Beweis über die Fläche

Die Fläche F des rechtwinkligen Dreiecks im #Bild ist die halbe Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b oder c und h. Die Produkte ab und ch stimmen mithin überein:

${\displaystyle {\mathsf {F={\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}\quad \rightarrow \quad ab=ch}}}$

Nach dem Satz des Pythagoras ist außerdem a²+b²=c², was auf die Aussage führt:

${\displaystyle {\mathsf {{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}}}={\mathsf {{\frac {b^{2}}{a^{2}b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{a^{2}b^{2}}}={\frac {b^{2}+a^{2}}{(ab)^{2}}}={\frac {c^{2}}{(ch)^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}}}$

Geometrischer Beweis

Die Aussage ergibt sich im #Bild zum einen aus der Ähnlichkeit aller dargestellten Dreiecke, denn sie stimmen paarweise in einem rechten und einem weiteren Winkel überein. Die Verhältnisse einander entsprechender Seiten sind in ähnlichen Dreiecken gleich mit den Konsequenzen

${\displaystyle {\mathsf {{\frac {r}{h}}={\frac {h}{a}}\;\rightarrow \;r={\frac {h^{2}}{a}}}}}$  sowie  ${\displaystyle {\mathsf {{\frac {s}{h}}={\frac {h}{b}}\;\rightarrow \;s={\frac {h^{2}}{b}}}}}$

was sich auch aus dem Kathetensatz angewendet in den Dreiecken CBD bzw. ACD ergibt. Der Satz des Pythagoras liefert damit die Aussage:

${\displaystyle {\mathsf {r^{2}+s^{2}=h^{2}\;\rightarrow \;{\frac {h^{4}}{a^{2}}}+{\frac {h^{4}}{b^{2}}}=h^{2}={\frac {h^{4}}{h^{2}}}}}}$

oder, nach Division durch h⁴ auf beiden Seiten:

${\displaystyle {\mathsf {{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}}}$