Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der affine Raum.
2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve ${\displaystyle {}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}}$.
3. Ein Morphismus ${\displaystyle {}{\psi }\colon Y\rightarrow X}$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
4. Ein lokaler Ring.
5. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} }$.
6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
2. Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
3. Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.

Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)}$ kein Primideal. Bei ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist ${\displaystyle {}V=\emptyset }$, also ist ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${\displaystyle {}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}FG\in \operatorname {Id} \,(V)}$, aber ${\displaystyle {}F,G\notin \operatorname {Id} \,(V)}$. Dies bedeutet, dass es Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in V}$ mit ${\displaystyle {}F(P)\neq 0}$ und ${\displaystyle {}G(Q)\neq 0}$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)}$. Daher ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,}$

nach Lemma 3.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))  (3). Wegen ${\displaystyle {}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})}$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,}$

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von ${\displaystyle {}V}$ vorliegt und somit ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel ist.
Es sei nun ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel. Bei ${\displaystyle {}V=\emptyset }$ ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ kein Primideal. Es sei also ${\displaystyle {}V\neq \emptyset }$ mit der nicht-trivialen Zerlegung ${\displaystyle {}V=Y\cup Z}$. Es sei ${\displaystyle {}Y=V{\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)}}$ und ${\displaystyle {}Z=V{\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)}}$. Wegen ${\displaystyle {}Y\subset V}$ gibt es einen Punkt ${\displaystyle {}P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))}$, ${\displaystyle {}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})}$. Also gibt es auch ein ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {}F(P)\neq 0}$, und somit ${\displaystyle {}F\notin \operatorname {Id} \,(V)}$. Ebenso gibt es ${\displaystyle {}G\in {\mathfrak {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {}G\notin \operatorname {Id} \,(V)}$. Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle {}Q\in V=Y\cup Z}$ ist ${\displaystyle {}(FG)(Q)=0}$, da ${\displaystyle {}F}$ auf ${\displaystyle {}Y}$ und ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}Z}$ verschwindet. Also ist ${\displaystyle {}FG\in \operatorname {Id} \,(V)}$ und daher ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)}$ kein Primideal.

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve

${\displaystyle {}C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.}$

Zeige, dass durch

${\displaystyle [0,2\pi [\longrightarrow C,\,\theta \longmapsto \left(\sin \theta \cos \theta ,\,\sin \theta \right),}$

eine Parametrisierung von ${\displaystyle {}C}$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.

Für einen beliebigen Winkel ${\displaystyle {}\theta }$ ist

${\displaystyle {}\sin ^{4}\theta -\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta {\left(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1\right)}=0\,,}$

das Bild der Abbildung gehört also zur Kurve. Es sei

${\displaystyle {}(x,y)\in C\,}$

ein Punkt der Kurve. Es ist

${\displaystyle {}y^{4}+x^{2}=y^{2}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}y=0}$ ist auch ${\displaystyle {}x=0}$ und wir haben die beiden Urbilder ${\displaystyle {}\theta =0,\pi }$. Bei ${\displaystyle {}y\neq 0}$ dividieren wir durch ${\displaystyle {}y^{2}}$ und erhalten

${\displaystyle {}y^{2}+{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.}$

Es liegt die Kreisgleichung vor, daher gibt es ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle {}\theta }$ mit

${\displaystyle {}y=\sin \theta \,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {x}{y}}=\cos \theta \,.}$

Dann ist auch

${\displaystyle {}x=\sin \theta \cos \theta \,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),}$

die einem Nullstellentupel ${\displaystyle {}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)}$ das Koeffiziententupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ (ohne die ${\displaystyle {}1}$) des normierten Polynoms

${\displaystyle {}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,}$

zuordnet.

1. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für ${\displaystyle {}n=2}$.
2. Beschreibe ${\displaystyle {}\varphi }$ explizit für ${\displaystyle {}n=3}$.
3. Begründe, dass die ${\displaystyle {}\varphi }$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${\displaystyle {}\varphi }$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$ erreicht wird.
7. Es sei ${\displaystyle {}K}$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv ist.

1. Bei ${\displaystyle {}n=2}$ handelt es sich wegen

   ${\displaystyle {}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}=X^{2}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}X+\lambda _{1}\lambda _{2}\,}$

   um die Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2}\right)\longmapsto \left(\lambda _{1}\lambda _{2},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}\right).}$

2. Bei ${\displaystyle {}n=3}$ handelt es sich wegen

   ${\displaystyle {}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}=X^{3}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}X^{2}+{\left(\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\right)}X-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\,}$

   um die Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\right)\longmapsto \left(-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3},\,\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}\right).}$

3. Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und ${\displaystyle {}k}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}n-1}$ fixiert. Dann ist der Koeffizient ${\displaystyle {}c_{k}}$ des Polynoms ${\displaystyle {}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}}$ aufgrund des Distributivgesetzes gleich

   ${\displaystyle \pm \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n-k}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{n-k}},}$

   wobei das Vorzeichen von der Parität von ${\displaystyle {}n-k}$ abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.

4. Ein Tupel ${\displaystyle {}\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)}$ gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$, wenn

   ${\displaystyle {}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}=P\,}$

   ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die ${\displaystyle {}\lambda _{i}}$ Nullstellen von ${\displaystyle {}P}$ sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.

5. Die Faser zu einem Koeffiziententupel ${\displaystyle {}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)}$ ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}}$ nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
6. Die maximale Anzahl in einer Faser ist ${\displaystyle {}n!}$. Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal ${\displaystyle {}n}$ Nullstellen gibt, kann man höchstens ${\displaystyle {}n!}$ geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau ${\displaystyle {}n!}$ geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel ${\displaystyle {}\left(1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right)}$ auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
7. Wenn ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei ${\displaystyle {}n=1}$ folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}d}$ maximal ${\displaystyle {}d}$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein Polynom, das an allen Punkten von ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}}$ verschwindet. Wir schreiben ${\displaystyle {}F}$ als

${\displaystyle {}F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,}$

mit Polynomen ${\displaystyle {}P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]}$. Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}F=0}$ ist, was zu ${\displaystyle {}P_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i=0,\ldots ,d}$ äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass ${\displaystyle {}P_{d}}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})}$ mit ${\displaystyle {}P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0}$. Damit ist ${\displaystyle {}F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})}$ ein Polynom in der einen Variablen ${\displaystyle {}X_{n}}$ vom Grad ${\displaystyle {}d}$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal von ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass

${\displaystyle R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }}$

surjektiv ist.

Bei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=R}$ ist der Restklassenring der Nullring und die Aussage ist klar, sei also ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$. Es sei ${\displaystyle {}r\in R}$ ein Repräsentant einer Einheit aus ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$, und sei ${\displaystyle {}s\in R}$ derart, dass

${\displaystyle {}rs=1\,}$

in ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ ist. Dies bedeutet

${\displaystyle {}rs-1\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,}$

in ${\displaystyle {}R}$. Wenn ${\displaystyle {}r}$ keine Einheit wäre, so wäre ${\displaystyle {}rs\in {\mathfrak {m}}}$ und dann ergäbe sich der Widerspruch

${\displaystyle {}1=(1-rs)+rs\in {\mathfrak {m}}\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}r}$ selbst eine Einheit.

a) Finde einen Punkt ${\displaystyle {}(x,y)}$ mit rationalen Koordinaten auf dem Kreis, der durch die Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=2\,}$

gegeben ist.

b) Finde eine rationale Parametrisierung des Kreises aus Teil (a).

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.

Ein ${\displaystyle {}R}$- Modulhomomorphismus ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow B}$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente ${\displaystyle {}X^{m}}$, ${\displaystyle {}m\in M}$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}=\varphi (m)}$ ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{0}\right)}=\varphi (0)=1}$. Ferner ist

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}X^{k}\right)}={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m+k}\right)}={\varphi (m+k)}=\varphi (m)\cdot \varphi (k)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}\cdot {\tilde {\varphi }}{\left(X^{k}\right)}\,.}$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente ${\displaystyle {}f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}}$ und ${\displaystyle {}g=\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}}$ die Identitäten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}X^{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}\varphi (\ell )\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}\varphi (m)\varphi (k)\\&={\left(\sum _{m\in M}a_{m}\varphi (m)\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}\varphi (k)\right)}\\&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)},\end{aligned}}}$

sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und sei ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$ ein Untermonoid. Zeige, dass ${\displaystyle {}m\in M}$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${\displaystyle {}m}$ aufgefasst in ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$ eine Einheit ist.

Sei ${\displaystyle {}m=(r,s)\in M}$. Wenn ${\displaystyle {}m}$ in ${\displaystyle {}M}$ eine Einheit ist, so gilt dies erst recht in ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$, da ja das zu ${\displaystyle {}m}$ inverse Element auch zu ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$ gehört. Es sei nun ${\displaystyle {}m}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$. Dann muss zunächst ${\displaystyle {}r=0}$ sein. Das Inverse zu ${\displaystyle {}m=(0,s)}$ mit ${\displaystyle {}0\leq s<n}$ ist in ${\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)}$ durch ${\displaystyle {}(0,n-s)=(0,-s)}$ gegeben. Wegen

${\displaystyle {}(n-1)(0,s)=(0,(n-1)s)=(0,-s)\,}$

gehört dies auch zu ${\displaystyle {}M}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten

${\displaystyle D\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,F\longmapsto F'.}$

Die Produktregel besagt

${\displaystyle {}(F\cdot G)'=F\cdot G'+F'\cdot G\,.}$

Nach Definition ist die Ableitung ${\displaystyle {}F\mapsto F'}$ eine ${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes ${\displaystyle {}G}$ die Abbildungen

${\displaystyle F\longmapsto F\cdot G\longmapsto (F\cdot G)',}$

${\displaystyle F\longmapsto F\cdot G'}$

und

${\displaystyle F\longmapsto F'\cdot G}$

${\displaystyle {}K}$-linear. Da jedes ${\displaystyle {}F}$ eine eindeutige Darstellung als ${\displaystyle {}K}$-Linearkombination mit den Potenzen

${\displaystyle {}X^{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, besitzt, genügt es, die Aussage für ${\displaystyle {}F=X^{n}}$ zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich ${\displaystyle {}G=X^{m}}$ betrachten muss. Dann gilt einerseits

${\displaystyle {}(X^{n}\cdot X^{m})'=(X^{n+m})'=(n+m)X^{n+m-1}\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{n}\cdot (X^{m})'+(X^{n})'\cdot X^{m}&=mX^{n}X^{m-1}+nX^{n-1}X^{m}\\&=mX^{n+m-1}+nX^{n+m-1}\\&=(n+m)X^{n+m-1},\end{aligned}}}$

sodass Gleichheit gilt.

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${\displaystyle {}V_{+}{\left(XY^{3}+YZ^{3}+ZX^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,}$

glatt ist.

Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf ${\displaystyle {}D_{+}(Z)}$ zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort

${\displaystyle {}XY^{3}+Y+X^{3}=0\,.}$

Die partiellen Ableitungen sind

${\displaystyle {\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial X}}=Y^{3}+3X^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial Y}}=1+3XY^{2}.}$

Wir ziehen das ${\displaystyle {}X}$-fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung

${\displaystyle {}Y=2X^{3}\,.}$

Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=XY^{3}+Y+X^{3}\\&=8X^{10}+2X^{3}+X^{3}\\&=X^{3}{\left(8X^{7}+3\right)}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}1+3XY^{2}=1+12X^{7}\,.}$

Wegen letzterer Gleichung ist ${\displaystyle {}X=0}$ ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt

${\displaystyle {}-{\frac {3}{8}}=X^{7}=-{\frac {1}{12}}\,}$

gelten, was nicht sein kann.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${\displaystyle {}C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$

der durch die Projektion weg vom Punkt

${\displaystyle {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z),}$

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes ${\displaystyle {}(3,5)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}}$.

Die Urbildgerade zum Punkt ${\displaystyle {}(3,5)}$ wird durch die homogene Gleichung ${\displaystyle {}5Y-3Z}$ beschrieben. Es geht also um den Durchschnitt

${\displaystyle V_{+}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})\cap V_{+}(5Y-3Z).}$

Dies führt auf die homogene Bedingung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\\&=X^{2}+Y^{2}+{\left({\frac {5}{3}}\right)}^{2}Y^{2}\\&=X^{2}+{\left({\frac {34}{9}}\right)}^{2}Y^{2}.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}X=\pm {\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} }Y\,,}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ eine Quadratwurzel von ${\displaystyle {}-1}$ sei, und die beiden Lösungen sind

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left(-{\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right).}$

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).}$

Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle {}\lambda \neq 0}$ eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung

${\displaystyle {}(s,t)=\lambda (t,s)\,,}$

also ${\displaystyle {}s=\lambda t}$ und ${\displaystyle {}t=\lambda s}$. Dies führt auf ${\displaystyle {}t=\lambda ^{2}t}$. Da nicht beide Koordinaten ${\displaystyle {}0}$ sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich ${\displaystyle {}0}$ sein, und somit ist ${\displaystyle {}\lambda =\pm 1}$. Da wir ${\displaystyle {}t}$ zu ${\displaystyle {}1}$ normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte

${\displaystyle (1,1)\,\,{\text{ und }}\,\,(1,-1).}$