Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis, der auf die beiden polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und Czesław Ryll-Nardzewski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einer mengenwertigen Abbildung zwischen einem Messraum und einem topologischen Raum unter Berücksichtigung von Messbarkeitsgesichtspunkten eine Auswahlabbildung zugehört.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung von Leszek Gasiński und Nikolaos S. Papageorgiou lässt sich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein Messraum ${\displaystyle \Omega }$ und ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$.

Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ derart, dass für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die zugeordnete Teilmenge ${\displaystyle F(\omega )}$ in ${\displaystyle X}$ abgeschlossen ist.

Ist dabei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$.

Verwandter Satz

Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter Stetigkeitsgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, als Auswahlsatz von Michael (englisch Michael Selection Theorem) bezeichnet wird.

Anknüpfend an die Darstellung von Winfried Kaballo lässt sich dieser Satz von folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein topologischer Raum ${\displaystyle \Omega }$ und ein topologischer Vektorraum ${\displaystyle X}$.

Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ derart, dass für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die zugeordnete Teilmenge ${\displaystyle F(\omega )}$ in ${\displaystyle X}$ zugleich abgeschlossen und konvex ist.

Ist dabei ${\displaystyle \Omega }$ ein parakompakter Hausdorffraum und ist zugleich ${\displaystyle X}$ ein Fréchet-Raum, so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$.

Erläuterungen

• Ein topologischer Raum ${\displaystyle \Omega }$ ist vermöge seiner Borel-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega )}$ stets auch ein Messraum.
• Für gegebene Grundmengen ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle X}$ und eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ ist eine zu ${\displaystyle F}$ gehörige Auswahlabbildung (englisch selector, selection) oder auch Auswahlabbildung von ${\displaystyle F}$ dadurch gekennzeichnet, dass für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die Beziehung ${\displaystyle f(\omega )\in F(\omega )}$ erfüllt ist. Eine solche Auswahlabbildung ist also nichts weiter als ein Element der Produktmenge ${\displaystyle \prod _{\omega \in \Omega }F(\omega )}$.
• Für einen Messraum ${\displaystyle \Omega }$ mit zugehöriger Σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )}$ und einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ wird eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)}$ als messbar bezeichnet, wenn für jede in ${\displaystyle X}$ gelegene offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ die zugehörige Teilmenge ${\displaystyle F^{-}(U):=\left\{\omega \in \Omega \mid F(\omega )\cap U\neq \emptyset \right\}}$ die Beziehung ${\displaystyle F^{-}(U)\in {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )}$ erfüllt.
• Für zwei topologische Räume ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle X}$ wird eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)}$ als unterhalbstetig bezeichnet, wenn für jede in ${\displaystyle X}$ gelegene offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ die zugehörige zugehörige Teilmenge ${\displaystyle F^{-}(U)}$ in ${\displaystyle \Omega }$ offen ist.
• Der Auswahlsatz von Michael beruht nicht zuletzt darauf, dass in einem parakompakten Hausdorffraum bezüglich jeder beliebigen offenen Überdeckung stets eine stetige Zerlegung der Eins existiert.
• In einer häufig zitierten anderen Version des Auswahlsatzes von Michael – so auch bei Gasiński/Papageorgiou – wird der topologische Vektorraum ${\displaystyle X}$ sogar als Banachraum vorausgesetzt.

Literatur

• Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves: Mappings between function spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 72, 1952, S. 400–413 (MR0047910). 
• J. M. Borwein, Asen L. Dontchev: On the Bartle-Graves theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 131, 2003, S. 2553–2560 (MR1974655). 
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4 (MR3307732). 
• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5 (MR3672798). 

Anmerkungen

1. ↑ Mit dem oberen Querbalken ist die jeweilige abgeschlossene Hülle im topologischen Sinne gemeint.
2. ↑ Mit den Auswahlabbildungen verwandt sind die Auswahlfunktionen.
3. ↑ Man nennt ${\displaystyle F^{-}(U)}$ auch das schwache Urbild (englisch weak inverse image) von ${\displaystyle U}$ unter ${\displaystyle F}$.
4. ↑ Für den Beweis dieses Satzes benötigt man die Zuhilfenahme des Zorn'schen Lemmas und damit die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms. Siehe Horst Schubert: Topologie., 4. Auflage, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, S. 83–88!

Einzelnachweise

1. ↑ Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 643 ff.
2. ↑ Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 643–644
3. 1 2 Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 645
4. ↑ Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie 2014, 198 ff.
5. ↑ Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 229–230
6. ↑ Kaballo, op. cit., S. 216
7. ↑ Kaballo, op. cit., S. 197–198, 215–218