Steifes Anfangswertproblem

Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ein Anfangswertproblem

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\ t\geq t_{0},\quad y(t_{0})=y_{0}}$

bei dem explizite Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren wegen ihres beschränkten Stabilitätsgebiets erhebliche Schwierigkeiten haben. Dies ist dann der Fall, wenn die Konstante ${\displaystyle L}$ in der Lipschitzbedingung (vgl. Satz von Picard-Lindelöf)

${\displaystyle \|f(t,y_{1})-f(t,y_{2})\|\leq L\|y_{1}-y_{2}\|}$

große Werte ${\displaystyle L\gg 1}$ annimmt, die Lösung ${\displaystyle y(t)}$ aber recht glatt verläuft. In diesem Fall könnten numerische Verfahren diese Lösung mit relativ großen Schrittweiten genau approximieren, explizite Verfahren werden aber wegen des beschränkten Stabilitätsgebiets gezwungen, kleine Schrittweiten zu verwenden. Typischerweise treten steife Anfangswertprobleme bei der numerischen Approximation von parabolischen partiellen Differentialgleichungen nach erfolgter Diskretisierung im Ortsbereich auf. Ein Beispiel ist das Crank-Nicolson-Verfahren, bei dem im Ort eine Finite-Differenzen-Methode und in Zeitrichtung die implizite Trapez-Methode eingesetzt wird.