ dieser Abstände immer eine Konstante, die unabhängig von r_s ist. Diese Eigenschaft einer festen Differenz der Abstände von zwei Brennpunkten charakterisiert Hyperbeln; folglich muss der Mittelpunkt des Lösungskreises auf einer Hyperbel liegen. Eine zweite Hyperbel kann gezeichnet werden für die beiden gegebenen Kreise C₂ und C₃, wobei die Art der Berührung zwischen dem Lösungskreis und C₂ konsistent sein sollte zur ersten Hyperbel. Der Schnitt der beiden Hyperbeln (falls nicht leer) liefert den Mittelpunkt des Lösungskreises mit den vorgegebenen Berührungseigenschaften. Die gesamte Menge der Lösungen des apollonischen Problems findet man, indem man alle möglichen Kombinationen von ein- oder ausschließender Berührung der drei gegebenen Kreise betrachtet.

Isaac Newton (1687) verbesserte van Roomens Lösung dadurch, dass die Mittelpunkte der Lösungskreise durch Schnitt einer Geraden und eines Kreises ermittelt wurden. Newton formulierte das Apollonios-Problem als ein Problem der Trilateration: die Bestimmung eines Punktes Z aus drei gegebenen Punkten A, B und C, sodass die Differenzen der Abstände zwischen Z und den drei gegebenen Punkten bestimmte Werte haben. Diese vier Punkte entsprechen dem Mittelpunkt des Lösungskreises (Z) und den Mittelpunkten der drei gegebenen Kreise (A, B und C).

Anstelle der zwei Hyperbeln konstruiert Newton ihre Leitlinien. Für jede Hyperbel ist das Verhältnis der Abstände eines Punktes Z zu einem Brennpunkt A und der Leitlinie eine Konstante, die Exzentrizität genannt wird. Die zwei Leitlinien schneiden sich in einem Punkt T, und aus den beiden bekannten Abstandsverhältnissen konstruiert Newton eine Gerade durch T, auf der Z liegen muss. Das Abstandsverhältnis TZ/TA ist jedoch ebenfalls bekannt; daher liegt Z auch auf einem bekannten Kreis, da nach Apollonios ein Kreis definiert werden kann als die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei gegebenen festen Punkten ein bestimmtes Verhältnis haben (Kreis des Apollonios). (Diese Definition ist übrigens die Grundlage der bipolaren Koordinaten.) Das Problem des Apollonios kann also auf den Schnitt von Gerade und Kreis zurückgeführt werden.

Viètes Rekonstruktion

Wie unten beschrieben, hat das apollonische Problem zehn Spezialfälle, die sich in der Art der drei gegebenen Objekte, nämlich Kreise (K), Geraden (G) oder Punkte (P) unterscheiden. Gewöhnlich werden diese zehn Fälle mit Abkürzungen wie KKP bezeichnet. Viète löste alle diese Fälle durch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal; dabei verwendete er die Lösungen der einfacheren Fälle zur Behandlung der komplizierteren Fälle.

Viète begann mit der Lösung des Falles PPP (drei Punkte) und folgte dabei der Methode von Euklid, wie sie in den Elementen beschrieben ist. Darauf aufbauend, leitete er ein Lemma ab, das dem Satz über die Potenz eines Punktes entspricht, und löste mit dessen Hilfe den Fall GPP (eine Gerade, zwei Punkte). Ebenfalls nach Euklid löste Viète den Fall GGG (drei Geraden) durch Verwendung von Winkelhalbierenden. Anschließend leitete er ein Lemma ab, um das Lot zu einer Winkelhalbierenden durch einen gegebenen Punkt zu konstruieren, womit der Fall GGP (zwei Geraden, ein Punkt) erledigt war. Damit waren die ersten vier Fälle des Apollonios-Problems gelöst, bei denen keine Kreise gegeben waren.

Um die verbleibenden Probleme zu lösen, nutzte Viète die Tatsache aus, dass die gegebenen Kreise und ein Lösungskreis ihre Größe ändern können, ohne dass sich an der Berührung etwas ändert (Abbildung 5). Wenn der Radius des Lösungskreises um einen Betrag ${\displaystyle \Delta r}$ verändert wird, muss sich der Radius der gegebenen Kreise bei einschließender Berührung ebenfalls um ${\displaystyle \Delta r}$ ändern, bei ausschließender Berührung dagegen um ${\displaystyle -\Delta r}$. Wenn also der Lösungskreis anschwillt, müssen die gegebenen Kreise bei einschließender Berührung genauso anschwellen und bei ausschließender Berührung sich entgegengesetzt verhalten, wenn die Berührungseigenschaft erhalten bleiben soll.

Viète verwendete diesen Zugang, um einen der gegebenen Kreise zu einem Punkt schrumpfen zu lassen; auf diese Weise ließen sich die komplizierteren Fälle auf die einfacheren, schon gelösten Fälle zurückführen. Er löste zuerst den Fall KGG (ein Kreis, zwei Geraden) durch Verkleinern des Kreises zu einem Punkt, entsprechend dem Fall GGP. Danach löste er den Fall KGP (ein Kreis, eine Gerade, ein Punkt) unter Verwendung von drei Lemmata. Erneut durch Schrumpfen eines Kreises zu einem Punkt, transformierte Viète den Fall KKG in den Fall KGP. Danach löste er die Fälle KPP (ein Kreis, zwei Punkte) und KKP (zwei Kreise, ein Punkt), den zweiten davon mit zwei Lemmata. Zuletzt löste Viète den allgemeinen Fall KKK (drei Kreise) durch Verkleinerung eines Kreises zu einem Punkt, wodurch dieses Teilproblem auf den Fall KKP zurückgeführt wurde.

Algebraische Lösung

Bezeichnet man die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise mit

${\displaystyle M_{1}=(x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle M_{2}=(x_{2},y_{2})}$ und ${\displaystyle M_{3}=(x_{3},y_{3})}$,

deren Radien mit ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ und ${\displaystyle r_{3}}$ sowie Mittelpunkt und Radius des gesuchten Kreises mit ${\displaystyle M_{s}=(x_{s},y_{s})}$ und ${\displaystyle r_{s}}$, so führen die Bedingungen für die Abstände des gesuchten Kreismittelpunkts von den gegebenen Mittelpunkten auf ein Gleichungssystem des folgenden Typs für die drei Unbekannten ${\displaystyle x_{s}}$, ${\displaystyle y_{s}}$ und ${\displaystyle r_{s}}$:

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}\pm r_{1}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}\pm r_{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}\pm r_{3}\right)^{2}}$

Bei ausschließender Berührung gilt das Pluszeichen von ${\displaystyle \pm }$, bei einschließender Berührung das Minuszeichen. Subtrahiert man beispielsweise die zweite Gleichung von der ersten und die dritte von der zweiten, so kann man ${\displaystyle x_{s}}$ und ${\displaystyle y_{s}}$ durch ${\displaystyle r_{s}}$ ausdrücken, indem man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten löst.

${\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}}$

${\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}}$

Die Koeffizienten ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ hängen von den gegebenen Kreisen und der Art der Berührung (ein- oder ausschließend) ab.

Durch Einsetzen dieser Ergebnisse in eine der gegebenen Gleichungen erhält man eine quadratische Gleichung, mit der sich ${\displaystyle r_{s}}$ bestimmen lässt; daraus lassen sich anschließend die Koordinaten ${\displaystyle x_{s}}$ und ${\displaystyle y_{s}}$ errechnen.

Das hier beschriebene Verfahren bezieht sich zunächst auf den Fall dreier Kreise (KKK), lässt sich aber problemlos auf Punkte übertragen, wenn man diese als Kreise mit Radius 0 auffasst. Bei Geraden kann man aus der Bedingung, dass der Mittelpunkt ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$ eines Lösungskreises den Abstand ${\displaystyle r_{s}}$ haben muss, lineare Gleichungen für ${\displaystyle x_{s}}$, ${\displaystyle y_{s}}$ und ${\displaystyle r_{s}}$ aufstellen; die weitere Lösung erfolgt wie bei Kreisen.

Inversive Methoden

Einen natürlichen Rahmen für das Problem des Apollonios bildet die Inversive Geometrie. Die grundlegende Strategie der inversiven Methoden besteht darin, ein gegebenes Apollonios-Problem in ein anderes Apollonios-Problem zu verwandeln, das einfacher zu lösen ist; die Lösungen des originalen Problems erhält man aus den Lösungen des transformierten Problems dadurch, dass man die Transformation rückgängig macht. In Frage kommen Transformationen, die ein Apollonios-Problem in ein anderes verwandeln; sie müssen daher die gegebenen Punkte, Kreise und Geraden in andere Punkte, Kreise oder Geraden verwandeln, aber in keine anderen Formen. Die Kreisspiegelung hat diese Eigenschaft und erlaubt es, Mittelpunkt und Radius des Inversionskreises beliebig zu wählen. Zunächst könnte man meinen, dass auch Kongruenzabbildungen in Betracht kommen; diese würden aber das Problem nicht vereinfachen, sondern nur auf Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen des originalen Problems hinauslaufen.

Die Inversion an einem Kreis (Kreisspiegelung) mit Mittelpunkt O und Radius R besteht aus der folgenden Operation (Abbildung 6): jeder Punkt P wird abgebildet auf einen neuen Punkt P′, so dass O, P und P′ kollinear sind und das Produkt der Abstände von P und P′ zum Mittelpunkt O gleich dem Quadrat des Radius R ist:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.}$

Liegt P außerhalb des Kreises, so liegt P′ innerhalb, und umgekehrt. Stimmt P mit O überein, so sagt man, dass die Inversion P ins Unendliche abbildet. (In der Komplexen Analysis wird "unendlich" auf der Riemannschen Zahlenkugel definiert.) Die Inversion hat die nützliche Eigenschaft, dass Geraden und Kreise immer in Geraden oder Kreise transformiert werden, und Punkte immer in Punkte. Kreise gehen bei der Inversion im Allgemeinen in Kreise über; wenn allerdings ein Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises geht, wird er in eine Gerade transformiert, und umgekehrt. Bedeutsam ist die Tatsache, dass ein Kreis, der den Inversionskreis rechtwinklig schneidet, durch die Inversion nicht verändert wird, sondern auf sich selbst abgebildet wird.

Die Kreisspiegelungen entsprechen einer Teilmenge der Möbiustransformationen auf der Riemannkugel. Das ebene Apollonios-Problem kann durch stereografische Projektion auf die Kugel übertragen werden; daher gelten die Lösungen des ebenen Problems auch für das entsprechende Problem auf der Kugel. Auch andere inversive Lösungen des ebenen Problems sind möglich.

Lösungspaare bezüglich Inversion

Lösungen des Apollonios-Problems treten gewöhnlich paarweise auf; zu jedem Lösungskreis gibt es einen konjugierten Lösungskreis (Abbildung 7). Dabei schließt ein Lösungskreis die gegebenen Kreise aus, die der andere Lösungskreis einschließt, und umgekehrt. Im abgebildeten Beispiel schließt ein Lösungskreis (pink, links oben) zwei gegebene Kreise (schwarz) ein, den dritten gegebenen Kreis jedoch aus; der konjugierte Lösungskreis hingegen (ebenfalls pink, rechts unten) schließt den dritten gegebenen Kreis ein, die beiden anderen aber aus. Die beiden konjugierten Lösungskreise sind symmetrisch zueinander bezüglich einer Kreisspiegelung, wie im Folgenden erläutert wird.

Im Allgemeinen gibt es zu drei beliebigen Kreisen einen eindeutig bestimmten Kreis (engl. radical circle), der alle drei gegebenen Kreise rechtwinklig schneidet; der Mittelpunkt dieses Kreises wird englisch als radical center bezeichnet. Zur Veranschaulichung, der orange gezeichnete Kreis in Abbildung 7 schneidet die gegebenen, schwarz dargestellten Kreise im rechten Winkel. Die Kreisspiegelung am radical circle lässt die gegebenen Kreise unverändert, bildet aber die konjugierten Lösungskreise (pink) aufeinander ab. Dieselbe Kreisspiegelung bildet die entsprechenden Berührpunkte der zwei Lösungskreise aufeinander ab; zur Verdeutlichung, die beiden blau gekennzeichneten Punkte auf jeder der grünen Linien werden ineinander transformiert. Daher sind die Verbindungsgeraden solcher konjugierter Berührpunkte invariant bezüglich der Inversion; folglich müssen sie durch das Zentrum der Inversion gehen, also durch das radical center (grüne Linien, die sich im orangen Punkt der Skizze schneiden).

Gergonnes Lösung

Gergonnes Methode beruht darauf, dass Paare von Lösungskreisen betrachtet werden. Es seien zwei Lösungskreise mit C_A und C_B bezeichnet (pink dargestellte Kreise in Abbildung 10); die Berührpunkte mit den drei gegebenen Kreisen seien A₁, A₂, A₃ beziehungsweise B₁, B₂, B₃. Gergonnes Lösungsmethode verfolgt das Ziel, diese sechs Punkte zu lokalisieren und so die zwei Lösungskreise zu finden.

Gergonne erkannte, dass, wenn eine Gerade L₁ konstruiert werden kann, sodass A₁ und B₁ darauf liegen müssen, diese zwei Punkte durch Schnitt von L₁ mit dem gegebenen Kreis C₁ bestimmt werden können (Abbildung 10). Die anderen vier Berührpunkte lassen sich entsprechend ermitteln, indem man Geraden L₂ und L₃ findet, die durch A₂ und B₂ beziehungsweise durch A₃ und B₃ gehen. Um eine solche Gerade wie L₁ zu konstruieren, müssen zwei Punkte identifiziert werden, die auf dieser Geraden liegen; aber diese Punkte müssen keine Berührpunkte sein. Gergonne gelang es, je zwei andere Punkte für diese Geraden zu finden. Von einem dieser beiden Punkte war schon die Rede, nämlich vom radical center G, das auf allen drei Geraden liegt (Abbildung 11).

Um je einen zweiten Punkt auf den Geraden L₁, L₂ und L₃ zu lokalisieren, verwendete Gergonne einen Zusammenhang zwischen diesen Geraden und der Potenzgerade R der Lösungskreise C_A und C_B. Um diesen Zusammenhang zu verstehen, sollen die beiden Tangenten an den Kreis C₁ in den Berührpunkten mit den Lösungskreisen (A₁ und B₁) betrachtet werden; der Schnittpunkt dieser Tangenten ist der Pol von L₁ in Bezug auf den Kreis C₁. Da die Abstände dieses Pols zu den Berührpunkten A₁ und B₁ gleich sind, muss dieser Pol definitionsgemäß auch auf der Potenzgerade R der Lösungskreise liegen (Abbildung 10). Die Beziehung zwischen Polpunkten und ihren Polgeraden ist wechselseitig; wenn der Pol von L₁ bezüglich C₁ auf R liegt, muss umgekehrt der Pol von R bezüglich C₁ auf L₁ liegen. Daher können wir durch Konstruktion von R seinen Pol P₁ bezüglich C₁ finden; auf diese Weise erhält man den benötigten zweiten Bestimmungspunkt von L₁ (Abbildung 11).

Gergonne fand die Potenzgerade R der unbekannten Lösungskreise folgendermaßen. Ein beliebiges Paar von Kreisen besitzt zwei Ähnlichkeitszentren; diese zwei Punkte ergeben sich als die Schnittpunkte der gemeinsamen Tangenten beider Kreise. Daher gibt es zu den drei gegebenen Kreisen sechs Ähnlichkeitszentren, je zwei für jedes Paar von Kreisen. Bemerkenswerterweise liegen diese sechs Punkte auf vier Geraden, und zwar jeweils drei Punkte auf jeder der Geraden; außerdem entspricht jede der Geraden der Potenzgerade eines potentiellen Paars von Lösungskreisen. Um dies zu zeigen, betrachtete Gergonne Geraden durch entsprechende Berührpunkte auf zwei der gegebenen Kreise, z. B. die Verbindungsgeraden A₁A₂ und B₁B₂. Nun sei X₃ ein Ähnlichkeitszentrum für die zwei Kreise C₁ und C₂; dann sind A₁, A₂ und B₁, B₂ Paare von antihomologen Punkten, und ihre Verbindungsgeraden schneiden sich in X₃. Daraus folgt, dass die Produkte der Abstände gleich sind:

${\displaystyle {\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}}$

Damit ist gezeigt, dass X₃ auf der Potenzgerade der zwei Lösungskreise liegt. Ein entsprechendes Argument lässt sich auf die beiden anderen Paare von Kreisen anwenden, sodass die drei Ähnlichkeitszentren für die drei gegebenen Kreise auf den Potenzgeraden der Paare von Lösungskreisen liegen müssen.

Zusammengefasst ist die gesuchte Gerade L₁ durch zwei Punkte definiert: das radical center G der drei gegebenen Kreise und den Pol von einer der vier Verbindungsgeraden der Ähnlichkeitszentren bezüglich C₁. Bestimmung der entsprechenden Pole bezüglich C₂ und C₃ ergibt die Geraden L₂ und L₃; so können alle sechs Punkte lokalisiert werden, aus denen ein Paar von Lösungskreisen bestimmt werden kann. Wiederholt man diese Prozedur für die anderen drei Verbindungsgeraden von Ähnlichkeitszentren, so erhält man weitere sechs Lösungskreise, insgesamt also acht Lösungen. Wenn jedoch eine Gerade L_k keinen Schnittpunkt mit dem Kreis C_k besitzt (für dasselbe k), existiert kein Paar von Lösungskreisen für diese Verbindungsgerade von Ähnlichkeitszentren.

Fallunterscheidung

Das Problem ist in allen Fällen mit den klassischen Mitteln (Zirkel und Lineal) lösbar. Falls zwei der Kreise mindestens einen Punkt M gemein haben, kann man das Problem vereinfachen, indem man es durch eine Spiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M auf den Fall zurückführt, dass zwei der Kreise in Geraden ausarten.

Für die vier Fälle ohne gegebene Kreise können mit relativ einfachen Möglichkeiten Lösungen für die Kreisradien angegeben werden:

Drei Punkte

Für drei Punkte gibt es eine Lösung. Wenn mindestens zwei Punkte aufeinander liegen, gibt es unendlich viele Lösungen.

Die drei Punkte bilden ein Dreieck mit den Seiten a, b, c. Der gesuchte Kreis ist der Umkreis dieses Dreiecks:

${\displaystyle r={\frac {abc}{4A}}={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {a}{2\sin \alpha }}}$

Für die Bestimmung des Flächeninhaltes A kann wieder der Satz des Heron verwendet werden.

Eine Gerade, zwei Punkte

Für zwei Punkte und eine Gerade gibt es zwei Lösungen, bei den unten genannten Spezialfällen nur eine, und für zwei auf der Geraden liegende Punkte keine Lösung.

Die vorgegebenen Punkte seien mit ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ bezeichnet, die vorgegebene Gerade mit ${\displaystyle g}$. Weiter sei ${\displaystyle S}$ der Schnittpunkt der Geraden ${\displaystyle (P_{1}P_{2})}$ mit ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle \alpha <90^{\circ }}$ der Schnittwinkel. Dann haben die Berührpunkte der beiden gesuchten Kreise nach dem Sekantentangentensatz den Abstand ${\displaystyle t={\sqrt {{\overline {SP_{1}}}\cdot {\overline {SP_{2}}}}}}$ von ${\displaystyle S}$. Die Mittelpunkte können dann als Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ mit den Senkrechten zu ${\displaystyle g}$ in den Berührpunkten ermittelt werden.

Zwei Geraden, ein Punkt

Es gibt verschiedene Fälle:

• Die Geraden sind parallel: Falls der Punkt außerhalb des von den Geraden begrenzten Bereiches liegt, gibt es keine Lösungen. Liegt er auf einer der Geraden, gibt es eine Lösung. Liegt er dazwischen, zwei Lösungen; der Kreisdurchmesser ist jeweils gleich dem Abstand der Geraden.
• Die Geraden sind nicht parallel:
  • Ist der Punkt der Schnittpunkt der Geraden, gibt es keine Lösung, sofern man die Lösung r=0 (Sonderfall des Kreises) ignoriert.
  • Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ auf einer der Geraden, ${\displaystyle g}$, ist jedoch nicht der Schnittpunkt, gibt es zwei Lösungen; die Mittelpunkte der Kreise sind die Schnittpunkte der beiden Winkelhalbierenden mit der Senkrechten zu ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle P}$.
  • Liegt der Punkt auf keiner der Geraden, gibt es zwei Lösungen; dies ist der generische Fall. Es seien ${\displaystyle P'}$ das Bild von ${\displaystyle P}$ unter der Spiegelung an der zugehörigen Winkelhalbierenden ${\displaystyle w}$ und ${\displaystyle S}$ der Schnittpunkt der Senkrechten zu ${\displaystyle w}$ durch ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle P'}$ mit einer der Geraden, ${\displaystyle g}$. Damit ist die Darstellung nun symmetrisch zur Winkelhalbierenden. Der Abstand der Berührpunkte ${\displaystyle B}$ (der beiden Kreise mit ${\displaystyle g}$) zu ${\displaystyle S}$ ergibt sich mit Hilfe der Beziehung des Sekanten-Tangenten-Satz, angewendet mit ${\displaystyle S}$ als Geraden-Zentrum zu ${\displaystyle {\overline {BS}}={\sqrt {{\overline {SP}}\cdot {\overline {SP'}}}}}$. Aufgetragen nach beiden Seiten auf ${\displaystyle g}$ ergeben sich zunächst die Berührpunkte ${\displaystyle B}$. Die Mittelpunkte ${\displaystyle M}$ der Kreise ergeben sich durch die jeweiligen Schnittpunkte der Senkrechten zu ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle B}$ mit der Winkelhalbierenden ${\displaystyle w}$.

Drei Geraden

Für drei sich schneidende Geraden (nicht parallel oder übereinander liegend) gibt es vier Lösungen. Sind zwei der Geraden parallel, gibt es nur zwei Lösungen, für drei Parallelen gibt es keine Lösung und für parallele Geraden mit Abstand 0 gibt es unendlich viele Lösungen.

Die drei Geraden bilden mit ihren Schnittpunkten ein Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle a,b,c}$. Deshalb kommen hier die Regeln für den Inkreis und die Ankreise zur Anwendung:

${\displaystyle r={\frac {2A}{a+b+c}}={\frac {A}{s}}={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}}$

mit den Innenwinkeln ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, dem Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ und dem halben Umfang ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Um einen Ausdruck zu erhalten, der nur die Seitenlängen verwendet, kann der Satz des Heron benutzt werden:

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

Die entsprechenden Formeln für die Ankreise lauten

${\displaystyle r_{a}={\frac {2A}{b+c-a}}={\frac {A}{s-a}}={\frac {a}{\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}}}$

bzw. für die anderen Ankreisen entsprechend.

Zahl der Lösungen

Das Problem, für die verschiedenen Typen des Apollonios-Problems die Anzahl der Lösungen zu ermitteln, gehört zum Gebiet der enumerativen Geometrie. Die allgemeine Zahl von Lösungen für die zehn Problemvarianten ist in der Tabelle weiter oben angegeben. Es kommt jedoch vor, dass spezielle Anordnungen der gegebenen Elemente die Zahl der Lösungen ändern. Beispielsweise hat das Apollonische Problem keine Lösung, wenn einer der Kreise die beiden anderen trennt (Abbildung 12); um die beiden durchgezogen gezeichneten Kreise zu berühren, müsste ein Lösungskreis den gestrichelt dargestellten Kreis schneiden; das ist aber unmöglich, wenn der gestrichelte Kreis berührt werden soll. Umgekehrt, wenn sich die drei gegebenen Kreise im selben Punkt berühren, dann ist jeder Kreis durch den gemeinsamen Punkt eine Lösung; solche Apollonios-Probleme haben unendlich viele Lösungen. Auch im Fall identischer gegebener Kreise gibt es im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Sind nur zwei Kreise identisch, so gibt es nur zwei verschiedene gegebene Kreise; die Mittelpunkte der Lösungskreise bilden eine Hyperbel, wie im Abschnitt Schnitt von Hyperbeln gezeigt wird.

Eine umfassende Zählung der Lösungen für alle möglichen Konfigurationen von drei gegebenen Kreisen, Punkten oder Geraden wurde zuerst von Muirhead im Jahre 1896 in Angriff genommen, auch wenn es frühere Arbeiten dazu von Stoll und Study gab. Die Untersuchung von Muirhead war jedoch unvollständig; sie wurde 1974 erweitert. Eine endgültige Zählung mit 33 verschiedenen Fällen wurde 1983 veröffentlicht. Obwohl die Lösungen des Apollonischen Problems gewöhnlich paarweise auftreten (siehe Abschnitt Lösungspaare bezüglich Inversion), ist in einigen Fällen eine ungerade Zahl von Lösungen möglich, wie etwa bei der eindeutig bestimmten Lösung des Problems PPP, oder wenn einer der gegebenen Kreise oder alle drei selbst Lösungen sind. (Ein Beispiel dafür sind die Kreise im Satz von Descartes). Es gibt jedoch kein Apollonios-Problem mit genau sieben Lösungen.