Verteilungsfunktion

Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{0}^{x}f_{\lambda }\left(t\right)\ {\rm {d}}t={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&,x>0,\\0&,x\leq 0.\end{cases}}}$

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle x}$.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als ${\displaystyle x}$ bis zum nächsten Ereignis beträgt ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$.

Erwartungswert

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$, denn

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda }}}$.

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet.

Median

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}}$.

Modus

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei ${\displaystyle x=0}$ an, d. h., der Modus ist

${\displaystyle x_{D}=0}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog mittels

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\lambda \int \limits _{0}^{\infty }x^{2}\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x-2\int \limits _{0}^{\infty }x\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}={\frac {1}{\lambda }}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {\sqrt {\sigma ^{2}(X)}}{\operatorname {E} (X)}}={\frac {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}{\operatorname {E} (X)}}}$.

Also gilt

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)=1}$.

Geometrischer Mittelwert

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle \operatorname {GM} (X)=\exp \left(\int \limits _{0}^{\infty }\ln(x)\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\ln \left({\frac {1}{\lambda }}\right)-\gamma \right)={\frac {1}{\lambda \mathrm {e} ^{\gamma }}}}$,

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Weitere Streumaße

Die mittlere absolute Abweichung

${\displaystyle e={\frac {2/\mathrm {e} }{\lambda }}\approx {\frac {0{,}736}{\lambda }}}$

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

${\displaystyle {\mathit {MD}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}}$

ist noch etwas kleiner.

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter ${\displaystyle \lambda }$ immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch ${\displaystyle {\tilde {x}}<E(X)}$ gilt.

Wölbung

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter ${\displaystyle \lambda }$ immer den Wert 9.

Quantile

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

${\displaystyle F_{\lambda }^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}}$.

Damit ist der Interquartilabstand ${\displaystyle {\frac {\ln 3}{\lambda }}\approx {\frac {1{,}10}{\lambda }}}$.

Höhere Momente

Die k-ten Momente sind

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}}$.

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)}$ für ${\displaystyle t<\lambda }$.

Damit ist die k-te Kumulante ${\displaystyle \kappa _{k}={\frac {(k-1)!}{\lambda ^{k}}}}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -\operatorname {i} t}}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle m_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ für ${\displaystyle t<\lambda }$.

Entropie

Die Entropie der Exponentialverteilung beträgt

${\displaystyle H(X)=1-\ln(\lambda )}$.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

${\displaystyle P(X\operatorname {>} x)=1-F(x)=\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt ${\displaystyle x_{0}}$ bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(X>x_{0}+x|X>x_{0})={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda (x_{0}+x)}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x_{0}}}}=\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die Ausfallrate ${\displaystyle h(x)}$ ergibt sich zu

${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x}}}=\lambda }$

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne gedächtnislos: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ den Wert ${\displaystyle x}$ überschreitet, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie ${\displaystyle x}$ um mindestens ${\displaystyle t}$ überschreitet, genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter ${\displaystyle \lambda }$) den Wert ${\displaystyle t}$ überschreitet, formal

${\displaystyle P\left(X\geq x+t\,\mid \,X\geq x\right)=P\left(X\geq t\right)}$.

Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der daraus entstehenden Funktionalgleichung. Das diskrete Pendant hierzu ist die geometrische Verteilung als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Die Exponentialverteilung ist folglich auch die einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine konstante Ausfallrate aufweist.

Weitere Eigenschaften

Sind ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})}$ stochastisch unabhängig, so ist ${\displaystyle \min(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim \operatorname {Exp} (\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n})}$

Sind ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})}$ stochastisch unabhängig, so ist ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}}$ eine Linearkombination von Exponentialverteilungen, sind die ${\displaystyle \lambda _{i}}$ alle gleich, so ist die Summe ${\displaystyle \sim \operatorname {Erl} (n,\lambda )}$ Erlang-verteilt.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ eine auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, dann genügt ${\displaystyle Y=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(X)}$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$.

Beziehung zur Normalverteilung

Sind die Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ standardnormalverteilt und unabhängig, so ist ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}}$ exponentialverteilt mit Parameter ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}}$.

Beziehung zur geometrischen Verteilung

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines Ereignisses, das gemäß einem Poisson-Prozess auftritt; die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

• Wenn ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$, dann ist ${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })}$, eine geometrische Verteilung auf ${\displaystyle 0,1,2,3,...}$.
• Wenn ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$, dann ist ${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })}$, eine geometrische Verteilung auf ${\displaystyle 1,2,3,4,...}$.

Beziehung zur Gammaverteilung

• Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des ${\displaystyle n}$-ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$ ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle \lambda }$. Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von ${\displaystyle n}$ unabhängigen, ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$-verteilten Zufallsvariablen gamma- oder Erlang-verteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle \lambda }$.

• Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben ${\displaystyle \lambda }$ ergibt eine Gammaverteilung mit ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle b=\lambda }$.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Ist der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ der Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle G(a,b)}$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle G(a,b,1)}$ verteilt.

Beziehung zur Pareto-Verteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ Pareto-verteilt ${\displaystyle \operatorname {Par} (\lambda ,1)}$ mit Parametern ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle 1}$ ist, dann ist ${\displaystyle \log {X}}$ exponentialverteilt ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Abstände zwischen dem Eintreten zufälliger Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate ${\displaystyle \lambda }$ exponentialverteilt mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$ ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge ${\displaystyle \Delta w}$ Poisson-verteilt mit Parameter ${\displaystyle \lambda \cdot \Delta w}$.

Herleitung: Sei w eine Orts- oder Zeitvariable und ${\displaystyle \lambda }$ die kleine konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w. Dann findet man mit den poissonschen Annahmen die Wahrscheinlichkeit für das nächste Eintreten eines Ereignisses im kleinen Intervall ${\displaystyle [w,w+\Delta w]}$ als Produkt der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis bis w und eins im Intervall ${\displaystyle [w,w+\Delta w]}$ zu haben:

${\displaystyle P_{1}(w+\Delta w)=\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}\cdot \lambda \Delta w}$

Daraus ergibt sich nach Division durch ${\displaystyle \Delta w}$ die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f_{\lambda }(w)=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}}$ der Exponentialverteilung mit ${\displaystyle \lambda }$ als Ereignisrate und ${\displaystyle 1/\lambda }$ als mittlerem Ereignisabstand.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

• Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum ${\displaystyle n}$-ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall ${\displaystyle n=1}$ geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )}$, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.

• Die Summe von ${\displaystyle n}$ unabhängigen ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ exponentialverteilten Zufallsgrößen hat die Erlang-Verteilung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$.

Beziehung zur Weibull-Verteilung

• Mit ${\displaystyle \beta =1}$ geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (${\displaystyle \lambda >1}$) oder fallender (${\displaystyle \lambda <1}$) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Wenn ${\displaystyle X}$ exponentialverteilt ist, dann ist ${\displaystyle X^{\lambda }}$ Weibull-verteilt.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung geht für ${\displaystyle n=2}$ in die Exponentialverteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}}$ über.

Beziehung zur Rayleigh-Verteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ exponentialverteilt ist mit Rate ${\displaystyle \lambda }$, dann ist ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ Rayleigh-verteilt mit Skalenparameter ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}}$.

Beziehung zur Laplace-Verteilung

Sind ${\displaystyle X_{\lambda },Y_{\lambda }}$ zwei unabhängige Zufallsvariablen, die beide Exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$ sind, dann ist sowohl ${\displaystyle X_{\lambda }-Y_{\lambda }}$ als auch ${\displaystyle Y_{\lambda }-X_{\lambda }}$ Laplace-verteilt.

Beziehung zur Standard-Gumbel-Minimum-Verteilung

Die Dichte des Logarithmus einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda =1)}$ folgt einer Standard-Gumbel-Verteilung (Minimum)

${\displaystyle f(z)=\operatorname {exp} \left(z\right)\operatorname {exp} \left(-\operatorname {exp} \left(z\right)\right)}$ .