Symmetrien

Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix ${\displaystyle J\in K^{n\times n}}$ definiert durch

${\displaystyle J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\cdot ^{\,\cdot ^{\,\cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}}$

lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen

${\displaystyle A=A^{T}}$   und   ${\displaystyle JA=AJ}$

charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix ${\displaystyle J}$ von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.

Summe und Produkt

Die Summe ${\displaystyle A+B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache ${\displaystyle cA}$ mit ${\displaystyle c\in K}$. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum ${\displaystyle K^{n\times n}}$.

Das Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kommutieren.

Inverse

Für Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

${\displaystyle A^{-1}=(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$   und   ${\displaystyle JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA)^{-1}=A^{-1}J}$.

Die Inverse einer regulären bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch.