Negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung (auch Pascal-Verteilung) ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist eine der drei Panjer-Verteilungen.

Negative Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variante B. In diesem Beispiel ist Parameter ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle r}$ abhängig, sodass ${\displaystyle E[X]=10}$ gilt (das erfordert ${\displaystyle p=r/(r+10)}$). Der Erwartungswert ist als orange Linie dargestellt; die Standardabweichung als grüne.
Verteilungsfunktion
Parameter	r > 0 – Anzahl Erfolge bis zum Abbruch p ∈ (0,1) – Einzel-Erfolgs-Wahrscheinlichkeit
Träger	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } – Anzahl Misserfolge
Wahrscheinlichkeitsfunktion	${\displaystyle {k+r-1 \choose k}\cdot p^{r}(1-p)^{k}}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle 1-I_{1-p}(k+1,\,r)}$ Eulersche Betafunktion
Erwartungswert	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$
Modus	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(1-p)(r-1)}{p}}\right\rfloor }$
Varianz	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$
Schiefe	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r(1-p)}}}}$
Wölbung	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r(1-p)}}}$
Momenterzeugende Funktion	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)e^{s}}}\right)^{r}\!\!\!,s<|\ln(1-p)|}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle \left({\frac {pe^{\mathrm {i} s}}{1-(1-p)e^{\mathrm {i} s}}}\right)^{r}}$

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Bernoulli-Prozess nach k Misserfolgen genau r Erfolge eingetreten sind.

Neben der Poisson-Verteilung ist die negative Binomialverteilung die wichtigste Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik. Dort wird sie insbesondere als Schadenzahlverteilung in der Krankenversicherung benutzt, seltener im Bereich Kraftfahrzeug-Haftpflicht oder Kasko.