Hintergründe

Diophantische Gleichungen sind algebraische Gleichungen, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Meist (aber nicht immer) impliziert das, dass auch die Koeffizienten der Gleichung ganzzahlig sind. Meistens sind diophantische Gleichungen unterbestimmte Gleichungssysteme mit mehr Variablen als Gleichungen. Üblich ist eine Gleichung und mindestens zwei Variablen. Über den reellen oder komplexen Zahlen beschreiben sie algebraische Kurven (oder andere geometrische Formen), deren Geometrie mit der Frage der Existenz und Konstruktion von ganzzahligen Lösungen eng zusammenhängt. Das wird behandelt in der „arithmetischen Geometrie“, einer Überschneidung von algebraischer Geometrie und Zahlentheorie. Das wichtigste Beispiel sind elliptische Kurven, deren verborgene Gruppenstruktur (Torus-Geometrie der zugehörigen Riemannschen Fläche) sich auch auf die ganzzahligen Punkte überträgt.

Diophantische Gleichungen sind sehr beliebt als Knobelaufgaben oder als Aufgaben für Mathematikolympiaden, da es keinen generischen Lösungsweg gibt und die Lösung oft erhebliche Kreativität erfordert. Gleichzeitig sieht man aber diophantischen Gleichungen im Allgemeinen nicht an, ob sie mit „elementaren“ Methoden lösbar sind oder ob dahinter eine tiefliegende Theorie steckt, die – wie bei der Großen Fermatschen Vermutung – jahrhundertelang eine Lösung unmöglich machten.

Beispiele

• Die lineare Gleichung ${\displaystyle 6a+4b=40\ }$ mit ${\displaystyle \ a,b\in \mathbb {N} }$.

Eine Möglichkeit, die Gleichung zu lösen, ist, mit ${\displaystyle a=b=0\ }$ zu starten, was ${\displaystyle 6a+4b=0\ }$ ergibt.

Man kann nun ${\displaystyle a}$ bis auf 6 vergrößern und erhält ${\displaystyle 6\cdot 6+4\cdot 0=36}$, was noch ${\displaystyle 4}$ übrig lässt bis zur ${\displaystyle 40}$.

Das erlaubt noch ein ${\displaystyle b}$ von 1. Das ergibt durch Probieren als eine Lösung ${\displaystyle (a,\ b)}$ das Paar ${\displaystyle (6,\ 1)}$.

Weiterhin gilt ${\displaystyle \operatorname {kgV} (6,\ 4)=12}$, d. h., man kann ${\displaystyle a}$ um ${\displaystyle 2}$ verringern und kann das durch ein Erhöhen von ${\displaystyle b}$ um ${\displaystyle 3}$ exakt kompensieren. Dadurch kommt man zu weiteren Lösungen wie ${\displaystyle (4,\ 4)}$ und ${\displaystyle (2,\ 7)}$.

• Die lineare Gleichung ${\displaystyle 25a+19b+12c=140\ }$ mit ${\displaystyle \ a,b,c\in \mathbb {N} }$.

Obwohl mit drei Variablen und nur einer Gleichung deutlich unterbestimmt, gibt es als sogar eindeutige Lösung ${\displaystyle (a,b,c)}$ das Tripel ${\displaystyle (1,1,8)}$.

Es stellt eine klassische kaufmännische Aufgabe dar:

Ein Grieche hat 140 Drachmen, ein lebendes Schwein kostet 25 Drachmen, ein lebendes Schaf 19 Drachmen und eine lebende Ziege 12 Drachmen. Das Geld muss aufgebraucht werden, was kann man unter dieser Maßgabe überhaupt kaufen?

Darf Geld übrigbleiben, handelt es sich um eine diophantische Ungleichung.

• Die quadratische Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=17}$ mit ${\displaystyle \ a,b\in \mathbb {Z} }$.

Die 8 Lösungen sind ${\displaystyle (\pm 4,\pm 1)}$ und ${\displaystyle (\pm 1,\pm 4)}$ und sind die Punkte eines Kreises mit dem Radius ${\displaystyle r={\sqrt {17}}}$ und dem Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$, die gerade auf den ganzzahligen Gitterpunkten liegen. Die Lösungsmenge der algebraischen Gleichung ist der gesamte Kreisrand.

• Die quadratische Gleichung ${\displaystyle a^{2}-b=0}$ hat als Lösungen ${\displaystyle (a,b)}$ die unendlich vielen Zahlenpaare

${\displaystyle \ldots ,\ (-3,9),\ (-2,4),\ (-1,1),\ (0,0),\ (1,1),\ (2,4),\ (3,9),\ \ldots }$;  allgemein: ${\displaystyle (a,b)=\left(k,k^{2}\right)}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

• Die Gleichung 6. Grades ${\displaystyle a^{2}+b^{4}+c^{6}=n\in \mathbb {N} ^{+}}$

${\displaystyle n=149}$ hat als Lösung ${\displaystyle (a,b,c)}$ das Tripel ${\displaystyle (2,3,2)}$,

${\displaystyle n=148}$ hat keine Lösung und

${\displaystyle n=146}$ hat die vier Lösungen ${\displaystyle (1,3,2),\ (8,3,1),\ (9,1,2),\ (12,1,1)}$,  für ${\displaystyle n=282281}$ gibt es sogar 8 Lösungen.

• Die lineare Gleichung ${\displaystyle 3a-4=0}$ besitzt keine Lösung, weil 4 nicht durch 3 teilbar ist und es daher keine ganze Zahl gibt, deren Dreifaches 4 ergibt.
• ${\displaystyle 2^{a}+2^{b}-n!=0\ }$ ist keine diophantische Gleichung, da die verwendeten Funktionen ${\displaystyle 2^{k}}$ und ${\displaystyle k!\ }$ keine Potenzfunktionen darstellen (sondern Exponential und Fakultät). In der Literatur bezeichnet man allerdings solche Gleichungen auch als diophantische Gleichungen.

Weiteres

• Man kann diophantische Gleichungen für die Gaußschen Zahlen verallgemeinern. Für lineare Gleichungen sind die gleichen Lösungsansätze wie für ganze Zahlen nutzbar, da der euklidische Algorithmus für Gaußsche Zahlen erweiterbar ist. Entsprechend kann man diophantische Gleichungen für andere algebraische Zahlkörper betrachten. Dort wird dann nach einer Lösung im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers gesucht.
• Eine diophantische Gleichung ist ein Spezialfall eines diophantischen Gleichungssystems.

Beispiel für ein diophantisches Gleichungssystem:

${\displaystyle a+b=3(c+d)}$

${\displaystyle a+c=4(b+d)}$

${\displaystyle a+d=5(b+c)}$

mit ${\displaystyle \ a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$. Lösungen ${\displaystyle (a,\ b,\ c,\ d)}$ haben die Form ${\displaystyle (83n,\ 7n,\ 13n,\ 17n)}$.

Pythagoreische Tripel  a² + b² = c²

Die unendlich vielen ganzzahligen Lösungen von ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ nennt man pythagoreische Tripel. Man findet sie durch den Ansatz

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

mit ${\displaystyle m,\ n\neq 0\in \mathbb {Z} }$. Neben ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ sind auch ${\displaystyle (Na)^{2}+(Nb)^{2}=(Nc)^{2}}$ mit ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$ immer Lösungen.

Pythagoreische Tripel stellen neben linearen diophantischen Gleichungen eines der ältesten Beispiele dar, zum Beispiel auf babylonischen Keilschrifttafeln aus dem 2. Jahrtausend v. Chr.

Fermats letzter Satz  aⁿ + bⁿ = cⁿ  mit  n > 2

Wenn man obige Gleichung zu ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ verallgemeinert, erhält man eine diophantische Gleichung vom Grad ${\displaystyle n}$. Als Fermats letzten Satz bezeichnet man die von Pierre de Fermat vor 400 Jahren aufgestellte Behauptung, dass sie für ${\displaystyle n>2}$ keine ganzzahlige Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen ${\displaystyle 0}$ ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde. Dahinter steckt die Taniyama-Shimura-Vermutung, die heute vollständig bewiesen ist und nach der alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen modular sind (eine ganzzahlige Lösung der Fermatgleichungen hätte auf eine Ausnahme geführt).

Den Fall ${\displaystyle n=4\,}$ löste schon Fermat mit der von ihm eingeführten Methode des unendlichen Abstiegs, die auch bei der Frage der Lösbarkeit anderer diophantischer Gleichungen Anwendung fand, aber, wie sich bald herausstellte, keine universell anwendbare Methode war.

Die unbewiesene abc-Vermutung macht allgemeine Aussagen über Lösungstripel diophantischer Gleichungen der Form ${\displaystyle a+b=c\ }$ (dabei seien ${\displaystyle a,b,c}$ positive ganze Zahlen und teilerfremd) und schränkt deren mögliche Lösungen ein, indem sie eine obere Schranke für ${\displaystyle c}$ in Abhängigkeit von der gemeinsamen multiplikativen Struktur (Primfaktorzusammensetzung) von ${\displaystyle a,b,c}$ liefert. Die Vermutung nimmt eine zentrale Stellung in der Zahlentheorie und speziell der Theorie diophantischer Gleichungen ein, da viele bekannte Sätze, auch die Lösung der großen Fermatvermutung, daraus folgen.

Eulersche Vermutung für n = 4:  a⁴ + b⁴ + c⁴ = d⁴

Leonhard Euler vermutete (obwohl er ${\displaystyle 158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}}$ fand), dass es für

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}}$

keine ganzzahligen Lösung gibt. Euler irrte, es fanden sich aber erst 1987, 1988 und 1997 folgende Lösungen ${\displaystyle (a,b,c,d)}$:

${\displaystyle (2682440,\ 15365639,\ 18796760,\ 20615673)}$,

${\displaystyle (95800,\ 217519,\ 414560,\ 422481)}$  und

${\displaystyle (630662624,\ 275156240,\ 219076465,\ 638523249)}$.

Übrigens wurde schon 1966 für ${\displaystyle n=5}$, d. h. für ${\displaystyle \,a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}}$ mit ${\displaystyle (27,\ 84,\ 110,\ 133,\ 144)}$ eine Lösung gefunden.

Für ${\displaystyle n\geq 6}$ sind keine Lösungen bekannt.

Summe dreier Kubikzahlen  a³ + b³ + c³ = n

Für ein gegebenes ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ sind gesucht ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$, sodass ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=n}$ gilt.

Für ${\displaystyle n=9k\pm 4}$ existieren keine Lösungen, für ${\displaystyle n=9k\pm 0\ldots 3}$ existieren mutmaßlich Lösungen. Dies ist aber nicht sicher bekannt, genauso wie nicht bekannt ist, wie viele Lösungen es für ein gegebenes ${\displaystyle n}$ gibt.

Beispiele für jeweils kleinste Lösungen:

${\displaystyle 42=12602123297335631^{3}+80435758145817515^{3}+(-80538738812075974)^{3}}$

${\displaystyle 43=2^{3}+2^{3}+3^{3}}$

Pellsche Gleichung  a² − n b² = 1

Neben den linearen diophantischen Gleichungen ist die sogenannte Pellsche Gleichung

${\displaystyle a^{2}-n\cdot b^{2}=1}$

besonders wichtig, wobei für ein gegebenes natürliches ${\displaystyle n}$ zunächst das kleinste Wertepaar ${\displaystyle (a,b)}$ zu suchen ist, aus dem sich dann alle anderen Paare leicht finden lassen. Wenn ${\displaystyle n}$ eine Quadratzahl ist, hat diese Gleichung nur die trivialen Lösungen ${\displaystyle (a,b)=(\pm 1,\ 0)}$, ansonsten hat sie unendlich viele Lösungen. Die Auflösung der Pellschen Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Aufsuchen der Einheiten im Ring der algebraisch ganzen Zahlen des quadratischen Zahlkörpers ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$, der aus dem rationalen Zahlkörper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus ${\displaystyle n}$ entsteht.

Summe dreier Quotienten  ^a∕_b+c + ^b∕_c+a + ^c∕_a+b = n

Für ein gegebenes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ sind gesucht ${\displaystyle a,\ b,\ c\in \mathbb {N} ^{+}}$, sodass

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}=n}$

gilt.

Die Gleichung hat Lösungen für gerade ${\displaystyle n=2k}$, für ungerade ${\displaystyle n=2k+1}$ existieren keine Lösungen.

Für ${\displaystyle n=2}$ ist die kleinste Lösung mit

${\displaystyle a=1,\ b=1,\ c=3\quad \longrightarrow \quad {\frac {1}{1+3}}+{\frac {1}{1+3}}+{\frac {3}{1+1}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}=2}$

einfach zu finden. Was aber so harmlos daherkommt, entpuppt sich schon für ${\displaystyle n=4}$ als Zahlenmonster. Dafür lautet die kleinste Lösung:

${\displaystyle a=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036}$

${\displaystyle b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579}$

${\displaystyle c=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999}$

Für ${\displaystyle n=178}$ hat die kleinste Lösung knapp 400 Millionen Dezimalstellen. Interessant ist, dass man im Gegensatz zu den Kubensummen die Werte ausrechnen kann.

Verallgemeinerte Catalansche Vermutung a^p − b^q = n

Gesucht sind zwei beliebige ganzzahlige Potenzen, die sich um n voneinander unterscheiden. Für ${\displaystyle n=1}$ existiert genau eine Lösung (${\displaystyle 3^{2}-2^{3}=1}$), was 1844 von Eugène Charles Catalan explizit vermutet wurde und 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen wurde.

Weitere

• Rinderproblem des Archimedes
• Ramanujan-Nagell-Gleichung