Winkel

Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {c-a}{c}}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\to \psi \approx 20{,}9^{\circ }}$

und damit gilt: Der

• Winkel zwischen zwei Sechsecken ist

${\displaystyle \ \beta _{1}=180^{\circ }-2\psi =180^{\circ }-2\,\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \quad \approx 138{,}19^{\circ }}$

Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ wichtig. Es gilt (siehe Bild)

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a_{0}}{c}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\ \to \varphi \approx 31{,}72^{\circ }}$

Der

• Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist

${\displaystyle \beta _{2}=90^{\circ }+\psi +\varphi }$

${\displaystyle =90^{\circ }+\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)}$

${\displaystyle =90^{\circ }+\arctan \left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\quad }$ (siehe Formelsammlung)

${\displaystyle \ \approx 142{,}62^{\circ }}$

Für den Raumwinkel folgt aus der Ebenen-Formel

${\displaystyle \Omega =\beta _{1}+2\beta _{2}-\pi =\pi -2\psi +2\left({\frac {\pi }{2}}+\psi +\varphi \right)-\pi =\pi +2\varphi }$

• Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also

${\displaystyle \Omega =\pi +2\,\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\approx 4{,}24874\;\mathrm {sr} .}$

Kugelradien

Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von ${\displaystyle a_{0}=3a}$ erhält man

• ${\displaystyle \ r_{k}={\frac {c}{2}}={\frac {3a}{4}}(1+{\sqrt {5}})\approx 2{,}427\;a}$.

Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung

${\displaystyle r_{u}^{2}=\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {3a}{4}}(1+{\sqrt {5}})\right)^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {a^{2}}{16}}(58+18{\sqrt {5}})}$

Also ist der

• Umkugelradius ${\displaystyle \ r_{u}={\frac {a}{4}}{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}\approx 2{,}478\;a}$

Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:

${\displaystyle r_{i,6}={\frac {{\sqrt {3}}\;(3+{\sqrt {5}})}{12}}\;a_{0}}$

Mit ${\displaystyle a_{0}=3a}$ ergibt sich für den

• Inkugelradius ${\displaystyle \ r_{i,6}={\frac {{\sqrt {3}}\;(3+{\sqrt {5}})}{4}}\;a\approx 2{,}2673\;a}$

Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt ${\displaystyle (-{\frac {a}{2}},{\frac {c}{2}})}$ mit der Steigung ${\displaystyle m=\tan \varphi }$ vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist

${\displaystyle z=m\left(y+{\frac {a}{2}}\right)+{\frac {c}{2}}\ \to my-z+m{\frac {a}{2}}+{\frac {c}{2}}=0}$

Mit ${\displaystyle \ m={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\ c={\frac {3a({\sqrt {5}}+1)}{2}}}$ ergibt sich

${\displaystyle \ \to ({\sqrt {5}}-1)y-2z+a(2{\sqrt {5}}+1)=0.}$

Mit der Hesseschen Normalform folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt

${\displaystyle r_{i,5}^{2}={\frac {a^{2}(2{\sqrt {5}}+1)^{2}}{({\sqrt {5}}-1)^{2}+4}}={\frac {a^{2}}{40}}(125+41{\sqrt {5}})}$

Also ist der

• Inkugelradius für Fünfecke ${\displaystyle \ r_{i,5}={\frac {a}{2{\sqrt {10}}}}{\sqrt {125+41{\sqrt {5}}}}\approx 2{,}3274\;a}$.

Oberfläche, Volumen

Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche ${\displaystyle A_{6}}$ eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche ${\displaystyle A_{5}}$ eines regelmäßigen Fünfecks. Mit

${\displaystyle A_{6}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\cdot a^{2},\ \ A_{5}={\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}}$

ist die

• Oberfläche des Ikosaederstumpfs

${\displaystyle A_{O}=20\cdot A_{6}+12\cdot A_{5}=3\left(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)\cdot a^{2}}$

Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und ${\displaystyle r_{i,5}}$ als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und ${\displaystyle r_{i,6}}$ als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich

${\displaystyle V=12\cdot {\frac {1}{3}}A_{5}r_{i,5}+20\cdot {\frac {1}{3}}A_{6}r_{i,6}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {(5+2{\sqrt {5}})(125+41{\sqrt {5}})}}a^{3}+{\frac {15}{2}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$

Mit ${\displaystyle \ (5+2{\sqrt {5}})(125+41{\sqrt {5}})={\frac {1}{2}}(35+13{\sqrt {5}})^{2}\ }$ ist

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}(35+13{\sqrt {5}})a^{3}+{\frac {15}{2}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$ und damit

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}\left(125+43{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 55{,}28773\;a^{3}}$