Definition

Eine natürliche oder ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch zwei teilbar ist, ansonsten ungerade. Gerade Zahlen werden durch ${\displaystyle \pm 2k}$ charakterisiert, ungerade Zahlen durch ${\displaystyle \pm 2k+1}$ für beliebiges ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dementsprechend wird die Null als gerade angesehen.

Das heißt, ungerade Zahlen hinterlassen bei Division durch 2 stets einen Rest von 1, gerade Zahlen den Rest 0. Sie werden also durch ihre prime Restklasse modulo Zwei charakterisiert. Da ${\displaystyle (-1)^{0}=1}$ und ${\displaystyle (-1)^{1}=-1}$ gilt, wird die Parität manchmal auch mit positivem oder negativem Vorzeichen symbolisiert, siehe auch: Paritätsbit. Allerdings ist es falsch, das Vorzeichen von positiven und negativen Zahlen als Paritätseinteilung zu verstehen.

Rechenregeln

Die Rechenregeln für Paritäten folgen den Gesetzen des Restklassenkörpers mit den zwei Elementen Null und Eins. Diese stehen dabei für die entsprechenden Reste modulo 2 und damit für gerade oder ungerade. Insbesondere erhält Quadrieren die Parität.

Im Dezimal-, Binär- und allgemein in jedem Stellenwertsystem mit gerader Basis erkennt man die Parität daran, ob die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

Bemerkungen

• Die Hausnummern in vielen europäischen Städten laufen wechselseitig, so dass gerade und ungerade Nummern je auf einer Straßenseite liegen (Orientierungsnummerierung). Die Idee beruht auf der einfacheren Fortführung der Nummerierung bei einer späteren Verlängerung der Straße.
• In vielen europäischen Ländern haben die Nord-Süd-Autobahnen eine ungerade Nummer und die West-Ost-Autobahnen eine gerade.
• Die geraden Zahlen bilden ein Ideal im Ring der ganzen Zahlen, die ungeraden tun dies nicht. Die geraden Zahlen sind die Folge A005843 in OEIS, die ungeraden sind die Folge A005408 in OEIS.
• Im Englischen wird die Zahl 2 manchmal als „the oddest prime“ bezeichnet. Dies ist ein Wortspiel mit den Bedeutungen merkwürdig und ungerade des Wortes odd, denn die Primzahl 2 ist eine besondere oder merkwürdige (odd) Primzahl, da sie als einzige nicht ungerade (odd) ist.
• Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ kann stets eindeutig als Produkt einer (geraden) Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl ${\displaystyle u}$ geschrieben werden: ${\displaystyle n=2^{s}\cdot u}$, wobei ${\displaystyle s\geq 0}$ und ${\displaystyle u\geq 1}$
• Jede bisher bekannte vollkommene Zahl ist gerade. Ob ungerade vollkommene Zahlen überhaupt existieren, ist noch unbekannt.
• Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 beruht zum großen Teil auf Paritätsvergleichen.
• Wenn man für ${\displaystyle g}$ eine gerade und für ${\displaystyle u}$ eine ungerade Zahl einsetzt, gilt ${\displaystyle (-1)^{g}=1}$ und ${\displaystyle (-1)^{u}=-1}$.