Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/17/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${\displaystyle {}M}$.
2. Ein irreduzibles Element ${\displaystyle {}p}$ in einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
3. Ein faktorieller Bereich ${\displaystyle {}R}$.
4. Eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$.
5. Das Minimalpolynom eines Elementes ${\displaystyle {}x\in L}$ in einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
6. Ein lokaler Ring.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz.

Ist die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),}$

injektiv oder nicht?

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen

${\displaystyle 3^{4}\cdot 5^{2},\,2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1},\,2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}.}$

Die Ergebnisse sollen ausgerechnet vorliegen.

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite ${\displaystyle {}255}$ und ${\displaystyle {}561}$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite ${\displaystyle {}357}$ und ${\displaystyle {}595}$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

c) Berechne das Bild von ${\displaystyle {}77}$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${\displaystyle {}77}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${\displaystyle {}77}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(180)}$.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung

${\displaystyle {}n=2^{r}\cdot 5^{s}\cdot d\,,}$

wobei ${\displaystyle {}d}$ zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd sei (${\displaystyle {}r,s=0}$ und ${\displaystyle {}d=1}$ sind erlaubt). Zeige, dass die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}}$ gleich der multiplikativen Ordnung von ${\displaystyle {}10}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(d)}$ ist.

a) Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}K}$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Es sei

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [2{\mathrm {i} }]={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Z} ,\,b{\text{ gerade}}\right\}}\,.}$

Zeige, dass von ${\displaystyle {}2}$ und ${\displaystyle {}2{\mathrm {i} }}$ erzeugte Ideal ${\displaystyle {}I}$ kein Hauptideal ist.

Zeige, unter Verwendung der Divergenz von ${\displaystyle {}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}}$, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

${\displaystyle \sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}},}$

divergiert.

a) Zeige, dass die Endziffer einer Sophie-Germain-Primzahl ${\displaystyle {}p}$ im Zehnersystem nicht ${\displaystyle {}7}$ sein kann.

b) Zeige, dass die Zahlen ${\displaystyle {}1,3,5,9}$ als Endziffer einer Sophie-Germain-Primzahl auftreten können.

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ^{\times },\cdot ,1)}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass die Diskriminante von ${\displaystyle {}A_{D}}$ gleich

${\displaystyle \triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4}$

bzw.

${\displaystyle \triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-17}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-17}$. Bestimme die Klassengruppe von ${\displaystyle {}R}$.