Anwendung der Übertragungsfunktion G(s)

Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht die allgemeine Form der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung.

Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis von Ausgangssignal ${\displaystyle Y(s)}$ zu Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$ eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{0}+b_{1}\cdot s+b_{2}\cdot s^{2}+b_{3}\cdot s^{3}+\cdots +b_{m}\cdot s^{m}}{a_{0}+a_{1}\cdot s+a_{2}\cdot s^{2}+a_{3}\cdot s^{3}+\cdots +a_{n}\cdot s^{n}}}={\frac {\text{Zählerpolynom (s)}}{\text{Nennerpolynom (s)}}}}$

Sind in der Polynomdarstellung alle Ableitungen und zugehörige Koeffizienten lückenlos mit positivem Vorzeichen vorhanden, stellt die Übertragungsfunktion für die Exponenten ${\displaystyle n>m}$ ein zeitverzögerndes asymptotisch stabiles System dar.

Es bestehen mehrere Wege, die zu einer Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ führen:

• Laplace-Transformation der systembeschreibenden gewöhnlichen Differentialgleichung,
• aus dem Signalverhältnis ${\displaystyle Y(s)/U(s)}$, wenn dieses bekannt ist,
• durch Messen des Frequenzgangs ${\displaystyle G(j\omega )}$,
• Spannungsteiler aus einem rückwirkungsfreien Impedanzverhältnis, (Beispiel: RC-beschalteter Operationsverstärker),
• durch Systemidentifikation mittels Sprung- oder Impulsantwort.

Die Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ ist eine abstrakte nicht messbare Größe und beschreibt das mathematische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems im Frequenzbereich mit der komplexen Variable ${\displaystyle s}$. Sie wird nach der Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome durch Nullstellenbestimmung in Produktterme (Linearfaktoren) erfolgreich eingesetzt für Systemanalyse, Systemsynthese, Systemstabilität und erlaubt die algebraische Behandlung von beliebig geschalteten rückwirkungsfreien Teilsystemen. Die Lage der Nullstellen und Polstellen einer Übertragungsfunktion in der s-Ebene ${\displaystyle s=\delta +j\cdot \omega }$ im Pol-Nullstellen-Diagramm ist eines der wichtigsten Kriterien zur Bestimmung der Stabilität eines Systems.

Die im komplexen Frequenzbereich (s-Bereich) definierten Übertragungssysteme haben folgende Bedeutungen:

• ${\displaystyle s=\delta +j\omega }$ ist die unabhängige Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit ${\displaystyle \delta }$ als Realteil und ${\displaystyle j\omega }$ als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.
• Zahlenwerte entstehen aus den Koeffizienten von ${\displaystyle s}$ und seinen Potenzen, indem die Polynome der s-Übertragungsfunktion durch Nullstellenzerlegung in Linearfaktoren (Produkte) zerlegt werden. Diese Nullstellen bzw. Pole können Null, real oder konjugiert komplex sein.

In der Zeitkonstantendarstellung der Linearfaktoren bestimmt die Zeitkonstante ${\displaystyle T}$ als dimensionslose Zahl nach der inversen Transformation das Zeitverhalten eines Teilsystems im Zeitbereich.

• Fehlen die Grundglieder (Koeffizienten) ${\displaystyle a_{0}}$ oder ${\displaystyle b_{0}}$ der Übertragungsfunktion, wird der Linearfaktor ${\displaystyle G(s)=s-0=s}$. Die Variable ${\displaystyle s}$ lässt sich aus dem Polynom freistellen und bedeutet je nach Lage im Zähler oder Nenner ein globales differenzierendes oder integrierendes Systemverhalten im Zeitbereich.
• Linearfaktoren 2. Grades mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischem Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten.
• Die Zählerordnung ${\displaystyle m}$ der Übertragungsfunktion darf nicht größer als die Nennerordnung ${\displaystyle n}$ sein. Es gilt ${\displaystyle m\leq n}$ mit zu Null angenommenen Anfangsbedingungen.

Linearfaktoren der Zeitkonstantendarstellung

Die Linearfaktoren der Pol-Nullstellen-Darstellung können auch als Zeitkonstantendarstellung definiert werden, in dem die Zahlenwerte der Pole oder Nullstellen als Quotient ${\displaystyle T=1/a}$ definiert werden. (${\displaystyle -s_{0}=a}$)

${\displaystyle \underbrace {(s-s_{0})} _{\text{Produktterm}}=\underbrace {(s+a)} _{a={\text{negativer Wert}}}=\underbrace {k\cdot (T\cdot s+1)} _{\text{Zeitkonstantendarstellung}}}$

• Aus dem Linearfaktor 1. Ordnung ${\displaystyle G_{2}(s)=s+a}$ wird in der Zeitkonstantendarstellung:

${\displaystyle G_{2}(s)=k\cdot (T\cdot s+1)}$, in der alle Terme positiv sind.

Ein Faktor ${\displaystyle k=a}$ berücksichtigt, dass die Pol-Nullstellen-Darstellung und die Zeitkonstantendarstellung mathematisch identisch sein müssen.

• Aus dem quadratischen Linearfaktor 2. Ordnung gilt in der Zeitkonstantendarstellung die Normalform:

${\displaystyle G_{3}(s)=T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}$

mit D = Dämpfungsgrad.

Die faktorisierte Zeitkonstantendarstellung ist üblich und anschaulicher. Alle Terme der Übertragungsfunktion sind bei stabilen Systemen stets positiv.

Die Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ bestimmen für ein gegebenes Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$ das Zeitverhalten ${\displaystyle f(t)}$ des Teilsystems. Die Linearfaktoren im Zähler haben nur Einfluss auf die Größe der Amplitude des Ausgangssignals ${\displaystyle y(t)}$.

In der linearen Regelungstechnik können alle Übertragungsglieder aus folgenden drei Grundformen zusammengesetzt werden. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen. Weiterhin unterscheiden sie sich darin, ob es sich um reguläre oder um die nur selten natürlich vorkommenden nichtregulären Systeme handelt.

Die Linearfaktoren mit negativen Realteilen der Pole und Nullstellen kennzeichnen folgende stabile Elementarsysteme:

Typ Linearfaktor Pol-Nullstellen-Darstellung	Typ Linearfaktor Zeitkonstanten-Darstellung	Bedeutung im Zähler	Bedeutung im Nenner
${\displaystyle G_{1}(s)=s+0=s}$ Absolutglied a0 oder b0 fehlt, ${\displaystyle a=0}$	${\displaystyle G_{1}(s)=s}$ Nullstelle oder Pol ${\displaystyle a=0}$	Differenzierer, D-Glied	Integrator, I-Glied
${\displaystyle G_{2}(s)=s+a}$ ${\displaystyle a=-s_{0}}$; reelle Nullstelle	${\displaystyle G_{2}(s)=k\cdot (T\cdot s+1)}$ mit ${\displaystyle T=1/a,\quad k=a}$	${\displaystyle PD_{1}}$-Glied	Verzögerung, ${\displaystyle PT_{1}}$-Glied
Quadratischer Linearfaktor: ${\displaystyle G_{3}(s)=s^{2}+2\cdot a\cdot s+a^{2}+\omega ^{2}}$ ${\displaystyle G_{3}(s):=s^{2}+p\cdot s+q}$ mit ${\displaystyle \ p=2\cdot a,\quad q=a^{2}+\omega ^{2}}$	Normalform: ${\displaystyle G_{3}(s)=T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}$ mit ${\displaystyle T={\sqrt {T^{2}}};\quad D={\frac {2DT}{2T}}}$	${\displaystyle PD2_{kk}}$-Glied für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Nullstellen. Anwendung: Vorfilter der Führungsgröße	Schwingungsglied, ${\displaystyle PT2_{kk}}$-Glied für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen.

Dabei ist ${\displaystyle T}$ die Zeitkonstante, ${\displaystyle s}$ die komplexe Frequenz, ${\displaystyle D}$ der Dämpfungsgrad.

Sind die Zahlenwerte der Pole und Nullstellen positiv, ergeben sich folgende instabile Übertragungssysteme in der Zeitkonstantendarstellung:

Typ Linearfaktor Zeitkonstanten-Darstellung	Bedeutung im Zähler	Bedeutung im Nenner
Nichtreguläres System 1. Ordnung ${\displaystyle G_{2}^{*}(s)=T\cdot s-1}$	Instabiles Übertragungsglied mit positiver Nullstelle (keine technische Bedeutung)	Instabiles nichtreguläres Übertragungsglied mit einer positiven Polstelle. Als Übergangsfunktion monoton steigende Amplitude.
Nichtreguläres System 2. Ordnung ${\displaystyle G_{3}^{*}(s)=T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s-1}$	Instabiles Übertragungsglied 2. Ordnung mit einer negativen und positiven Nullstelle (keine technische Bedeutung)	Instabiles Schwingungsglied mit einer negativen und positiven Polstelle. Als Übergangsfunktion monoton steigende Schwingamplitude.

Diese nichtregulären Linearfaktoren haben ein nichtlineares Ein- und Ausgangsverhalten und können als mathematische Modelle der Mitkopplung (positive Rückkopplung) als Hystereseeffekte verstanden werden. Die nichtregulären Linearfaktoren sind in Kombination mit regulären Linearfaktoren algebraisch berechenbar. Gleiche nichtreguläre Teilsysteme mit gleichen Zeitkonstanten dürfen aus dem Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion nicht gekürzt werden. Regelkreise mit einem nichtregulären Teilsystem der Regelstrecke können bei geeigneter Reglerparametrierung problemlos stabil werden.

Tabellarische Darstellung des Systemverhaltens von Linearfaktoren 1. und 2. Ordnung im Nenner der Übertragungsfunktion

Benennung →	PT1-Glied	I-Glied Grenzstabil	Instab. T1-Glied Monoton instab.	PT2KK-Glied Oszillatorisch gedämpft	PT2KK-Glied Oszillat. grenzstabil	Instab. T2KK-Glied Oszillatorisch instabil
Übergangsfunktion → (Sprungantwort) Diagramme numerisch berechnet ${\displaystyle \Delta t=0{,}01}$ [s]
Polstellen →	${\displaystyle s_{p}=-0{,}5}$	${\displaystyle s_{p}=0}$	${\displaystyle s_{p}=0{,}5}$	${\displaystyle s_{p1/2}=-0{,}25\pm j\cdot 1{,}98}$	${\displaystyle s_{p1/2}=0\pm j\cdot 2{,}0}$	${\displaystyle s_{p1/2}=0{,}25\pm j\cdot 1{,}98}$
Übertragungsfunktion → ${\displaystyle Y(s)=G(s)\cdot {\frac {1}{s}}=}$ als Sprungantwort	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (2\cdot s+1)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot s}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (2\cdot s-1)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (0{,}25s^{2}+0{,}125s+1)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (0{,}25s^{2}+1)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (0{,}25s^{2}-0{,}125s+1)}}}$

Frequenzgang

Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion. Er kennzeichnet das Verhalten eines Systems mit erzwungener Dauerschwingung und der imaginären Frequenz ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$. Frequenzgang und Übertragungsfunktion unterscheiden sich nur durch die Entstehungsweise.

Alle Formen der Linearfaktoren (hier in Zeitkonstantendarstellung):

${\displaystyle G_{1}(s)=s;\quad G_{2}(s)=Ts+1;\quad G_{3}(s)=T^{2}s^{2}+2DTs+1}$

des Zählers und des Nenners können ohne Informationsverlust auch als Frequenzgang ${\displaystyle G(j\omega )}$ mit ${\displaystyle \delta =0}$ grafisch im Bode-Diagramm oder als Ortskurve des Frequenzgangs dargestellt werden und dienen der Stabilitätsbetrachtung und der Systemanalyse.

Schaltung von Regelkreisgliedern

Übertragungsglieder können verschaltet werden als:

• Reihenschaltung: ${\displaystyle G(s)=G1(s)\cdot G2(s)}$

Es gilt das Prinzip der ungestörten Superposition. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge z. B. innerhalb eines offenen Regelkreises beliebig verschoben werden.

Das Superpositionsprinzip für den offenen Regelkreis gilt nicht, wenn

• innerhalb der Regelstrecke Begrenzungen wirksam werden (nichtlineares Verhalten)
• innerhalb des Reglers – was sehr häufig vorkommt – Begrenzungen wirken (nichtlineares Verhalten)
• der Angriffspunkt einer Störgröße z. B. am Eingang der Regelstrecke liegt. (Begründung: Die Zähler der Stör-Übertragungsfunktionen bei der Verschiebung einer Komponente des Reglers vor oder hinter den Angriffspunkt der Störgröße sind nicht identisch)

• Parallelschaltung: ${\displaystyle G(s)=G1(s)\pm G2(s)}$,
• Gegen- und Mitkopplung: ${\displaystyle G(s)={\frac {G1(s)}{1\pm G1(s)\cdot G2(s)}}}$

Die faktorielle Darstellung der Grundglieder in der Reihenschaltung ist sehr vorteilhaft, weil sämtliche Daten für die Kriterien der Stabilität wie Pole, Nullstellen, Verstärkung und Zeitkonstanten sich aus den Übertragungsfunktionen der Regelkreisglieder ableiten lassen. Gleiche differenzierende und verzögernde Grundformen der Übertragungsfunktionen mit gleichen Zeitkonstanten kompensieren sich zu G(s) = 1.

Regelstreckenarten

Man unterscheidet lineare Regelstrecken und nichtlineare Regelstrecken. Bei linearen Regelstrecken unterscheidet man Regelstrecken mit Ausgleich, ohne Ausgleich und instabile Regelstrecken.

• Bei Regelstreckengliedern mit Ausgleich erreicht die Ausgangsgröße y(t) nach genügend langer Zeit die Eingangsgröße u(t). Beide Größen unterscheiden sich für ${\displaystyle t\to \infty }$ nur durch den Proportionalitätsfaktor K. ${\displaystyle y(t)\sim u(t)}$.
• Unter linearen Regelstreckengliedern ohne Ausgleich versteht man Regelstrecken mit I-Verhalten (I-Glied). Dabei strebt die Ausgangsgröße y(t) bei sprungförmiger Eingangsgröße u(t) nach genügend langer Zeit einen unendlich großen Wert an.

Formal sind diese Regelstrecken mit einem I-Glied damit grenzstabil, der Wert der Ausgangsgröße bleibt gespeichert, wenn die Eingangsgröße u(t) zu Null wird.

Ein I-Glied erfüllt den Begriff der „Internen Stabilität“, ist aber nicht „Extern stabil“, weil seine Ausgangsgröße für eine gegebene Eingangsgröße unbeschränkt steigt.

• Instabile Regelstrecken erkennt man an der Art der Polstellen. Sie liegen in der rechten s-Halbebene und haben einen positiven Realteil. Die Übertragungsfunktion in Produktdarstellung hat einen negativen Koeffizienten. Das Polynom der charakteristischen Gleichung der Übertragungsfunktion kann trotz positiver Koeffizienten positive Pole enthalten und damit instabil sein.

P-Regelstrecke

Der Ausgang eines P-Gliedes ist proportional zum Eingang. Ein Spannungsteiler oder die Untersetzungen in Hydrauliksystemen sind Beispiele für P-Regelstrecken.

Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

[[Datei:Sprungantwort 4 pt1-glieder.png|mini|Die Sprungantworten Xaσ(t) mit 4 PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten mit je T = 1[s]]] Das PT1-Glied kommt in der Natur und in der Technik am häufigsten vor. Es entsteht z. B., wenn Wärme in ein Medium fließt oder Spannung an ein RC-Glied angelegt wird. Das PT1-Glied ist ein System mit Ausgleich.

Differentialgleichung:

${\displaystyle T\cdot y'(t)+y(t)=K\cdot u(t)\quad \quad y(t)={\frac {1}{T}}\int K\cdot (u-y)\cdot dt}$

Übertragungsfunktion:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K\cdot {\frac {1}{T\cdot s+1}}}$

Siehe auch Bode-Diagramm und Ortskurve des Frequenzgangs unter PT1-Glied!

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)

Wenn ein Nennerpolynom der Normalform ${\displaystyle T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1\,}$ in Faktoren mit Hilfe der Formel zur Lösung gemischt quadratische Gleichungen aufgelöst werden kann, entstehen zwei PT1-Glieder in Reihenschaltung. Das PT2-Glied ist ein System mit Ausgleich.

Differentialgleichung: ${\displaystyle T^{2}\cdot y''(t)+T\cdot y'(t)+y(t)=K\cdot u(t)}$

Übertragungsfunktion: ${\displaystyle G(s)=K\cdot {\frac {1}{(T1\cdot s+1)\cdot (T2\cdot s+1)}}}$

Wenn das Nennerpolynom der oben genannten Form für die Dämpfung D einen Wert 0<D<1 hat, hat das System konjugiert komplexe Pole. Diese Form des PT2-Gliedes bezeichnet man als Schwingungsglied:

Übertragungsfunktion: ${\displaystyle G(s)=K\cdot {\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}\quad \quad \quad \quad 0<D<1}$

Schwingungsglieder entstehen durch Energieaustausch von zwei speicherfähigen Verzögerungsgliedern 1. Ordnung, wie Feder-Masse-Systeme, LC-Schwingkreis.

Die Grafik zeigt die Sprungantwort eines Schwingungsgliedes mit der Übertragungsfunktion:

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{0{,}06\cdot s^{2}+0{,}1\cdot s+1}}}$, der Dämpfungsgrad beträgt D = 0,22

Siehe auch Bode-Diagramm und Ortskurve des Frequenzgangs unter PT2-Glied!

Integrierendes Übertragungsglied (I-Glied)

Typisches Beispiel für ein I-Glied ist der Zufluss einer Flüssigkeit in einen Behälter oder das Aufladen eines Kondensators mit einstellbarem Konstantstrom.

Das I-Glied ist ein System ohne Ausgleich, die Ausgangsgröße steigt als Funktion einer beliebigen, konstanten Eingangsgröße monoton an.

Wegen der Lage des Pols in der s-Ebene bezeichnet man es auch als grenzstabil.

Es unterscheidet sich dadurch von einem PT1-Glied, dass in der linearen Differentialgleichung der Beiwert ${\displaystyle a_{0}=0}$ ist.

Die allgemeine Differentialgleichung: ${\displaystyle \cdots a_{2}\cdot y''(t)+a_{1}\cdot y'(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\cdots ,\quad }$

wird für das I-Glied zu:

${\displaystyle a_{1}\cdot y'(t)=b_{0}\cdot u(t)\qquad y(t)={\frac {1}{T_{n}}}\int (u)\cdot dt}$

Übertragungsfunktion mit ${\displaystyle T_{n}=a_{1}/b_{0}}$, ${\displaystyle T_{n}=}$ Nachstellzeit:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{0}}{a_{1}\cdot s}}={\frac {1}{T_{n}\cdot s}}}$

Siehe auch Bode-Diagramm und Ortskurve des Frequenzgangs unter I-Glied!

Instabile Regelstrecken

Instabile Regelstrecken können entstehen z. B. durch:

• zwei oder mehrere in Reihe geschaltete I-Glieder
• Rückkopplung im Funktionsplan (Wirkungsplan) der Strecke. Wird z. B. das Ausgangssignal eines positiv verstärkenden I-Gliedes auf den Eingang mit positivem Vorzeichen zurückgekoppelt, so entsteht ein instabiles Übertragungsglied 1. Ordnung.

Sie können in der Natur entstehen, wenn auf die Lage von Körpern Beschleunigungskräfte einwirken, wie sie z. B. durch die Gravitation oder durch den Magnetismus hervorgerufen werden, dann wird die Lage zunehmend beschleunigt. Die Ausgangsgröße y(t) wächst progressiv bis zu einer natürlichen Begrenzung.

Die Stabilisierung solcher Strecken hat in der Industrie eine zunehmende Bedeutung. In der Fachliteratur werden Berechnungsbeispiele zu instabilen Regelstrecken immer häufiger dargestellt. Anwendungen sind Inverses Pendel (Transport aufrechtstehender Rakete auf dem Wagen, Ladebrücke beim Schiff oder Güterzug), „Magnetschwebekörper“ (Positionierung beim Anfahren einer Magnetschwebebahn). Häufig haben diese instabilen Regelstrecken auch nichtlineare Komponenten, wie zum Beispiel in chemischen Reaktoren mit exothermer Reaktion.

Instabiles Übertragungsglied 1. Ordnung

Dieses Übertragungsglied wird manchmal umgangssprachlich auch als 'instabiles T1-Glied' bezeichnet. Dieses T1-Glied zeigt kein proportionales Verhalten, die Ausgangsgröße strebt bei einer Eingangserregung verzögert gegen einen unendlichen Wert.

Die Differentialgleichung mit einem negativen Koeffizienten lautet z. B.:

${\displaystyle T\cdot y'(t)-y(t)=K\cdot u(t)}$

Die Übertragungsfunktion lautet:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K\cdot {\frac {1}{T\cdot s-1}}}$

Die Sprungantwort lautet:

${\displaystyle y(t)=K\cdot u\cdot (e^{t/T}-1)\,}$

Das Zeitverhalten eines instabilen Gliedes 1. Ordnung mit einem Testsignal wird wie folgt beschrieben:

• Eine Impulsfunktion oder eine Sprungfunktion beliebiger Amplitude startet unverzüglich das Ausgangssignal, das bis zu einer natürlichen Grenze exponentiell zunimmt.
• Innerhalb des Arbeitsbereichs kann das Ausgangssignal nur dann in die entgegengesetzte negative Richtung gestartet werden, wenn ein negatives Eingangssignal – eine Sprungfunktion – im Betrag größer ist, als der momentanen positive Betrag der Impuls- bzw. Sprungantwort. Dies erklärt sich aus dem Prinzip der Mitkopplung.
• Wenn die negative Sprungfunktion solange ansteht, dass die Sprungantwort auch negativ wird, kann die Sprungfunktion zu Null werden. Die Sprungantwort läuft dann selbständig weiter bis zu einer Begrenzung in negativer Richtung.

Diese Regelstrecke ist relativ leicht mit einem PI-Regler zu regeln.

Instabiles Übertragungsglied 2. Ordnung

Wenn im Nenner eines Übertragungsgliedes 2. Ordnung negative Koeffizienten stehen, oder die Dämpfung D = 0 ist, so ist das System instabil. Liegen konjugiert komplexe Pole vor, schwingt das System mit zunehmender Amplitude. Enthält der Zähler der Übertragungsfunktion keine Potenz von s höher als 0. Ordnung, wird oft aufgrund der Ähnlichkeit der Übertragungsfunktion zu einem PT2-Glied von einem 'instabilen PT2-Glied' gesprochen. Formal ist diese Bezeichnung jedoch falsch, da die Ausgangsgröße des instabilen Übertragungsglieds erster Ordnung gegen keinen endlichen Wert konvergiert, also kein proportionales Verhalten aufweisen kann.

Lautet die Übertragungsfunktion eines instabilen Übertragungsglieds 2. Ordnung z. B.:

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{T1\cdot T2\cdot s^{2}+(T2-T1)\cdot s-1}}}$

Falls das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion keine konjugiert komplexen Pole hat, d. h. die Dämpfung D beträgt ${\displaystyle D\geq 1}$, dann lässt sich das Polynom in ein PT1-Glied und ein instabiles Übertragungsglied erster Ordnung oder in zwei instabile Übertragungsglieder erster Ordnung zerlegen. Z. B.

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(T1\cdot s+1)\cdot (T2\cdot s-1)}}}$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für die Übertragungsfunktion, wenn T1 = T2 = T für

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{T^{2}\cdot s^{2}-1}}={\frac {K}{(T\cdot s+1)\cdot (T\cdot s-1)}}}$

Diese instabile Regelstrecke ist ebenfalls relativ leicht mit einem PID-Regler zu regeln.

Totzeitglied

Das Totzeitglied ist ein in der Praxis häufig vorkommendes Übertragungsglied und wirkt meist in Verbindung mit weiteren Verzögerungsgliedern. Es wird durch reine Laufzeit bzw. Transportzeit eines Signals verursacht. Es verhält sich wie ein P-Glied, dessen Ausgangsgröße verspätet um die Totzeit ankommt, ohne die Eingangsgröße während dieser Zeit zu verzerren. Jede Änderung der Eingangsgröße wirkt um die Totzeit verspätet am Ausgang.

Zeitverhalten:

${\displaystyle \displaystyle y(t)={u}(t-T_{t})}$

Sprungantwort:

${\displaystyle y(t)=0;\quad {\text{für}}\quad t<T_{t}\;}$,

${\displaystyle y(t)=1;\quad {\text{für}}\quad t\geq T_{t}\;}$.

Übertragungsfunktion:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=e^{-s\cdot T_{t}}}$

${\displaystyle \to }$ Siehe Artikel Totzeit (Regelungstechnik)

Signal- und Stellgrößenbegrenzung (Sättigung)

Signal-Begrenzungsfunktionen sind die häufigsten Elemente unter den nichtlinearen Systemen. Ein Ventil kann nur zu 100 % geöffnet sein, und ein Elektromotor darf nicht über seine maximale Leistung betrieben werden.

Die Begrenzungseffekte des Reglers und seltener die der Strecke müssen bezüglich der Regeldynamik aufeinander abgestimmt sein. Die Ausgangsgröße des Reglers (Stellgröße) darf nicht größer sein, als die Eingangsgröße, die die Regelstrecke verarbeiten kann.

Allgemein wirkt eine Signalgrößenbegrenzung bzw. Stellgrößenbegrenzung auf das Großsignalverhalten des nachfolgenden Systems bzw. des Regelkreises dämpfend. Der zeitliche Verlauf der Regelgröße verlangsamt sich. Algebraische Berechnungen mit Übertragungsfunktionen sind bei gemischten linearen und nichtlinearen Einzelsystemen nicht gültig.

Sind durch eine Systemanalyse die Übertragungsfunktionen der linearen Einzelsysteme der Regelstrecke bekannt, kann durch eine numerische Simulation des Reglers und der Strecke der Effekt der nichtlinearen Begrenzungsfunktion anschaulich für den Regelkreis dargestellt werden. Für die Simulation des zeitlichen Verhaltens von linearen und nichtlinearen Übertragungsgliedern werden Differenzengleichungen und logische Funktionen verwendet.

${\displaystyle \to }$ Siehe Artikel Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

Nichtlineare stetige Kennlinie einer Regelstrecke

Die quadratische Charakteristik einer Federkennlinie oder die nichtlineare Querschnittveränderung eines Ventils bedeuten in sonst mit linearen Systemen wirkenden Regelstrecken unterschiedliche Streckenverstärkungen. Wenn ein Regelkreis für einen festen Sollwert eingestellt ist, hat die Stellgröße einen bestimmten Arbeitsbereich innerhalb der nichtlinearen Funktion. Durch Anlegen einer Tangente an den Arbeitsbereich der nichtlinearen Funktion der Regelstrecke kann die Verstärkung der so linearisierten Teilkennlinie bestimmt werden. Mit der Verstärkung aus dem Quotienten ${\displaystyle K={\frac {dy}{du}}}$ der Tangente in diesem Arbeitspunkt kann das Verhalten des Regelkreises berechnet werden, wenn die Übertragungsfunktionen der übrigen Übertragungssysteme bekannt sind.

Sollen beliebige Sollwerte für einen gegebenen Regelkreises eingestellt werden, müssen die Parameter des Reglers für die größte Verstärkung der Nichtlinearität der Strecke optimiert werden, anderenfalls besteht bei zunehmender Streckenverstärkung die Gefahr der Instabilität des Regelkreises. Gleichzeitig ist damit ein schlechtes dynamisches Verhalten des Regelkreises verbunden, wenn die Nichtlinearität um den Arbeitspunkt eine geringere Verstärkung aufweist.

Abhilfe kann eine Kompensationsfunktion (Inverse Nichtlinearität) im Eingang des nichtlinearen Systems bringen. Für einen digitalen Regler wäre das nur eine Tabelle, die berücksichtigt werden muss, damit die Nichtlinearität zu einer linearen Funktion mit proportionalem Verhalten gewandelt werden kann. Die Kompensationsfunktion unterliegt nicht dem Superpositionsprinzip.

Unstetige Ansprechempfindlichkeit (Tote Zone)

Insbesondere bei mechanischen Systemen tritt Spiel auf, sodass erst eine bestimmte Eingangsgröße überschritten werden muss, ehe sich die Ausgangsgröße ändert. Für einen Regelkreis bedeutet dies, dass kleine Regelabweichungen nicht nachgestellt werden können oder das System instabil wird.

Hysterese

Durch Reibung an Ventilen, durch magnetische Effekte z. B. bei Relais oder durch Mitkopplung an Operationsverstärkern kann der Hystereseeffekt auftreten. Die Hysterese kann stetiges oder unstetiges Verhalten haben. Für unstetige Regler ist die Hysteresefunktion erwünscht. Für die stetige Regelung ist der Hystereseeffekt sehr unerwünscht.

Systeme 1. Ordnung

Einfache Regelstrecken, die durch ein System 1. Ordnung beschrieben werden, sind leicht durch die Sprungantwort des Systems zu identifizieren. Es gelten die grafischen Bilder des Kapitels „Lineare Regelstrecken“.

Systeme höherer Ordnung

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Sprungantwort

Die Sprungantwort hat den Vorteil der einfacheren Durchführung und des höheren Bekanntheitsgrades des zu erwartenden Ergebnisses. Die zeitunabhängige Streckenverstärkung Ks kann bei Regelstrecken mit Ausgleich im statischen Zustand direkt abgelesen werden.

Folgende Anforderungen werden an die Modellregelstrecke für eine Regelstrecke mit Ausgleich gestellt:

• Die Sprungantwort der Modellregelstrecke soll weitgehend deckungsgleich mit der Originalregelstrecke sein.
• Die Modellregelstrecke soll eine bestimmte Form der Übertragungsfunktion aufweisen, die sich mit einem guten linearen Standardregler – beispielsweise einem PID-Regler – leicht für eine Parametrierung des Reglers eignet.
• Das Verfahren soll für Regelstrecken ab 2. Ordnung mit und ohne Totzeit anwendbar sein.

Ein PID-Regler in Produktdarstellung (Reihenschaltung) kann 2 PT1-Verzögerungen kompensieren. Deshalb wird folgende leicht zu bestimmende Form der Modellregelstrecke gewählt, die aus einem schwingungsfreien PT2-Glied und einem Totzeitglied besteht:

Übertragungsfunktion Modell:

${\displaystyle G_{sm}(s)={\frac {e^{-Ttv\cdot s}}{(T\cdot s+1)^{2}}}}$

Ttv besteht aus einer eventuell vorhandenen Totzeit Tt und der durch die grafische Konstruktion – bzw. durch ein Simulationsprogramm – bedingten Verschiebezeit.

Die Sprungantwort des PT2-Gliedes lautet:

${\displaystyle G_{PT2}(t)=1-{\frac {T+t}{T}}\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}}$

Verfahren zur Ermittlung der Modellregelstrecke:

Die Durchführung der Konstruktion des Modells kann grafisch in das aufgezeichnete Diagramm der Sprungantwort der unbekannten Regelstrecke erfolgen.

Wesentlich einfacher ist der Verlauf des PT2-Gliedes durch ein Simulationsprogramm zu gestalten, wenn die Originalfunktion durch eine geeignete Anzahl von Messpunkten in das Rechenprogramm eingetragen wird. Die Vorgehensweise für das grafische Verfahren und für die Anwendung eines Simulationsprogrammes ist in beiden Fällen identisch. Für die Konstruktion des Modells wird die Kennlinie des PT2-Gliedes im mittleren Amplitudenbereich des Originals durch schrittweises Ändern der beiden Zeitkonstanten T der Neigung des Kennlinienverlaufs des Originals angeglichen. Die Deckung der beiden Kennlinien wird durch horizontale Verschiebung der Kennlinie des PT2-Gliedes – bei Vorliegen eines Simulationsprogrammes durch ein Totzeitglied – auf die Kennlinie des Originals erreicht. Danach erfolgt der Feinabgleich mit der Zeitkonstanten T und der Verschiebezeit (Ttv). Bei Deckungsgleichheit der beiden Kennlinien können die Zeitkonstanten des Modells mit Ttv und T abgelesen werden.

Wenn die Totzeit der Originalstrecke nicht größer als 50 % der dominanten Zeitkonstante ist, kann mit den ermittelten Daten des Modells Ks, Ttv und T ein PID-Regler in Produktdarstellung optimal mit Führungseigenschaften parametriert werden nach folgenden Regeln:

• Polstellen-Nullstellenkompensation: Tv1 = T, Tv2 = T,
• Verstärkung:${\displaystyle K_{\mathrm {PID} }={\frac {0{,}6}{Ttv\cdot Ks}}}$

Die Streckenverstärkung Ks ergibt sich aus dem Verhältnis von y / u der Originalstrecke im statischen Zustand.

• Ergebnis: Die Sprungantwort des Regelkreises enthält ca. 5 % bis 10 % Überschwingungen mit dem Dämpfungsgrad D ca. >0,5

Siehe unter Parametrierung eines PID-Reglers: „Beispiel: PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke mit zwei Verzögerungen und einer Totzeit“.

Die zugehörige Grafik zeigt die gute Deckung der Kennlinien der Sprungantworten des Modells und des Originals. Die gefundenen Parameter des Modells eignen sich gut für die Parametrierung eines PID-Reglers.

Fehlerbetrachtung der Sprungantwort des Modells zur Sprungantwort der Originalfunktion:

Für Strecken höherer Ordnung mit beliebigen Zeitkonstanten und Totzeit-Glied ist die Anwendung des vorgeschlagenen Modells bezogen auf die Sprungantworten der beiden Systeme relativ genau mit einem zu erwartenden Amplitudenfehler von 0,5 % bis 1 %. Lediglich bei einer nicht realistischen Regelstrecke, bei der z. B. vier ähnliche oder gleich große Zeitkonstanten auftreten, kann ein systembedingter Fehler – sorgfältige Anpassung der beiden Kennlinien vorausgesetzt – von 3 % auftreten. Der Fehler der Sprungantwort eines Regelkreises, der die Originalstrecke oder das Modell bei sonst gleichen Regler-Einstellungen enthält, ist natürlich größer.

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Impulsantwort (Gewichtsfunktion)

Die Impulsfunktion kann durch einen normierten Impuls definiert werden. Die Impulsbreite ${\displaystyle \Delta t\,}$ des Produktes ${\displaystyle u\cdot \Delta t=1}$ soll sehr klein sein gegenüber den Zeitkonstanten des Übertragungssystems. In der Praxis genügt ein Wert für ${\displaystyle \Delta t\,}$ von 1 % bis 10 % der dominanten Zeitkonstante des zu prüfenden Übertragungssystems. Die sich aus dieser Beziehung ergebene Amplitude von y ist auf mögliche Begrenzungseffekte des Übertragungssystems zu prüfen, andernfalls ergeben sich Fehler in der Impulsantwort.

Modell für eine Regelstrecke mit Hilfe der Impulsantwort

Analog zum Modell-Beispiel mit der Sprungantwort wird ein Modell mit drei Verzögerungen mit folgender Übertragungsfunktion vorgeschlagen:

${\displaystyle G_{sm}(s)={\frac {1}{(T1\cdot s+1)\cdot (T2\cdot s+1)\cdot (T3\cdot s+1)}}}$

Liegt eine Totzeit in der Originalfunktion vor, muss das Modell um ein Totzeitglied erweitert werden. Im Gegensatz zum Modell mit der Sprungantwort kann mit einem PT2-Glied und einem Totzeitglied keine Deckung der Kennlinien der Impulsantworten des Originals und des Modells erzielt werden, weil die Kennlinie der Impulsantwort empfindlicher auf Fehlanpassung reagiert.

Die experimentelle Parametrierung des Modells erfolgt schrittweise durch Verändern der Zeitkonstanten, wobei zuerst der Scheitelwert der Impulsantwort des Modells und dann die gesamte Kennlinie bei gleichem Scheitelwert mit der Kennlinie der unbekannten Impulsantwort zur Deckung gebracht wird.

Bei der Konstruktion der Kennlinien-Deckung bei gleichem Scheitelwert der Impulsantworten fällt auf:

• Eine oder alle Zeitkonstanten des Modells müssen verkleinert werden, wenn die Kennlinie des Modells rechts der Symmetrieachse des Scheitelwertes des Originals liegt. Andernfalls ist die Ordnung des Modells höher als das Original.
• Liegt die Kennlinie der Impulsantwort links der Symmetrieachse des Scheitelwertes des Originals, müsste eine zusätzliche Verzögerung in das Modell einbezogen werden, wenn man Deckungsgleichheit beider Kennlinien erzielen möchte.

Grafisch ist dieses Modell nur schwer zu erstellen. Es empfiehlt sich die Anwendung eines Simulationsprogramms für die drei PT1-Glieder.

Die zugehörige Grafik der Impulsantworten des Originals und des Modells zeigt keine vollständige Übereinstimmung der beiden Kennlinien, weil das Original Zeitverzögerungen 4. Ordnung enthält. Dennoch ist das ermittelte Modell mindestens so genau wie das ermittelte Modell mit der Sprungantwort.

Vergleich der Qualität der Modelle mit der Sprungantwort und der Impulsantwort

Die Impulsantwort eines Übertragungssystems ist identisch mit der Differentiation der Sprungantwort des Systems. Deshalb ist der mittlere Bereich um den Wendepunkt der Kennlinie der Sprungantwort durch die Differentiation stark vergrößert. Das Verfahren mit dem Vergleich der Kennlinien der Impulsantworten eines Streckenmodells und des Originals erlaubt eine genauere Identifikation der Strecke als mit dem Vergleich der Sprungantworten. Den Beweis kann man nur durch Simulation beider Verfahren in einem Regelkreis antreten.

Interne Stabilität

Interne Stabilität bedeutet, dass jedes Glied der Regelstrecke stabil ist. Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn die Übertragungsfunktion nur Pole in der linken s-Halbebene hat:

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität)

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität) bezieht sich im Gegensatz zur internen Stabilität auf das Gesamtsystem des Regelkreises. Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn ein beschränktes Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. Dabei können einzelne Elemente des Regelkreises instabil sein, solange der gesamte Regelkreis stabiles Verhalten aufweist.

Ein Regelstreckensystem ist instabil

• wenn die Ausgangsgröße kontinuierlich schwingt,
• wenn die Ausgangsgröße mit ansteigenden Amplituden schwingt,
• wenn die Ausgangsgröße progressiv über alle Grenzen ansteigt.

Stabilitätsbetrachtung durch Lage der Pole

Es genügt, für die Erkennung der Stabilität einer Übertragungsfunktion die Lage der Pole in der s-Ebene (Ordinate mit Ϭ, Abszisse mit j*ω) zu betrachten:

• Asymptotische Stabilität: sämtliche Pole müssen in der linken s-Halbebene liegen,
• Instabilität: wenn mindestens ein Pol in der rechten s-Halbebene liegt oder wenn ein mehrfacher Pol auf der Imaginären Achse der s-Ebene liegt.
• Grenzstabil: wenn kein Pol in der rechten s-Halbebene liegt, keine mehrfachen Pole auf der imaginären Achse der s-Halbebene liegen und mindestens ein einfacher Pol vorhanden ist.

Begriffsdefinition dynamischer Übertragungssysteme im Zustandsraum

• Zustandsraum:

Ein dynamisches System im Zustandsraum wird durch seine inneren Systemgrößen, den Zustandsgrößen, beschrieben. Die Zustandsgrößen werden aus der systembeschreibenden Differentialgleichung eines Modells der Regelstrecke durch Integrationsverfahren aller Ableitungen der Ausgangsgröße ermittelt.

Der Zustand eines Systems mit n Energiespeichern ist durch n Zustandsgrößen ${\displaystyle x_{1},x_{2}\cdots x_{n}\,}$ bestimmt. Die Zustandsgrößen sind die inneren Systemgrößen, die das dynamische Übertragungsverhalten festlegen. Diese werden zu einem Zustandsvektor ${\displaystyle {\underline {x}}\,}$ zusammengefasst. Der Wert der Zustandsgrößen zu einem bestimmten Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems. Physikalisch ist der Zustand eines Systems durch das Verhalten seiner Energiespeicher zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die Anfangsbedingungen ${\displaystyle x(t=0)=x(0)\,}$ gegeben.

Die Anzahl der Zustandsgrößen des Zustandsvektors ${\displaystyle {\underline {x}}(t)\,}$ ist die Dimension des Zustandsraumes.

• Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung wird definiert als die Verknüpfung der Eingangsgrößen, Ausgangsgrößen und Zustandsvariablen eines Übertragungssystems in Form von Matrizen und Vektoren.

Die Behandlung eines Systems im Zustandsraum ist nicht zwangsläufig an die Systembeschreibung in Form von Matrizen gebunden. Das zeitliche Verhalten der Ausgangsgröße y(t) und der Zustandsgrößen x(t) kann auch leicht mittels numerischer Methoden als Funktion eines beliebigen Eingangssignals w(t) berechnet und grafisch dargestellt werden.

• Zustandsraummodell

Das Zustandsraummodell eines Übertragungssystems beschreibt symbolisch durch Matrizen und Vektoren die Regelungsnormalform. Es zeigt in einer standardisierten Form den Zusammenhang des Eingangssignals u(t), des Ausgangssignals y(t) und die additive Rückführung der Zustandsgrößen auf das Eingangssignal in Form von Matrizen und Vektoren. Es beschreibt Ein- und Mehrgrößensysteme.

Das Blockdiagramm des Zustandsraummodells ist ein vereinfachtes Modell, das die erste Ableitung des Zustandsvektors ${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$ und die einfache Integration des Zustandsvektors und dessen Rückführung anzeigt. Es symbolisiert die überführte Differentialgleichung n-ter Ordnung in n-gekoppelte Zustands-Differentialgleichungen erster Ordnung. Die tatsächlichen Signalflüsse und Zustandsgrößen, die sich aus der systembeschreibenden Differenzialgleichung höherer Ordnung ergeben, werden in dem Diagramm der Signalflüsse der Regelungsnormalform angezeigt.

Die dem System zugehörigen ebenfalls standardisierten Zustandsdifferentialgleichung und Ausgangsgleichung beschreiben vollständig das Übertragungssystem mit Matrizen und Vektoren.

Die Gleichungen der Ableitung des Zustandsvektors ${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$ und die Ausgangsvariable y(t) ergeben sich algebraisch anhand des Bockdiagramms des Zustandsraummodells.

• Zustandsgrößen

Die Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen) beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem dynamischen System enthaltenen Speicherelemente. Sie können sich bei Anregung des Systems nicht sprunghaft ändern und bedeuten physikalisch z. B. Spannung an einem Kondensator, Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die potentiellen und kinetischen Energieanteile.

Die meisten linearen Übertragungssysteme bzw. Regelstrecken höherer Ordnung lassen sich durch gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung beschreiben. Die Zustandsgrößen ${\displaystyle x_{1}(t)\cdots x_{n}(t)\,}$ ergeben sich aus der Differentialgleichung, indem alle Ableitungen der Ausgangsgröße y(t) integriert und mit dem zugehörigen Koeffizienten von der Eingangsgröße u(t) subtrahiert werden (= Addition negativer Koeffizienten der Pole des Übertragungssystems).

Siehe Grafik der Zustandsvariablen an einem Beispiel eines Übertragungsgliedes 3. Ordnung als Sprungantwort im Artikel Regelkreis: Sprungantwort der Zustandsvariablen!

• Systemmatrix

Die Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ enthält die Koeffizienten der Zustandsgrößen. Durch die Regelungsnormalform kann die Systemmatrix nach einem relativ einfachen Schema erstellt werden. Die Koeffizienten eines Übertragungssystems n-ter Ordnung stehen in einer Zeile der Matrix.

Bei Mehrgrößensystemen mit verkoppelten Übertragungsgliedern können die Bestimmung der Zustandsvariablen und die Auslegung der Systemmatrix aufwendig werden. Für jede Ausgangsgröße ${\displaystyle y_{1}(t)\cdots y_{n}(t)\,}$ lässt sich eine verkoppelte Übertragungsfunktion bzw. die zugehörige Differenzialgleichung bestimmen. Daraus werden die Koeffizienten für die n*n-Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ gebildet.

• Durchgangsmatrix

Im Normalfall der Regelungstechnik gilt für die Beschreibung des Übertragungsverhaltens der Regelstrecke das Pole-Nullstellenverhältnis n > m, d. h. die Anzahl der Pole n ist größer als die der Nullstellen m des Systems. In diesem Fall ist das System nicht sprungfähig. Die Durchgangsmatrix ${\displaystyle {\underline {D}}(t)\,}$ beziehungsweise der Durchgangsfaktor ${\displaystyle {d}(t)\,}$ wird zu Null.

• Normalformen im Zustandsraum für lineare Übertragungssysteme

Es existieren verschiedene Formen von Signalflussplänen, von denen die bekanntesten die Regelungsnormalform (auch mit Frobenius-Form, Steuerungsnormalform oder 1. Standardform bezeichnet) und die Beobachtungsnormalform sind.

In der Matrizen-Vektordarstellung der Zustandsgleichungen haben beide Normalformen ein festgelegtes Schema der Koeffizienten in der Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ der systembeschreibenden Differenzialgleichung beziehungsweise der Übertragungsfunktion.

• Die Regelungsnormalform zeigt die Umsetzung und Lösung der Differenzialgleichung in die physikalischen analogen Signalflüsse der Zustandsgrößen einschließlich der Ausgangsgröße bei gegebener Eingangsgröße. Man kann sie als eine Weiterentwicklung der in der Analogrechentechnik bekannten Verfahren zur Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit n Integratoren betrachten.

Sie ist besonders geeignet für Reglerentwurf, z. B. mit dem Polvorgabe-Verfahren. Von den n*n Elementen der Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ ist nur die letzte Zeile vom Übertragungssystem abhängig.

• Beobachtungsnormalform

Sie ist besonders geeignet zur Überprüfung der Systemeigenschaft auf die Beobachtbarkeit. Von den n*n Elementen der Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ ist nur die letzte Spalte vom Übertragungssystem abhängig.

• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen

Steuerbarkeit

Ein System ist steuerbar, wenn es von einem beliebigen Anfangszustand nach endlicher Zeit in einen beliebigen Endzustand gebracht werden kann.

Allgemein gilt auf die Signalgrößen bezogen:

Ein System ist vollständig zustandssteuerbar, wenn für jede Anfangszeit ${\displaystyle t_{0}\,}$ jeder Anfangszustand ${\displaystyle {\underline {x}}_{0}(t)\,}$ nach endlicher Zeit durch einen unbeschränkten Steuervektor ${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$ in jeden beliebigen Endzustand ${\displaystyle {\underline {x}}\,}$ gebracht werden kann.

Sind alle Zustände (Zustandsgrößen) eines Systems steuerbar, so ist auch das System steuerbar. Siehe Artikel Steuerbarkeit

Beobachtbarkeit

Zustandsbeobachter können nur realisiert werden, wenn das zu beobachtende System beobachtbar ist, was bei den allermeisten technischen Regelstrecken der Fall ist.

Ein lineares Übertragungssystem ist beobachtbar, wenn durch Messung der Ausgangsvariablen y(t) der Anfangszustand des Zustandsvektors ${\displaystyle {\underline {x}}_{0}\,}$ nach endlicher Zeit bestimmt werden kann. Die Eingangsvariable u(t) muss bekannt sein.

Ein System heißt vollständig beobachtbar, wenn jeder Anfangszustand ${\displaystyle {\underline {x}}(t_{0})\,}$ aus den Messungen des Ausgangssignals y(t) in einem bestimmten Zeitintervall ab ${\displaystyle t_{0}\,}$ exakt bestimmt werden kann.

Blockdiagramm eines Zustandsraummodells eines Eingrößensystems

Bei der Zustandsraumdarstellung wird von einem Blockdiagramm der Signalflüsse eines Zustandsraummodells ausgegangen. Die gezeigte Darstellung bezieht sich auf ein Eingrößensystem, kann aber leicht auf ein Mehrgrößensystem erweitert werden.

Das Blockdiagramm des Zustandsraummodells zeigt symbolisch die Signalflüsse eines linearen Übertragungssystems n-ter Ordnung, das durch Umwandlung in n Differenzialgleichungen erster Ordnung überführt wurde. Es stellt den Zusammenhang der Ableitung des Zustandsvektors ${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$ mit der Systemmatrix ${\displaystyle {\underline {A}}\,}$ eines linearen Übertragungssystems mit den Eingangsgrößen ${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$ und Ausgangsgrößen ${\displaystyle {\underline {y}}(t)\,}$ dar.

Die mathematische Beschreibung des Zustandsraummodells erfolgt durch die Zustandsdifferenzialgleichung und durch die Ausgangsgleichung. Beide zusammen werden als Zustandsraumgleichungen bezeichnet.

Das Blockdiagramm des Zustandsraummodells hat eine einheitliche Form, wird aber als Ein- oder Mehrgrößensystem unterschiedlich dargestellt. Bei dem Mehrgrößensystem treten anstelle der skalaren Ein- und Ausgangsgrößen u(t) und y(t) die Vektoren ${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$ und ${\displaystyle {\underline {y}}(t)\,}$. Die Signalflüsse von Matrizen und Vektoren werden in dem Blockschaltbild durch Doppellinien dargestellt.

Gleichungen des Zustandsraummodells laut des dargestellten grafischen Signalflussplanes:

Gleichung	Bei Eingrößensystemen	Bei Mehrgrößensystemen
Zustandsdifferenzialgleichung (auch Zustandsgleichung)	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)={\underline {A}}\cdot {\underline {x}}(t)+{\underline {b}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)={\underline {A}}\cdot {\underline {x}}(t)+{\underline {B}}\cdot {\underline {u}}(t)}$
Ausgangsgleichung	${\displaystyle y(t)={\underline {c}}^{T}\cdot {\underline {x}}(t)+d\cdot u(t)}$ d = 0 für n > m	${\displaystyle {\underline {y}}(t)={\underline {C}}\cdot {\underline {x}}(t)+{\underline {D}}\cdot {\underline {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\underline {D}}\,}$ = 0 für n > m

Bedeutung der Signale und Systemblöcke des Zustandsraummodells:

Bedeutung	Eingrößensystem	Mehrgrößensystem
Ableitung des Zustandsvektors	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$
Zustandsvektor	${\displaystyle {\underline {x}}(t)\,}$	${\displaystyle {\underline {x}}(t)\,}$
Zustandsvariable	${\displaystyle {x}(t)\,}$	${\displaystyle {x}(t)\,}$
Vektor der Anfangsbedingungen	${\displaystyle {\underline {x}}_{0}(t)\,}$	${\displaystyle {\underline {x}}_{0}(t)\,}$
Eingangssignale	${\displaystyle {u}(t)\,}$ Eingangsvariable	${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$ Eingangsvariablenvektor
Ausgangssignale	${\displaystyle {y}(t)\,}$ Ausgangsvariable	${\displaystyle {\underline {y}}(t)\,}$ Ausgangsvariablenvektor
Systemmatrix	${\displaystyle {\underline {A}}(t)\,}$	${\displaystyle {\underline {A}}(t)\,}$
Eingangsmatrix	${\displaystyle {\underline {b}}(t)\,}$ Eingangsvektor	${\displaystyle {\underline {B}}(t)\,}$ Eingangsmatrix
Ausgangsmatrix	${\displaystyle {\underline {c}}^{T}(t)\,}$ Ausgangsvektor (transponiert)	${\displaystyle {\underline {C}}(t)\,}$ Ausgangsmatrix
Durchgangsmatrix	${\displaystyle {d}(t)\,}$ Durchgangsfaktor = Null für n > m	${\displaystyle {\underline {D}}(t)\,}$ Durchgangsmatrix = Null für n > m

Anmerkung: Die mit Vektoren bezeichneten Größen bedeuten jeweils eine Spalte oder eine Zeile einer Matrix.

Zustandsdifferenzialgleichung und Ausgangsgleichung des Zustandsraummodells in Matrix-Vektorschreibweise:

Eingrößensysteme haben nur eine Eingangsgröße u(t) und eine Ausgangsgröße y(t). Dabei gehen die Eingangsmatrizen ${\displaystyle {\underline {B}}\,}$ und Ausgangsmatrizen ${\displaystyle {\underline {C}}\,}$ in den Eingangsvektor ${\displaystyle {\underline {b}}\,}$ und Ausgangsvektor ${\displaystyle {\underline {c}}\,}$ über.

Zustandsdifferenzialgleichungen der Eingrößensysteme

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'_{1}(t)\\x'_{2}(t)\\\vdots \\x'_{n}(t)\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\\\end{bmatrix}} _{\text{System-Matrix}}\ *\underbrace {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Zustd.-Vektor}}+\underbrace {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{bmatrix}} _{\text{Eingangs-Vektor}}*\underbrace {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m}(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Eing. Gr.-Vektor}}}$

Ausgangsgleichung der Eingrößensysteme:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(t)\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}c_{1}&\dots &c_{n}\\\end{bmatrix}} _{\text{Ausgangs-Vektor}}\ *\underbrace {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Zustd.-Vektor}}+\underbrace {\begin{bmatrix}d\\\end{bmatrix}} _{\text{Durchg.-Faktor}}*\underbrace {\begin{bmatrix}u(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Eing.-Variable}}}$

Unter der Zustandsraumdarstellung in der Regelungsnormalform versteht man eine einheitliche Form der Matrizendarstellung mit folgenden vorteilhaften Eigenschaften:

Für den weiteren, über den Hauptartikel Zustandsraumdarstellung hinausgehenden Informationsbedarf, muss auf die Fachliteratur hingewiesen werden.

Zweigrößen-Regelstrecken

Von den bekanntesten Mehrgrößen-Regelstrecken ist die Struktur der Zweigrößen-Regelstrecken nachfolgend dargestellt.

• Die Regelstrecke hat zwei Eingangsgrößen und zwei Ausgangsgrößen.
• Beide Ausgangsgrößen sind dynamisch mit der jeweils anderen Eingangsgröße verkoppelt.
• Je nach Vorzeichen der Additionsstellen unterscheidet man positive und negative Kopplung. Unter der negativen Kopplung versteht man bei Zweigrößen-Regelstrecken, dass nur eine von beiden Koppelstellen negativ eingreift.
• Die Kopplung kann am Ausgang der Hauptstrecke wie auch am Eingang erfolgen.

Mehrgrößen-Regelsysteme können wie einschleifige Regelsysteme sowohl im Zeitbereich durch Differentialgleichungen, als Zustandsdarstellung und auch im Frequenzbereich durch Übertragungsfunktionen beschrieben werden.

Nach dem Blockschaltbild mit den Koppelstellen an den Ausgängen gelten für lineare Regelstrecken nach dem Überlagerungsprinzip mit

• G11(s) und G22(s) als Hauptstrecken und
• G12(s) und G21(s) als Koppelstrecken.

Die zugehörigen Übertragungsfunktionen der beiden Ausgangsgrößen für die Kopplung am Ausgang lauten:

${\displaystyle Y_{1}(s)=U_{1}(s)\cdot G11(s)+U_{2}(s)\cdot G12(s)}$

${\displaystyle Y_{2}(s)=U_{2}(s)\cdot G22(s)+U_{1}(s)\cdot G21(s)\,}$

Analog zu den Zweigrößen-Regelstrecken mit Kopplung am Ausgang gibt es die Zweigrößen-Regelstrecken mit der Kopplung am Eingang. Die zugehörigen Übertragungsfunktionen der beiden Ausgangsgrößen mit der Kopplung am Eingang lauten:

${\displaystyle Y_{1}(s)=(U_{1}(s)+U_{2}(s)\cdot G21(s))\cdot G11(s)\,}$

${\displaystyle Y_{2}(s)=(U_{2}(s)+U_{1}(s)\cdot G12(s))\cdot G22(s)\,}$

In der Grafik ist die Sprungantwort für eine Zweigrößen-Regelstrecke mit Kopplung am Ausgang dargestellt. Bei positiver Kopplung und Übertragungssystemen mit Ausgleich ohne Verstärkungsfaktoren ist die Ausgangsgröße im stationären Zustand immer y(t) = 2 * u(t). Bei negativer Kopplung ist die Ausgangsgröße unter den gleichen Bedingungen im stationären Zustand y(t) = 0. Vorübergehend kann y(t) je nach Verhalten der Koppelstrecke positive oder negative Werte annehmen.

Mehrgrößen-Regelkreise

Regelstrecken mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgrößen werden ebenfalls von Reglern mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgrößen geregelt. Liegen mehrere Regelgrößen vor, sind ebenfalls mehrere Sollwerte und Stellgrößen erforderlich, damit entsteht ein mehrschleifiger Regelkreis.

Die übliche Entwurfsstrategie von Reglern in einschleifigen Regelkreisen – z. B. Pol-Nullstellenkompensation – bringt bei Mehrgrößen-Regelsystemen keine zufriedenstellenden Resultate.

Abhilfe schafft die Methode, durch eine spezielle Struktur der Regler die Verkopplung zu eliminieren. Dafür sind bei den Zweigrößen-Regelkreisen vier Regler erforderlich, die einen Zweigrößen-Regelkreis in zwei einschleifige Regelkreise überführen können.

Andere Verfahren zur Vereinfachung von Mehrgrößensystemen sind „Modellreduktionen“ und „angenäherte Entkopplungen“. Siehe dazu auch Regler für Mehrgrößensysteme.