Produktgeometrien

Darüber hinaus gibt es jedoch noch weitere dreidimensionale Modellgeometrien. Dies liegt daran, dass die Skalarkrümmung nicht mehr alleine die lokale Gestalt des Raumes vorgibt und die Krümmung in einem Punkt von der betrachteten Ebene durch diesen Punkt abhängt. Veranschaulichen lässt sich dies an einem weiteren dreidimensionalen Modell, nämlich

• dem Produkt von 2-Sphäre und Gerade, ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$.

Dieser Raum lässt sich nicht im dreidimensionalen euklidischen Raum darstellen, jedoch kann man ihn sich wie folgt vorstellen: Der dreidimensionale Raum lässt sich wie eine Zwiebel durch ineinander geschachtelte 2-Sphären mit wachsendem Durchmesser auffassen. Stellt man sich nun vor, dass der Durchmesser der geschachtelten Sphären nicht wächst, sondern konstant 1 bleibt, wenn man von innen nach außen geht, so erhält man den gewünschten Raum. Alternativ kann man sich 2-Sphären entlang einer Gerade aufgereiht vorstellen, die sich aber nicht durchschneiden.

Befindet man sich in einem Punkt in diesem Raum, so kann man sich entweder auf einer (Querschnitts-)Sphäre bewegen oder senkrecht dazu entlang der Geradenrichtung. In einer Ebene tangential an eine Sphäre beträgt die Krümmung 1, enthält die Ebene jedoch die Geradenrichtung, so ist die Krümmung 0.

Mit der gleichen Konstruktion kann man aus der hyperbolischen Ebene das Produkt mit einer Geraden bilden:

• ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }$

Hier liegt die Krümmung zwischen −1 und 0, je nach Richtung der betrachteten Ebene.

Eine Metrik wie in den beiden Produktgeometrien bezeichnet man als homogen, aber nicht isotrop: Zwar sind alle Punkte „gleich“, aber in einem festen Punkt gibt es Ebenen, die sich von anderen Ebenen durch diesen Punkt unterscheiden. Mathematisch bedeutet dies, dass die Isometriegruppe transitiv auf den Punkten, aber nicht transitiv auf den orthonormalen Rahmen (Tripeln von orthonormalen Tangentialvektoren in einem Punkt) ist.

Geometrien mit Lie-Gruppenstruktur

Schließlich gibt es noch drei weitere Modellgeometrien, die die Struktur einer Lie-Gruppe tragen. Dies sind

• die Geometrie von ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$, der universellen Überlagerung der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$,
• die Nil-Geometrie und
• die Sol-Geometrie.

Alle drei lassen sich als Metrik auf Matrizengruppen beschreiben. Während ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\mathbb {R} }$ die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen mit Determinante 1 ist, ist die Nil-Geometrie auf der nilpotenten Gruppe der oberen 3×3-Dreiecksmatrizen mit Diagonale 1 (auch Heisenberg-Gruppe genannt) und die Sol-Geometrie auf der auflösbaren (englisch solvable) Gruppe aller oberen 2×2-Dreiecksmatrizen definiert. Als Lie-Gruppen tragen diese Gruppen jeweils eine Metrik, die invariant unter der Linksoperation ist und damit homogen.

Weil die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ nicht wie gefordert einfach zusammenhängend ist, geht man zu ihrer universellen Überlagerung über. Da dies für lokale Eigenschaften keinen Unterschied macht, wird manchmal auch von ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ als Modellgeometrie gesprochen.

Die Metrik auf ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$ lässt sich auch folgendermaßen beschreiben: ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ist die Gruppe der reellen Möbiustransformationen und damit der Isometrien der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$. Da eine Isometrie von ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ eineindeutig durch das Bild eines ausgewählten Einheitstangentialvektors bestimmt ist, gilt ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )\cong UT\mathbb {H} ^{2}}$. ${\displaystyle UT\mathbb {H} ^{2}}$, der Raum der Tangentialvektoren der Länge 1, trägt nun eine von ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ induzierte Metrik. Die so konstruierte Metrik auf ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ induziert schließlich eine Metrik auf der universellen Überlagerung ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$. Diese Betrachtung liefert Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$-Geometrie, nämlich Einheitstangentialbündel geschlossener hyperbolischer Flächen (Flächen vom Geschlecht mindestens 2).

Klassifikation

Der Beweis, dass die hier beschriebenen Modelle alle Möglichkeiten dreidimensionaler Modellgeometrien sind, benutzt den Stabilisator der Isometriegruppe. Das ist die Gruppe all derjenigen Isometrien eines Modells, die einen bestimmten Punkt festhalten. Im Fall des euklidischen Raumes besteht er beispielsweise aus der gesamten orthogonalen Gruppe O(3) und ist daher dreidimensional, während im Fall der Produktgeometrien die ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Richtung von einer Isometrie erhalten werden muss und somit der Stabilisator nur aus der eindimensionalen Untergruppe SO(2) besteht. Die Größe des Stabilisators ist ein Maß für die Symmetrie des Modells.

Eine weitere Unterscheidung kann gemacht werden, indem man eine Faserung findet, die invariant unter der Isometriegruppe ist und deren Blätter vom Stabilisator auf sich selbst abgebildet werden. Im Fall der Produktgeometrien ist eine solche Faserung einfach durch die Querschnitte ${\displaystyle S^{2}\times \{p\}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \{p\}}$ gegeben. In jedem Fall muss eine solche Faser wieder eine zweidimensionale Modellgeometrie sein, sodass sich folgende Übersicht ergibt:

Modellgeometrie	Stabilisator	Struktur	(Schnitt-)Krümmung
Euklidischer Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	dreidimensional	isotrop	0 (flach)
3-Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$	dreidimensional	isotrop	1 (positiv)
hyperbolischer Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$	dreidimensional	isotrop	−1 (negativ)
${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$	eindimensional	fasert über ${\displaystyle S^{2}}$	in der Faser: 1, orthogonal: 0
${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }$	eindimensional	fasert über ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	in der Faser: −1, orthogonal dazu: 0
Nilgeometrie	eindimensional	fasert über ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	in der Faser: 0, orthogonal dazu: 1
${\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )}$	eindimensional	fasert über ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	in der Faser: −1, orthogonal dazu: 1
Solgeometrie	nulldimensional	fasert über ${\displaystyle \mathbb {R} }$	orthogonal zur Faser: 0