Die Ungleichung von Argand (oder argandsche Ungleichung oder auch d’Alemberts Lemma) ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie geht auf eine Publikation des Schweizer Mathematikers Jean-Robert Argand aus dem Jahre 1814 zurück, in der dieser unter Rückgriff auf eine im Jahre 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgelegte Grundidee eine untere Abschätzung für nicht-konstante komplexe Polynomfunktionen liefert. Mit deren Hilfe lässt sich ein einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien eine nicht-konstante komplexe Polynomfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ und eine beliebige komplexe Zahl ${\displaystyle z_{0}}$ und es gelte ${\displaystyle f(z_{0})\neq 0}$.

Dann existiert stets eine komplexe Zahl ${\displaystyle w}$ mit

${\displaystyle |f(w)|<|f(z_{0})|}$.

Anwendung

In Anwendung der argandschen Ungleichung gewinnt man einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra:

Zunächst erhält man nämlich unter Berücksichtigung der Tatsache, dass komplexe Polynomfunktionen immer stetig sind, die Aussage, dass es eine reelle Zahl ${\displaystyle r>0}$ gibt, so dass stets

${\displaystyle |f(z)|>|f(0)|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle z>r}$

gilt.

Nun ist mit ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ auch die reellwertige Funktion ${\displaystyle |f|\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{\geq 0},\;z\mapsto |f(z)|}$ stetig. Da zudem die abgeschlossene Kreisumgebung ${\displaystyle {\overline {B}}_{r}(0)}$ ein Kompaktum ist, zeigt sich vermöge des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum sofort, dass es ein globales Minimum für ${\displaystyle |f|}$ geben muss, also ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ mit

${\displaystyle |f(z_{0})|\leq |f(z)|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$.

Dieses ${\displaystyle z_{0}}$ kann dann nur eine ${\displaystyle f}$–Nullstelle sein, da sich andernfalls mit der argandschen Ungleichung unmittelbar ein Widerspruch ergäbe.

Literatur

• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57766-0, doi:10.1007/978-3-662-57767-7. 
• J. R. d’Alembert: Recherches sur le calcul intégral. In: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles Lettres. 1746, S. 182–224. 
• J. Argand: Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse. In: Annales de Mathématiques. Band 5, 1814, S. 197–209. 
• Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70545-4. 
• H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Redaktion: K. Lamotke (= Grundwissen Mathematik. Band 1). 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0. 
• Günter Köhler: Analysis. Mit Aufgaben von Jürgen Grahl (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 14). Heldermann Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-88538-114-1 (MR2219809). 
• Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1958. 

Weblinks

• Eintrag Argand, Jean Robert im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

1. ↑ R. Remmert: Fundamentalsatz der Algebra In: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 1992, S. 79–99, S. 88
2. ↑ Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band. 1958, S. 546 ff.
3. ↑ Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 1958, S. 87 ff., S. 91
4. ↑ Günter Köhler: Analysis. 2006, S. 167–168
5. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise . 2018, S. 171–173.
6. 1 2 H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. 1992, S. 91

Anmerkungen

1. ↑ ${\displaystyle |\cdot |}$ ist die komplexe Betragsfunktion.