Der Virialsatz (lateinisch vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen den zeitlichen arithmetischen Mittelwerten der kinetischen Energie ${\displaystyle {\overline {T}}}$ und der potentiellen Energie ${\displaystyle {\overline {U}}}$ eines abgeschlossenen physikalischen Systems. Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius aufgestellt in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.

Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}.}$

Hierbei bezeichnet

• ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}}$ die auf das ${\displaystyle i}$-te Teilchen wirkende Kraft
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ den Ortsvektor des ${\displaystyle i}$-ten Teilchens
• der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel.

Der Virialsatz wurde von Clausius ursprünglich als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie). Er ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, z. B. in Mehrkörperproblemen der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz, einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem u. a. das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden, sowie einen relativistischen Virialsatz.

Der Virialsatz gilt nur unter gewissen Voraussetzungen, etwa im Fall des Virialsatzes der Mechanik, dass mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Virialsatz der Mechanik

Sonderfälle der Mittelwertbildung

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten ${\displaystyle \tau \to \infty }$. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Anwendungsbeispiel: Massenbestimmung astronomischer Haufen

Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der Astrophysik und der Himmelsmechanik. Dort benutzt man das Newton’sche Gravitationspotential, das homogen vom Grad −1 ist. Dann gilt:

${\displaystyle 2T=-U}$

Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen, Galaxien oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten, Winkelabstände und scheinbare Helligkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen anhand der Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:

Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist durch

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}}$

gegeben. Aber weder die Einzelmassen ${\displaystyle m_{i}}$ noch die Geschwindigkeitsbeträge ${\displaystyle v_{i}}$ sind Beobachtungsgrößen. Um diese einzuführen, müssen die Beiträge der einzelnen Objekte durch die Gesamtmasse ${\displaystyle \textstyle M=\sum m_{i}}$ und geeignete Mittelwerte ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann man annehmen, dass die Einzelmassen ${\displaystyle m_{i}}$ proportional zu den Einzelleuchtkräften ${\displaystyle l_{i}}$ sind und ein leuchtkraftgewichtetes Mittel bilden (durch den Index ${\displaystyle L}$ angedeutet):

${\displaystyle T={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {m_{i}}{M}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\sum _{i}\left({\frac {l_{i}}{L}}\cdot v_{i}^{2}\right)={\frac {M}{2}}\langle v^{2}\rangle _{L}}$

Nimmt man an, dass das System sphärisch symmetrisch ist und sich im Gleichgewicht befindet (man sagt dann auch, es ist virialisiert), dann sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt und es gilt

${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{R}^{2}\rangle ,}$

wobei ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ bzw. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\langle v_{R}^{2}\rangle }}}$ die Streuungen (Abweichungen vom Mittelwert) der Geschwindigkeiten sind, das heißt die räumlichen bzw. Radialgeschwindigkeiten relativ zum Schwerpunkt des Haufens. Beispielsweise haben die Galaxien des Coma-Haufens eine Gaußverteilung der Geschwindigkeiten mit einer Streuung ${\displaystyle v}$ von 1000 km/s. Damit erhält man:

${\displaystyle T={\frac {3M}{2}}\langle v_{R}^{2}\rangle }$

Andererseits gilt für die potentielle Gesamtenergie unter der Bedingung sphärischer Symmetrie

${\displaystyle U=-{\frac {\alpha GM^{2}}{R}}}$

mit

• der Gravitationskonstanten ${\displaystyle G}$,
• dem Gesamtradius ${\displaystyle R}$ des Systems und
• einem Faktor ${\displaystyle \alpha }$, der von der Größenordnung 1 ist und von der radialen Verteilungsfunktion, also der Geometrie des Haufens, abhängt. Für eine (allerdings unrealistische) Gleichverteilung innerhalb des Radius ${\displaystyle R}$ ist beispielsweise ${\displaystyle \alpha =3/5}$. Im Allgemeinen ist der Faktor aus den beobachteten Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.

Durch Anwendung des Virialsatzes für die Gravitation erhalten wir die Gesamtmasse des Haufens zu:

${\displaystyle M={\frac {3R}{\alpha G}}\langle v_{R}^{2}\rangle }$

Die sich aus der Beobachtung ergebende Masse heißt Virialmasse. Da ${\displaystyle \alpha }$ von der Größenordnung 1 ist, sieht man außerdem, dass die mittlere Geschwindigkeit ${\displaystyle \langle v\rangle }$ etwa der Fluchtgeschwindigkeit entspricht (mit genauer Übereinstimmung für ${\displaystyle \alpha =2}$).

Obwohl diese Methode der Massenbestimmung mit Unsicherheiten behaftet ist, merkte mit ihr bei der Messung von stark abweichenden Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxienhaufen und der Deutung der Rotverschiebung Fritz Zwicky schon 1933 an, dass ein Großteil der Masse sehr dicht in Form Dunkler Materie vorliegen könne: Die Summe der Massen der sichtbaren Galaxien des Haufens lag eine Größenordnung niedriger. Denn zur Erklärung der Rotverschiebung sei eine 400-mal größere Massendichte erforderlich, als die aus den Massen der leuchtenden Materie abgeleitete Dichte. „Falls sich dies bewahrheiten sollte, würde sich also das überraschende Resultat ergeben, dass dunkle Materie in sehr viel größerer Dichte vorhanden ist als leuchtende Materie.“ Auch bei elliptischen Galaxien ergab sich, dass die Virialmasse um Faktoren 10 bis 100 größer als die leuchtende Masse ist. Im Gegensatz zu Spiralgalaxien, wo man die Masse aus der Rotationskurve bestimmen kann, ist die Virialmethode bei elliptischen Galaxien häufig die einzige Methode der Massenbestimmung.

Eine weitere astrophysikalische Anwendung ist die Abschätzung der Jeans-Masse und der Satz findet auch Anwendung in Untersuchungen zur Stabilität von Gaskugelmodellen für Sterne. Für ein durch Gravitation zusammengehaltenes ideales Gas als Sternmodell lässt sich mit dem Virialsatz zeigen, dass der Stern in der Endphase (wenn alle Fusionsprozesse zum Erliegen gekommen sind) nicht abkühlen kann. Erhöht sich der Betrag der gravitativen Bindungsenergie ${\displaystyle U}$ durch die Kontraktion des Sterns, geht die Hälfte des Zuwachses in die kinetische Energie der als ideales Gas aufgefassten Sternmaterie und erhöht somit die Temperatur, der Rest wird abgestrahlt. Wird der Druck im Innern zu hoch, bricht die Beschreibung als klassisches ideales Gas allerdings zusammen, da sich ein entartetes Fermigas bildet (Weißer Zwerg).

Tensor-Form

Im Rahmen der Kontinuumsmechanik wird der tensorielle Virialsatz aus der stoßfreien Boltzmann-Gleichung bewiesen und in der Astrophysik verwendet.

Wenn als Wechselwirkung wiederum die Gravitation angenommen wird, hat der Satz die Form

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I_{ij}=2T_{ij}+\Pi _{ij}+U_{ij}}$

mit

• dem Trägheitstensor ${\displaystyle I_{ij},}$
• dem Tensor ${\displaystyle T_{ij}}$ der kinetischen Energie,
• dem Spannungstensor ${\displaystyle \Pi _{ij}}$ und
• dem Tensor ${\displaystyle U_{ij}}$ der potentiellen Energie.

Im statischen Fall fällt die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung weg, und da der Spannungstensor spurfrei ist, ergibt die Spur der Gleichung wieder den skalaren Virialsatz.

Das Auftreten der zweiten Zeitableitung des Trägheitstensors kann aus folgender Umformulierung von ${\displaystyle G}$ im skalaren Fall motiviert werden:

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}{\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d{\vec {x}}_{k}}{dt}}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\vec {x}}_{k}\cdot {\vec {x}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}}$

mit dem skalaren Trägheitsmoment ${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{{\vec {x}}_{k}}^{2}.}$

Der Virialsatz der Quantenmechanik

Für die Quantenmechanik behält der Virialsatz seine Gültigkeit, wie von Fock gezeigt wurde.

Der Hamiltonoperator des Systems aus Punktteilchen sei

${\displaystyle H=V(\{X_{i}\})+\sum _{n}P_{n}^{2}/2m.}$

Man bilde den Kommutator von ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle X_{n}P_{n}}$, gebildet aus dem Ortsoperator ${\displaystyle X_{n}}$ und dem Impulsoperator ${\displaystyle P_{n}=-i\hbar d/dX_{n}}$ des ${\displaystyle n}$-ten Teilchens:

${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}}$

Bildet man durch Summierung über die Teilchen ${\displaystyle \textstyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$, so folgt

${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$

mit der kinetischen Energie ${\displaystyle \textstyle T=\sum _{n}P_{n}^{2}/2m}$.

Nach den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen ist die linke Seite gleich ${\displaystyle -dQ/dt}$. Der Erwartungswert ${\displaystyle \langle dQ/dt\rangle }$ verschwindet in einem stationären Zustand, sodass mit

${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\langle X_{n}dV/dX_{n}\rangle }$

die Quantenversion des Virialsatzes folgt, wobei die spitzen Klammern für quantenmechanische Erwartungswerte der jeweiligen Operatoren für einen stationären Zustand stehen.

Der Virialsatz der statistischen Mechanik

Wie der Gleichverteilungssatz gehört auch eine Version des Virialsatzes zu den allgemeinen Aussagen der klassischen statistischen Mechanik.

Als Mittelbildung mit Hilfe des kanonischen Ensembles erhält man (vgl. den Gleichverteilungssatz):

${\displaystyle \left\langle x_{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}$

${\displaystyle \left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =k_{\mathrm {B} }T}$

mit ${\displaystyle H=H_{\mathrm {kin} }+U(x)}$.

Die untere Gleichung liefert:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}$,

also einen Beitrag ${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T}$ pro Freiheitsgrad für die mittlere kinetische Energie (Gleichverteilungssatz).

Die untere und obere Gleichung zusammen liefern den Virialsatz der statistischen Mechanik:

${\displaystyle \left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle =\left\langle \sum _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,,}$

der auch in der Quantenstatistik gilt.

Es ist nach Clausius üblich, den Beitrag des Potentials aufzuteilen in

• das innere Virial, d. h. den Beitrag ${\displaystyle V_{\mathrm {int} }({\vec {x}}_{i})}$ des Potentials der inneren Kräfte (Wechselwirkung der Teilchen untereinander) und
• das äußere Virial, d. h. den Beitrag ${\displaystyle \textstyle W=\sum _{i}W({\vec {x}}_{i})}$ des Wandpotentials bzw. der Kräfte auf die Wand.

Das äußere Virial liefert:

${\displaystyle \sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial W}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle =p\int d{\vec {f}}\cdot {\vec {x}}=p\int dV(\operatorname {div} {\vec {x}})=3pV}$

mit

• dem Druck ${\displaystyle p}$ und
• dem Volumen ${\displaystyle V}$.

Dabei wurde über die Oberfläche (Wand) integriert und der Gaußsche Integralsatz angewandt.

Damit erhält man die Virialform der thermischen Zustandsgleichung:

${\displaystyle 3pV=2\left\langle H_{\mathrm {kin} }\right\rangle -\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle \,}$,

also für ${\displaystyle N}$ Teilchen mit dem Gleichverteilungssatz:

${\displaystyle pV=Nk_{\mathrm {B} }T-{\frac {1}{3}}\sum _{i}\left\langle {\vec {x}}_{i}{\frac {\partial V_{int}}{\partial {\vec {x}}_{i}}}\right\rangle }$

Das ist die ideale Gasgleichung mit dem Virial der inneren Kräfte als Zusatzterm. Das Virial kann nach Potenzen der Teilchendichte ${\displaystyle N/V}$ entwickelt werden (siehe: Virialentwicklung) für die Entwicklung von Zustandsgleichungen für reale Gase.

Die Ableitung der Gasgleichung war das Hauptziel der ursprünglichen Arbeit von Clausius, wobei er den Virialsatz der Mechanik als Grundlage benutzte.

Der Virialsatz der Relativitätstheorie

Es gibt auch einen relativistischen Virialsatz. Für Teilchen in Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern findet er sich im Lehrbuch der theoretischen Physik von Landau und Lifschitz, er lässt sich aber auch für andere Wechselwirkungen formulieren.

Da die Spur des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes verschwindet, kann man – unter Verwendung des vierdimensionalen Energieerhaltungssatzes für Systeme mit beschränkter Bewegung (Impulse, Koordinaten u. a. variieren zwischen endlichen Schranken, die elektromagnetischen Felder verschwinden im Unendlichen) – ähnlich wie beim klassischen Virialsatz durch Mittelung über die Zeit zeigen:

${\displaystyle E=\sum _{i}m_{i}c^{2}{\overline {\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}}$

mit

• der Gesamtenergie ${\displaystyle \textstyle E=\int {\overline {T_{0}^{0}}}\mathrm {d} V=\int {\overline {T_{\alpha }^{\alpha }}}\mathrm {d} V}$ des Systems
  • dem Energie-Impuls-Tensor ${\displaystyle T^{\alpha \,\beta }}$ des Gesamtsystems aus Teilchen und Feldern
  • dem vierdimensionalen Index ${\displaystyle \alpha =0,1,2,3}$
  • der Spur ${\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }}$, wobei die Einsteinsche Summationskonvention verwendet wird.

Für kleine Geschwindigkeiten ${\displaystyle v\ll c}$ ergibt sich die klassische Form des Virialsatzes für das Coulombpotential:

${\displaystyle E-\sum _{i}m_{i}c^{2}=-{\overline {E}}_{\mathrm {kin} }}$

wobei die Ruheenergien der Teilchen von der Gesamtenergie abgezogen werden.

Relativistische Versionen des Virialsatzes wurden schon von Chandrasekhar angewandt auf Weiße Zwerge. Er untersuchte auch Versionen in der allgemeinen Relativitätstheorie im Rahmen der Post-Newton-Näherung.

Literatur

• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Mechanik. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.

Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.

• James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.

Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.

• Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
• George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Online.
• R. Becker: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).
• Albrecht Unsöld: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)

Weblinks

• John Baez: The Virial Theorem Made Easy.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ R. Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.
2. 1 2 H. Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.
3. ↑ Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
4. 1 2 J. Honerkamp, H. Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-23262-6 (Kapitel 2.12: Der Virialsatz. in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ J. Wess: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-74869-4 (Kapitel 13: Homogene Potenziale. in der Google-Buchsuche). 
6. 1 2 3 H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487.
7. ↑ Sebastian von Hoerner: Zeitschrift für Astrophysik. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.
8. ↑ Roger Tayler: Galaxien. Aufbau und Entwicklung. Vieweg, 1986, S. 120.
9. ↑ A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos. Springer, 1988, S. 346.
10. ↑ F. Zwicky, Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Helvetica Physica Acta, Band 6, 1933, S. 125. Online
11. 1 2 S. Chandrasekhar: An introduction to the study of stellar structure. Chicago 1939, S. 51 ff.
12. ↑ Wolfgang Hillebrandt, Ewald Müller: Einführung in die Theoretische Astrophysik. Skript der TU München, 2008, Kapitel 2 (PDF).
13. ↑ H. Poincaré: Leçons sur les hypothèses cosmogoniques. Paris 1911.
14. ↑ A. Eddington: Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 76, 1916, 528.
15. ↑ S. Chandrasekhar: Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961, S. 596.
16. ↑ Henrik Beuther: Sternentstehung. Skript, 2009 (PDF; 2,8 MB).
17. ↑ E. Parker: Tensor Virial Equations. Physical Review 96, 1954, 1686–1689.
18. ↑ S. Chandrasekhar, E. Fermi: Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field. Astrophysical Journal, 118, 1953, 116.
19. ↑ S. Chandrasekhar: Ellipsoidal figures of equilibrium. Yale University Press, 2009.
20. ↑ George Schmidt: Physics of High Temperature Plasmas. Academic Press, 1979, S. 72.
21. ↑ W. A. Fock: Bemerkung zum Virialsatz. In: Zeitschrift für Physik. 63. Jahrgang, Nr. 11, 1930, S. 855–858, doi:10.1007/BF01339281. 
22. ↑ Landau, Lifschitz, Klassische Feldtheorie. Band 2, Akademie Verlag, 1977, S. 99 f., § 34.
23. ↑ J. Gaite: The relativistic virial theorem and scale invariance. Physics Uspekhi, Band 56, 2013, S. 919.
24. ↑ S. Chandrasekhar: The Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. Astrophysical Journal, Band 142, 1965, S. 1488–1512, bibcode:1965ApJ...142.1488C.
25. ↑ George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Kapitel 2.