Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&k>1,\\\infty &k\leq 1.\end{cases}}}$

Quantile

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{2}\left({\frac {k}{k-2}}-{\frac {k^{2}}{(k-1)^{2}}}\right)=x_{\min }^{2}{\frac {k}{(k-2)(k-1)^{2}}}&k>2,\\\infty &1<k\leq 2.\end{cases}}}$

Standardabweichung

Aus der Varianz ergibt sich für ${\displaystyle k>2}$ die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma (X)={\frac {x_{\min }}{k-1}}{\sqrt {\frac {k}{k-2}}}\ .}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Standardabweichung erhält man für ${\displaystyle k>2}$ sofort den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {k(k-2)}}}\ .}$

Schiefe

Für die Schiefe erhält man für ${\displaystyle k>3}$

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {k}{k-3}}-3{\frac {k^{2}}{(k-2)(k-1)}}+2{\frac {k^{3}}{(k-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {k}{k-2}}-{\frac {k^{2}}{(k-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}\ >0.}$

Für ${\displaystyle k>3}$ ist die Pareto-Verteilung rechtsschief entsprechend der Definition über das zentrale Moment 3. Ordnung. Für ${\displaystyle 3\geq k>0}$ divergiert das 3. Moment, auch wenn die Verteilung wie eine typische rechtsschiefe Verteilung aussieht. Für ${\displaystyle k>1}$ ist der Median stets kleiner als der Erwartungswert, im Sinne der Pearsonschen Definition ist die Verteilung rechtsschief; für ${\displaystyle k>0}$ sind die Quantilskoeffizienten positiv, d. h. auch im Sinne der Definition über die Quantile ist die Verteilung rechtsschief.

Momente

Allgemein erhält man für das ${\displaystyle n}$-te Moment

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{n}{\frac {k}{k-n}}&k>n,\\\infty &k\leq n.\end{cases}}}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ergibt sich zu:

${\displaystyle k(-ix_{\mathrm {min} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {min} }t)\ .}$

Dabei ist ${\displaystyle \Gamma }$ die unvollständige Gammafunktion.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Entropie

Die Entropie ergibt sich zu: ${\displaystyle \log \left({\frac {k}{x_{\text{min}}}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!}$.

Zipfsches Gesetz

Das Zipfsche Gesetz ist mathematisch mit der Pareto-Verteilung identisch (${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Achse sind vertauscht). Während die Pareto-Verteilung die Wahrscheinlichkeit bestimmter Zufallswerte betrachtet, fokussiert das Zipfsche Gesetz die Wahrscheinlichkeit, mit der Zufallswerte eine bestimmte Position in der Rangfolge der Häufigkeit einnehmen.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ eine Pareto-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle \operatorname {Par} (k,x_{\min })}$ mit den Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle x_{\min }}$ ist, dann ist ${\displaystyle \log {(X/x_{\min })}}$ exponentialverteilt ${\displaystyle \operatorname {Exp} (k)}$ mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda =k}$.

Beziehung zur verschobenen Pareto-Verteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ eine Pareto-verteilte Zufallsvariable ist, dann genügt ${\displaystyle Y={\tfrac {1}{x_{\min }}}\left({\tfrac {X}{x_{\min }}}-1\right)}$ einer verschobenen Pareto-Verteilung.

Ungleichverteilungsmaße und das Pareto-Prinzip

Da die (Wahrscheinlichkeitsdichte der) Pareto-Verteilung ein einzelnes Maximum beim kleinsten Wert ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ hat, weisen Pareto-verteilte Größen das aus dem Pareto-Prinzip (auch 80-zu-20-Regel) bekannte Phänomen der Ungleichverteilung auf: Kleinere Werte sind recht häufig, große Werte hingegen sehr selten. Wie stark dieser Effekt ausgeprägt ist, hängt vom Parameter ${\displaystyle k}$ ab.

Im Städte-Beispiel (siehe Abbildung in der Einleitung) tragen wenige Großstädte überproportional zur Gesamtbevölkerung bei, während eine sehr große Zahl kleiner Städte nur wenige Einwohner stellt.

Zur Quantifizierung dieses Phänomens existieren verschiedene Ungleichverteilungsmaße. Für die Berechnung von Ungleichverteilungsmaßen beschreiben Verteilungen der Form „${\displaystyle A}$ zu ${\displaystyle B}$“ ${\displaystyle (A:B)}$ zwei Quantile, wobei die Breite des ersten Quantils der Höhe des zweiten Quantils und die Höhe des ersten Quantils der Breite des zweiten Quantils gleicht. Ein Beispiel für diese Art, Verteilungen darzustellen, ist das oft zitierte „80-20-Prinzip“. Es gilt beispielsweise, wenn 80 % einer Gruppe über 20 % der Ressourcen der Gruppe verfügen, und 20 % dieser Gruppe 80 % der Ressourcen nutzen können.

In der Lorenz-Kurve stellt sich dieser Sachverhalt in der Gestalt eines „stehenden“ und eines „liegenden“ Quantils dar. ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ müssen dabei jeweils im Bereich von 0 bis 1 liegen und es gilt: ${\displaystyle A+B=1}$. Der Gini-Koeffizient und die Hoover-Ungleichverteilung sind in diesem Fall gleich:

${\displaystyle H=G=\left|2A-1\right|=\left|2B-1\right|}$

Für eine 80:20-Verteilung ergibt sich somit ein Gini-Koeffizient bzw. ein Hoover-Koeffizient von 0,6 bzw. 60 %.

${\displaystyle A:B=\left({\frac {1+H}{2}}\right):\left({\frac {1-H}{2}}\right)}$

Für diese Zwei-Quantile-Verteilungen ist dann auch der Theil-Index (ein Entropie-Maß) einfach zu berechnen:

${\displaystyle T_{T}=T_{L}=T_{s}=2H\,\operatorname {artanh} \left(H\right)\,}$

Das Paretoprinzip kann als Merkhilfe für den Wertebereich des Theil-Index dienen. Der Index hat bei einer Gleichverteilung von 0,5:0,5 (50 % zu 50 %) einen Wert von 0 und nimmt bei etwa 0,82:0,18 (82 % zu 18 %) den Wert 1 an. Das liegt ganz in der Nähe der Verteilung von 80 % zu 20 %. Oberhalb der Verteilung von 82 % zu 18 % ist der Theil-Index größer als 1.