Der Satz von Minty-Browder oder auch Satz von Browder und Minty, englisch Minty-Browder theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz der Nichtlinearen Funktionalanalysis. Er geht auf Arbeiten der beiden Mathematiker George Minty und Felix Browder aus den Jahren 1962 und 1963 zurück.

Der Satz behandelt die Frage der Bedingungen, unter denen ein monotoner Operator auf einem separablen reflexiven Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen surjektiv ist. Er wird auch als Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren bezeichnet und gilt als nichtlineares Analogon zum Satz von Lax-Milgram. Der Satz findet vielfache Anwendung bei der Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben der Variationsrechnung. Der Beweis des Satzes beruht auf dem Fixpunktsatz von Brouwer und der Galerkin-Methode.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung von Růžička bzw. Ciarlet folgend lässt sich der Satz von Minty-Browder angeben wie folgt:

Gegeben sei ${\displaystyle X}$ ein separabler reflexiver Banachraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Sei dazu ${\displaystyle A\colon X\to X^{'}=L(X,\mathbb {R} )}$ ein Operator von dem Banachraum in seinen Dualraum.

Der Operator ${\displaystyle A}$ besitze folgende Eigenschaften:

(a) ${\displaystyle A}$ ist monoton.

(b) ${\displaystyle A}$ ist koerziv.

(c) ${\displaystyle A}$ ist hemistetig.

Dann gilt:

(1) ${\displaystyle A}$ ist surjektiv.

(2) Für jedes ${\displaystyle x^{'}\in X^{'}}$ ist die Faser ${\displaystyle A^{-1}(x^{'})}$ eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

(3) Ist ${\displaystyle A}$ zudem noch strikt monoton, so ist ${\displaystyle A}$ sogar eine Bijektion.

Erläuterungen zur Terminologie

Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators ${\displaystyle A\colon X\to X^{'}}$ sind folgende Termini wesentlich:

• ${\displaystyle A}$ ist monoton genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v\in X}$ stets gilt:

${\displaystyle \langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle \geq 0}$

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist strikt monoton genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v\in X}$ mit ${\displaystyle u\neq v}$ stets gilt:

${\displaystyle \langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle >0}$

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist koerziv genau dann, wenn gilt:

${\displaystyle \lim _{\|x\|\to {\infty }}{\frac {\langle A(x)\;,\;x\rangle }{\|x\|}}={\infty }}$.

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist hemistetig genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v,w\in X}$ stets gilt:

Die auf dem Intervall ${\displaystyle [0\;,\;1]}$ definierte reellwertige Funktion ${\displaystyle t\mapsto \langle A(u+tv)\;,\;w\rangle }$ ist stetig.

Siehe auch

• Satz von Lax-Milgram

Quellen und Hintergrundliteratur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5.  MR0687073
• Felix E. Browder: Nonlinear elliptic boundary value problems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 69, 1963, S. 862–874 ().  MR0156116
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• George J. Minty: On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces. In: National Academy of Sciences. Band 50, 1963, S. 1038–1041, JSTOR:71840.  MR0162159
• George J. Minty: Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space. In: Duke Mathematical Journal. Band 29, 1962, S. 341–346 ().  MR0169064
• Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (u. a.) 2004, ISBN 978-3-540-20066-6. 

Einzelnachweise

1. 1 2 Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. 2004, S. 63 ff
2. 1 2 Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications . 2013, S. 742 ff
3. ↑ Philippe Blanchard, Erwin Bruning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 154 ff
4. ↑ Die hier üblicherweise benutzte Skalarproduktschreibung dient dazu, Mehrfachklammerungen zu vermeiden. Es gilt hierbei für ${\displaystyle x\in X\;,\;f\in X^{'}}$ die Festsetzung, ${\displaystyle \langle f\;,\;x\rangle =f(x)\in \mathbb {R} }$ .
5. ↑ Hierbei ist ${\displaystyle x\mapsto \|x\|\in \mathbb {R} \;(x\in X)}$ die Normabbildung des Banachraums ${\displaystyle X}$.