Zirkuläre und sphärische Einschlüsse

${\displaystyle \sum _{i}\,\delta _{i}\,{\frac {\sigma _{i}-\sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (1)}$

In einem System euklidischer Raumdimension ${\displaystyle n}$ mit einer beliebigen Anzahl von Komponenten wird die Summe über alle Komponenten gebildet. ${\displaystyle \delta _{i}}$ und ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sind hierbei jeweils der Anteil und die Leitfähigkeit jeder Komponente, und ${\displaystyle \sigma _{e}}$ist die effektive Leitfähigkeit des Mediums. (Die Summe über alle ${\displaystyle \delta _{i}}$ ist 1.)

Elliptische und ellipsoide Einschlüsse

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\delta \alpha +{\frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (2)}$

Dies ist eine Verallgemeinerung von Gleichung (1) zu einem zweiphasigen System mit ellipsoidischen Einschlüssen der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma }$ in eine Matrix der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{m}}$. Der Anteil der Einschlüsse ist ${\displaystyle \delta }$ und das System ist ${\displaystyle n}$-dimensional. Für zufällig orientierte Einschlüsse,

${\displaystyle \alpha \,=\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\,{\frac {\sigma -\sigma _{e}}{\sigma _{e}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e})}}\qquad \qquad (3)}$

wobei ${\displaystyle L_{j}}$ das geeignete Doble/Tripplett der Depolarisationsfaktoren bezeichnen, das durch die Verhältnisse zwischen der Achse der Ellipse/Ellipsoid bestimmt wird. Zum Beispiel: bei einem Kreis {${\displaystyle L_{1}=1/2}$, ${\displaystyle L_{2}=1/2}$} und bei einer Kugel {${\displaystyle L_{1}=1/3}$, ${\displaystyle L_{2}=1/3}$, ${\displaystyle L_{3}=1/3}$}. (Die Summe über alle ${\displaystyle L_{j}}$ ist 1.)

Der allgemeinste Fall auf den der Bruggeman-Ansatz angewendet wurde, betrifft bianisotrope ellipsoide Einschlüsse.

Ableitung

Die Abbildung zeigt ein Zweikomponenten-Medium. Man betrachtet das rosa Volumen der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{1}}$ als eine Kugel des Volumens ${\displaystyle V}$ und geht davon aus, dass es in ein einheitliches Medium mit einer effektiven Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma _{e}}$ eingebettet ist. Wenn das elektrische Feld in der Ferne ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$ ist, dann führen elementare Überlegungen zu einem Dipolmoment, das mit dem Volumen verbunden ist.

${\displaystyle {\overline {p}}\,\propto \,V\,{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,{\overline {E_{0}}}\qquad \qquad (4)}$

Diese Polarisation erzeugt eine Abweichung von ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$. Wenn die mittlere Abweichung verschwinden soll, muss die gesamte Polarisation, die über die beiden Einschlusstypen summiert wird, verschwinden. So

${\displaystyle \delta _{1}{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e}}{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0\qquad \qquad (5)}$

wobei ${\displaystyle \delta _{1}}$ und ${\displaystyle \delta _{2}}$ jeweils der Volumenanteil von Material 1 und 2 sind.

Diese Gleichung kann leicht zu einem System der Dimension ${\displaystyle n}$ erweitert werden, das eine beliebige Anzahl von Komponenten aufweist. Alle Fälle können kombiniert werden, um Gleichung (1) zu erhalten.

Gleichung (1) kann auch dadurch erhalten werden, dass die Stromabweichung verschwinden muss. Es wurde hier aus der Annahme abgeleitet, dass die Einschlüsse kugelförmig sind und für Formen mit anderen Depolarisationsfaktoren modifiziert werden können; was Gleichung (2) führt.

Modellierung von Perkolationssystemen

Die Hauptannahme der Näherung ist, dass sich alle Domänen in einem äquivalenten mittleren Feld befinden. Leider ist für ein System nahe der Perkolationsschwelle nicht der Fall. Hier wird das System vom größten (fraktalen) Leitergruppe und von weitreichenden Korrelationen bestimmt werden, die in Bruggemans einfacher Formel jedoch nicht vorhanden sind. Die Schwellenwerte werden im Allgemeinen nicht korrekt vorhergesagt. So ergibt sich aus einem dreidimensionalen Modell 33 %, was weit entfernt von den 16 %, die von der Perkolationstheorie erwartet werden und in Experimenten beobachtet wurden. In zwei Dimensionen ergibt sich jedoch einen Schwellenwert von 50 % und es wurde nachgewiesen, dass dies die Perkolation relativ gut modelliert.

Ableitung

Für die Ableitung der Maxwell-Garnett-Gleichung wird von einer Anordnung polarisierbarer Partikel ausgegangen. Durch die Verwendung des Lorentz-Lokalfeldkonzeptes erhält man die Clausius-Mossotti-Beziehung:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$

wobei ${\displaystyle N_{j}}$die Anzahl der Partikel pro Volumeneinheit ist.

Durch die Verwendung von elementarer Elektrostatik erhalten wir für einen sphärischen Einschluss mit der Dielektrizitätskonstante ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ und einem Radius ${\displaystyle a}$ eine Polarisierbarkeit ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$

Wenn ${\textstyle \alpha }$ mit der Clausius-Mosotti-Gleichung kombiniert wird, erhält man:

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ die effektive Dielektrizitätskonstante des Mediums, ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ die der Einschlüsse. ${\displaystyle \delta _{i}}$ist der Volumenanteil der Einschlüsse.

Da das Modell von Maxwell und Garnett eine Zusammensetzung aus einem Matrixmedium mit Einschlüssen ist, kann die Gleichung umgeformt werden:

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)\qquad \qquad (8)}$

Gültigkeit

Allgemein wird angenommen, dass die Maxwell-Garnett-Näherung bei geringen Volumenanteilen ${\displaystyle \delta _{i}}$ gültig ist, da davon ausgegangen wird, dass die Domänen räumlich getrennt sind und die elektrostatische Wechselwirkung zwischen den ausgewählten Einschlüssen und allen anderen benachbarten Einschlüssen vernachlässigt wird. Im Gegensatz zur Bruggeman-Gleichung, hört die Maxwell-Garnett-Gleichung auf, korrekt zu sein, wenn die Einschlüsse resonant werden. Im Falle der Plasmonresonanz ist die Maxwell-Garnett-Gleichung nur für einen Volumenanteil der Einschlüsse ${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$ gültig.