Gruppentheorie der Lorentzgruppe

In 3+1 Raumzeit-Dimensionen ist die reelle Lorentzgruppe ${\displaystyle SO(1,3,\mathbb {R} )}$ isomorph zur komplexen speziellen linearen Gruppe in zwei Dimensionen, ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$. Dies führt dazu, dass jedem Gruppenelement der Lorentzgruppe ein Element der komplexen speziellen linearen Gruppe zugeordnet werden kann und jedem Vektor in der reellen vierdimensionalen Raumzeit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$, auf der die Lorentzgruppe operiert, eine Matrix im Raum der komplexen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$, auf der die spezielle lineare Gruppe operiert. Dieser Übergang erfolgt durch die vier Pauli-Matrizen ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$. Sei ${\displaystyle k_{\mu }}$ ein Vierervektor, dann gilt:

${\displaystyle k^{a{\dot {a}}}=\sigma _{\mu }^{a{\dot {a}}}k^{\mu }={\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}&k_{1}-\mathrm {i} k_{2}\\k_{1}+\mathrm {i} k_{2}&k_{0}-k_{3}\end{pmatrix}}}$

Die griechischen Indizes ${\displaystyle \mu }$ bezeichnen Lorentzindizes, die von 0 bis 3 laufen, während die lateinischen Indizes ${\displaystyle a,{\dot {a}}}$ Spinorindizes heißen und von 1 bis 2 laufen. Die Rücktransformation vom ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$ in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ funktioniert via

${\displaystyle k_{\mu }={\frac {1}{2}}{\bar {\sigma }}_{{\dot {a}}a}^{\mu }k^{a{\dot {a}}}}$

Die lorentzinvariante Größe ${\displaystyle k\cdot p}$ übersetzt sich via

${\displaystyle k^{\mu }p_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ba}\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}k^{a{\dot {a}}}p^{b{\dot {b}}}}$

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol ${\displaystyle \varepsilon }$. Insbesondere gilt

${\displaystyle k_{\mu }k^{\mu }=\det(k^{a{\dot {a}}})}$.

Die Gruppenoperation eines Elements der Lorentzgruppe ${\displaystyle k^{\nu }\to k'^{\nu }=\Lambda _{\mu }^{\nu }k^{\mu }}$ mit einer Lorentzmatrix ${\displaystyle \Lambda }$ übersetzt sich als

${\displaystyle k^{a{\dot {a}}}\to k'^{a{\dot {a}}}=\zeta _{b}^{a}k^{b{\dot {b}}}{\tilde {\zeta }}_{\dot {b}}^{\dot {a}}}$

mit ${\displaystyle \zeta ,{\tilde {\zeta }}=\zeta ^{\dagger }\in SL(2,\mathbb {C} )}$. Die Matrizen ${\displaystyle \zeta }$ sind dabei für Drehungen um eine Achse ${\displaystyle i}$ mit dem Winkel ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \zeta (R_{i}(\theta ))=\exp(-\mathrm {i} {\tfrac {\alpha }{2}}\sigma _{i})}$

und für Lorentz-Boosts entlang einer Achse ${\displaystyle i}$ mit der Rapidität ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \zeta (B_{i}(\theta ))=\exp(-\mathrm {\tfrac {\theta }{2}} \sigma _{i})}$

wobei ${\displaystyle \exp }$ das Matrixexponential bezeichnet.

Dies kann auf die komplexe Lorentzgruppe ${\displaystyle SO(1,3,\mathbb {C} )}$, die auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1,3}}$ operiert, verallgemeinert werden. Dann gilt der Isomorphismus ${\displaystyle SO(1,3,\mathbb {C} )\cong SL(2,\mathrm {C} )\times SL(2,\mathrm {C} )}$ und ${\displaystyle {\tilde {\zeta }}}$ muss nicht zwangsläufig gleich ${\displaystyle \zeta ^{\dagger }}$ sein und es muss nicht ${\displaystyle \kappa ={\tilde {\kappa }}^{\dagger }}$ gelten.

Notation

Aus ${\displaystyle k\cdot k=\det(k)}$ folgt, dass ein lichtartiger Vektor ${\displaystyle k^{\mu }}$ sich in eine Matrix ohne vollen Rang übersetzt. Da die Dimension von ${\displaystyle k}$ zwei ist, folgt ${\displaystyle \operatorname {rg} k=1}$, sofern ${\displaystyle k\neq 0}$ ist. Daher kann ${\displaystyle k}$ als dyadisches Produkt geschrieben werden:

${\displaystyle k^{a{\dot {a}}}=\kappa ^{a}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}}$

Sowohl ${\displaystyle \kappa }$ als auch ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}}$ sind zweidimensionale Objekte, genannt Spinoren. Der Spinor ${\displaystyle \kappa }$ heißt holomorpher Spinor, der Spinor ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}}$ antiholomorpher Spinor. Eine explizite Darstellung dieser Spinoren lautet:

${\displaystyle \kappa ^{a}={\frac {1}{\sqrt {k_{0}+k_{3}}}}{\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}\\k_{1}+\mathrm {i} k_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}={\frac {1}{\sqrt {k_{0}+k_{3}}}}{\begin{pmatrix}k_{0}+k_{3}&k_{1}-\mathrm {i} k_{2}\end{pmatrix}}}$

Insbesondere können die Spinoren um einen Faktor ${\displaystyle t}$ respektive ${\displaystyle t^{-1}}$ reskaliert werden, ohne dass dies die Matrix ${\displaystyle k^{a{\dot {a}}}}$ ändern würde. Es ist ersichtlich, dass die beiden Spinoren adjungiert sind, sofern der Vektor ${\displaystyle k^{\mu }}$ reell ist. Im Folgenden sei angenommen, dass alle auftretenden Vektoren lichtartig sind.

Ein Skalarprodukt von zwei Vierervektoren kann daher als

${\displaystyle k\cdot p=\kappa ^{a}\varepsilon _{ab}\pi ^{b}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}{\tilde {\pi }}^{\dot {b}}\equiv \langle \kappa \pi \rangle [\pi \kappa ]}$

geschrieben werden. Die Levi-Civita-Symbole übernehmen in diesem Sinn die Rolle der Metrik in der ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$. Es gilt

${\displaystyle \kappa _{b}=\varepsilon _{ab}\kappa ^{a}}$ und ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{\dot {b}}=\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {b}}}{\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}}$

Analog zur Bra-Ket-Notation lautet die Notation für die Spinoren:

${\displaystyle \kappa ^{a}=\kappa \rangle \quad \kappa _{a}=\langle \kappa \quad {\tilde {\kappa }}^{\dot {a}}=[\kappa \quad {\tilde {\kappa }}_{\dot {a}}=\kappa ]}$

Insbesondere ist aufgrund der Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols

${\displaystyle \langle \kappa \kappa \rangle =[\kappa \kappa ]=0}$.

Ein raum- oder zeitartiger Vektor kann stets mittels

${\displaystyle k=k^{\flat }+{\frac {k^{2}}{2k\cdot p}}p}$

in zwei lichtartige Vektoren dekomponiert werden. In diesem Beispiel heißt ${\displaystyle p}$ Hilfsvektor.

Fermionen

Mithilfe des Spinor-Helizitäts-Formalismus ist die Lösung der Dirac-Gleichung trivial. Die Dirac-Gleichung lautet:

${\displaystyle (-\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$

Dabei ist ${\displaystyle p_{\mu }}$ der Impuls des Teilchens und ${\displaystyle \gamma }$ die Dirac-Matrizen. Der Ansatz ${\displaystyle \psi =u\exp(-\mathrm {i} px)}$ bzw. ${\displaystyle \psi =v\exp(\mathrm {i} px)}$ führt zu

${\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }-m)u=0}$ und ${\displaystyle (\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)v=0}$

für Teilchen beziehungsweise Antiteilchen. In Weyl-Darstellung gilt

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}}}$

Auf der Massenschale ist ferner ${\displaystyle p^{2}=m^{2}}$ raumartig und muss daher dekomponiert werden, sodass die Dirac-Gleichung im Spinor-Helizitäts-Formalismus

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mp m&\pi \rangle [\pi +{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu \rangle [\mu \\\pi ]\langle \pi +{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu ]\langle \mu &\mp m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\rangle \\u]\end{pmatrix}}=0}$

mit einem Hilfs„vektor“ ${\displaystyle \mu \rangle [\mu }$ lautet. Es folgt

${\displaystyle \psi \rangle \!\!{\big \rangle }\equiv {\begin{pmatrix}\pi \rangle \\\mp {\frac {m}{[\pi \mu ]}}\mu ]\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle \psi ]\!{\big ]}\equiv {\begin{pmatrix}\pm {\frac {m}{\langle \pi \mu \rangle }}\mu \rangle \\\pi ]\end{pmatrix}}}$

als Lösungen des Eigenwertproblems. Die Dirac-Spinoren sind so normiert, sodass ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi =2m}$ gilt. Im massiven Fall sind die Spinoren insbesondere von der Wahl des Hilfsvektors abhängig; im masselosen Fall nicht.

Vektorbosonen

Die Maxwell-Gleichungen

${\displaystyle p_{\mu }\epsilon ^{\mu }=0}$

mit dem Polarisationsvektor ${\displaystyle \epsilon }$ besitzt die beiden Lösungen

${\displaystyle \epsilon _{-}={\sqrt {2}}{\frac {\pi \rangle [\mu }{[\pi \mu ]}}}$ und ${\displaystyle \epsilon _{+}=-{\sqrt {2}}{\frac {\mu \rangle [\pi }{\langle \pi \mu \rangle }}}$

wobei ${\displaystyle p^{2}=0}$ gilt. Die Normierung wurde so gewählt, dass die beiden Lösungen orthonormal sind. Das + und - der Lösungen steht für die Helizität des Polarisationsvektors.

Die Proca-Gleichung für massive Vektorbosonen hat die zusätzliche Lösung

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{m}}\left(\pi \rangle [\pi -{\frac {m^{2}}{\langle \pi \mu \rangle [\mu \pi ]}}\mu \rangle [\mu \right)}$

die der longitudinalen Polarisationsmode entspricht.