Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen

Satz: Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Z} )=0}$. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ und eine Inklusion ${\displaystyle j:X\rightarrow X^{+}}$, so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

${\displaystyle j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\displaystyle \left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X}$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X}$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{\prime }}$. Die lange exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow H_{2}(X^{\prime })\rightarrow H_{2}(X^{\prime },X)\rightarrow 0=H_{1}(X)}$

spaltet weil ${\displaystyle H_{2}(X^{\prime },X)}$ von den 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

${\displaystyle H_{2}(X^{\prime })=H_{2}(X)\oplus H_{2}(X^{\prime },X)}$

und der Summand ${\displaystyle H_{2}(X^{\prime },X)}$ wird von den ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ erzeugt. Weil ${\displaystyle X^{\prime }}$ einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente ${\displaystyle \left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })}$ von der Form ${\displaystyle (f_{i})_{*}\left[S^{2}\right]}$ für Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }}$. (Hier bezeichnet ${\displaystyle \left[S^{2}\right]\in H_{2}(S^{2};\mathbb {Z} )}$ die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen ${\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }}$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ mit ${\displaystyle H_{2}(X^{+})=H_{2}(X)}$. Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in ${\displaystyle X}$ haben, gilt ${\displaystyle H_{3}(X^{+},X)=0}$, und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt ${\displaystyle H_{*}(X^{+},X)=0}$ für ${\displaystyle *\geq 4}$. Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Konstruktion im allgemeinen Fall

Satz: Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender CW-Komplex und ${\displaystyle N\subset \pi _{1}X}$ ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ und eine Inklusion ${\displaystyle j:X\rightarrow X^{+}}$, so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

${\displaystyle j_{*}:\pi _{1}X\rightarrow \pi _{1}X^{+}}$

die Quotientenabbildung ${\displaystyle \pi _{1}X\to \pi _{1}X/N}$ und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

${\displaystyle j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\displaystyle \left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle N}$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X}$ erhält man einen CW-Komplex ${\displaystyle X^{\prime }}$, so dass der durch die Inklusion ${\displaystyle X\to X^{\prime }}$ erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung ${\displaystyle \pi _{1}X\to \pi _{1}X/N}$ ist. Sei ${\displaystyle {\widetilde {X^{\prime }}}}$ die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X^{\prime }}$ und ${\displaystyle {\widetilde {X}}\subset {\widetilde {X^{\prime }}}}$ das Urbild von ${\displaystyle X}$, also ${\displaystyle \pi _{1}{\widetilde {X}}=N}$ und (weil ${\displaystyle N}$ perfekt ist) ${\displaystyle H_{1}({\widetilde {X}})=0}$. Analog zu oben hat man einen Isomorphismus ${\displaystyle H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}})=H_{2}({\widetilde {X}})\oplus H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})}$ und der Summand ${\displaystyle H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})}$ ist der von den ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ erzeugte freie ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[\pi _{1}X/N\right]}$-Modul. Weil ${\displaystyle {\widetilde {X^{\prime }}}}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es ${\displaystyle \left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })}$ realisierende Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }}$ und durch Ankleben von 3-Zellen ${\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }}$ erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ mit den gewünschten Eigenschaften.

Beispiel: endliche Körper

Sei ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

${\displaystyle BGL(k)^{+}\simeq E\Psi ^{q}}$,

wobei ${\displaystyle E\Psi ^{q}}$ die Faser der Abbildung

${\displaystyle \Psi ^{q}-Id:BU\rightarrow BU}$

(für ${\displaystyle \Psi ^{q}}$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von ${\displaystyle E\Psi ^{q}}$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

${\displaystyle K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\mathbb {Z} }$.

H-Raum

${\displaystyle BGL^{+}(R)}$ ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung. Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung ${\displaystyle BGL(R)\to H}$ in einen H-Raum ${\displaystyle H}$ faktorisiert über ${\displaystyle BGL^{+}(R)}$.