Kurs:Funktionentheorie/10/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gebiet ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$.
2. Die Sinusreihe.
3. Ein diskreter Bewertungsring.
4. Eine isolierte Singularität.
5. Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in U}$.
6. Die Windungszahl um ${\displaystyle {}a}$ zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg

   ${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}.}$

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
2. Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
3. Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen ${\displaystyle {}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$, die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

${\displaystyle \alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}}$

mit ${\displaystyle {}\vert {\alpha }\vert =1}$ und ${\displaystyle {}\vert {\beta }\vert \neq 1}$ gebracht werden können.

Die Bedingung besagt

${\displaystyle {}\vert {\frac {az+b}{cz+d}}\vert =1\,}$

für alle ${\displaystyle {}z}$ mit ${\displaystyle {}z=1}$. Dies bedeutet insbesondere

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {az+b}\vert ^{2}&={\left(az+b\right)}{\overline {az+b}}\\&=a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+a{\overline {b}}z+{\overline {a}}b{\overline {z}}\\&=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}+c{\overline {d}}z+{\overline {c}}d{\overline {z}}\\&=\vert {cz+d}\vert ^{2}.\end{aligned}}}$

Daraus folgt

${\displaystyle {}a{\overline {a}}+b{\overline {b}}=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}\vert {a}\vert ^{2}+\vert {b}\vert ^{2}=\vert {c}\vert ^{2}+\vert {d}\vert ^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}a{\overline {b}}=c{\overline {d}}\,}$

(da die Funktionen ${\displaystyle {}1,z,{\overline {z}}}$ auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist ${\displaystyle {}a\neq 0}$, denn sonst wäre auch ${\displaystyle {}c=0}$ und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit ${\displaystyle {}a^{-1}}$, das ändert nach Fakt ***** die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit ${\displaystyle {}r=\vert {b}\vert ^{2}}$, ${\displaystyle {}s=\vert {c}\vert ^{2}}$, ${\displaystyle {}t=\vert {d}\vert ^{2}}$ haben wir die Bedingungen

${\displaystyle {}1+r=s+t\,}$

und

${\displaystyle {}r=st\,,}$

also

${\displaystyle {}1+st=s+t\,}$

bzw.

${\displaystyle {}(1-s)(1-t)=0\,.}$

Daraus folgt ${\displaystyle {}s=1}$ (und ${\displaystyle {}t=r}$) oder ${\displaystyle {}t=1}$ (und ${\displaystyle {}s=r}$). Betrachten wir den Fall ${\displaystyle {}s=1}$, dann ist der Betrag von ${\displaystyle {}c}$ gleich ${\displaystyle {}1}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}c}$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

${\displaystyle c\cdot {\frac {z+b}{z+d}}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu ${\displaystyle {}b=d}$, und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall ${\displaystyle {}t=1}$, dann ist der Betrag von ${\displaystyle {}d}$ gleich ${\displaystyle {}1}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}d}$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

${\displaystyle d\cdot {\frac {z+b}{cz+1}}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu

${\displaystyle {}b={\overline {c}}\,,}$

die Abbildung hat also die Form

${\displaystyle \alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}}$

mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}\alpha }$ vom Betrag ${\displaystyle {}1}$. Bei

${\displaystyle {}\vert {\beta }\vert =1\,}$

kann man das ${\displaystyle {}\beta }$ vorziehen und erhält dann wieder eine konstante Funktion.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {C} }}$ offen und seien ${\displaystyle {}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }}$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung ${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}}$ die Produktregel

${\displaystyle {}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,}$

erfüllt.

Wir verwenden die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

${\displaystyle {}{\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,}$

die in dieser Form auf Aufgabe 4.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) beruht. Somit folgt die Aussage mit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial {\left(fg\right)}}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}.\end{aligned}}}$

Zu Reihen ${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ und ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

a) Zeige, dass jedes Produkt ${\displaystyle {}a_{i}b_{j}}$ genau zu einem ${\displaystyle {}d_{k}}$ beiträgt.

b) Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

1. Das Produkt ${\displaystyle {}a_{i}b_{j}}$ geht einzig in den Summanden ${\displaystyle {}d_{k}}$ mit ${\displaystyle {}k=\operatorname {max} \left(i,\,j\right)}$ ein, bei ${\displaystyle {}i=j}$ sichert die zweite Summationsgrenze, dass dieses Produkt nicht doppelt gezählt wird.
2. Für die Partialsummen

   ${\displaystyle x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}d_{k}}$

   gilt direkt

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{n}y_{n}&={\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}\\&=\sum _{0\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\left(\sum _{0\leq i,j\leq n,\operatorname {max} \left(i,\,j\right)=k}a_{i}b_{j}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\left(\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}d_{k}\\&=z_{n}.\end{aligned}}}$

   Das heißt, dass ${\displaystyle {}z_{n}}$ das Produkt der jeweiligen Partialsummenfolgen ist und daher nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (2) gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert.

Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ eine auf ${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$ konvergente Potenzreihe und sei ${\displaystyle {}b\in U{\left(0,R\right)}}$ ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}b}$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

Es sei ${\displaystyle {}f}$ die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf ${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}N={\left\{w\in U{\left(0,R\right)}\mid {\text{ die umentwickelte Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.}$

Nach Voraussetzung gehört ${\displaystyle {}b}$ zu ${\displaystyle {}N}$, die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist also nicht leer. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist offen: Wenn ${\displaystyle {}w\in N}$ ist, und also die umentwickelte Reihe ${\displaystyle {}\sum a_{n}(z-w)^{n}}$ auf ${\displaystyle {}U{\left(w,r\right)}}$ die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte ${\displaystyle {}w'\in U{\left(w,r\right)}}$. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${\displaystyle {}w_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle {}N}$, die gegen ${\displaystyle {}w\in U{\left(0,R\right)}}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}w_{n}}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${\displaystyle {}f(w_{n})=0}$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}w}$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Lemma 8.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu ${\displaystyle {}N}$ gehört. ${\displaystyle {}N}$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz ${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$.

1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

   ${\displaystyle {}f(x)=x^{2}\,}$

   im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$.

2. Es sei

   ${\displaystyle {}g(y)={\sqrt {y}}\,}$

   und es sei

   ${\displaystyle {}b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,}$

   die Taylorreihe zu ${\displaystyle {}g}$ im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$. Bestimme die Koeffizienten ${\displaystyle {}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ aus der Gleichung

   ${\displaystyle {}g(f(x))=x\,.}$

1. Es ist

   ${\displaystyle {}x^{2}=(1+x-1)^{2}=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,,}$

   daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$.

2. Mit

   ${\displaystyle {}y=1+2(x-1)+(x-1)^{2}\,}$

   ist

   ${\displaystyle {}y-1=2(x-1)+(x-1)^{2}=2z+z^{2}\,,}$

   wobei wir zur Vereinfachung ${\displaystyle {}z=x-1}$ gesetzt haben. Die Bedingung

   ${\displaystyle {}g(f(x))=x\,}$

   lautet somit ausgeschrieben

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(2z+z^{2})^{k}&=b_{0}+b_{1}(2z+z^{2})+b_{2}(2z+z^{2})^{2}+b_{3}(2z+z^{2})^{3}+b_{4}(2z+z^{2})^{4}+\ldots \\&=x\\&=1+z.\end{aligned}}}$

   Daraus können die ${\displaystyle {}b_{k}}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

   ${\displaystyle {}b_{0}=1\,.}$

   Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z}$)

   ${\displaystyle {}2b_{1}=1\,}$

   ergibt sich

   ${\displaystyle {}b_{2}={\frac {1}{2}}\,.}$

   Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{2}}$)

   ${\displaystyle {}b_{1}+4b_{2}=0\,}$

   ergibt sich

   ${\displaystyle {}b_{2}=-{\frac {1}{8}}\,.}$

   Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{3}}$)

   ${\displaystyle {}4b_{2}+8b_{3}=0\,}$

   ergibt sich

   ${\displaystyle {}b_{3}={\frac {1}{16}}\,.}$

   Aus (Koeffizient vor ${\displaystyle {}z^{4}}$)

   ${\displaystyle {}b_{2}+6b_{3}+16b_{4}=0\,}$

   ergibt sich

   ${\displaystyle {}b_{4}=-{\frac {1}{64}}\,.}$

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

${\displaystyle \gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),}$

(mit ${\displaystyle c\geq 1}$) und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),}$

und die Differentialform

${\displaystyle {}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,}$

auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ zum Weg ${\displaystyle {}\gamma }$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}c}$.

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}((x-y)dx-z^{2}dy+dz)&=(u^{3}-u^{2}-v^{2})d(u^{3})-u^{-2}v^{-2}d(u^{2}+v^{2})+d(u^{-1}v^{-1})\\&=3(u^{5}-u^{4}-u^{2}v^{2})du-2u^{-1}v^{-2}du-2u^{-2}v^{-1}dv-u^{-2}v^{-1}du-u^{-1}v^{-2}dv\\&=(3u^{5}-3u^{4}-3u^{2}v^{2}-2u^{-1}v^{-2}-u^{-2}v^{-1})du+(-2u^{-2}v^{-1}-u^{-1}v^{-2})dv.\,\end{aligned}}}$

b) Das Wegintegral ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{2}t^{6}-2t^{-1}t^{-6}-t^{-2}t^{-3})dt+(-2t^{-2}t^{-3}-t^{-1}t^{-6})dt^{3}&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5})dt+(-2t^{-5}-t^{-7})3t^{2}dt\\&=\int _{1}^{c}(3t^{5}-3t^{4}-3t^{8}-2t^{-7}-t^{-5}-6t^{-3}-3t^{-5})dt\\&=\int _{1}^{c}(-3t^{8}+3t^{5}-3t^{4}-6t^{-3}-4t^{-5}-2t^{-7})dt\\&=(-{\frac {1}{3}}t^{9}+{\frac {1}{2}}t^{6}-{\frac {3}{5}}t^{5}+3t^{-2}+t^{-4}+{\frac {1}{3}}t^{-6})|_{1}^{c}\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{5}}+3+1+{\frac {1}{3}})\\&=-{\frac {1}{3}}c^{9}+{\frac {1}{2}}c^{6}-{\frac {3}{5}}c^{5}+3c^{-2}+c^{-4}+{\frac {1}{3}}c^{-6}-{\frac {39}{10}}.\,\end{aligned}}}$

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.

Zur Notationsvereinfachung sei ${\displaystyle {}a=0}$. Nach der Integralformel gilt für jedes ${\displaystyle {}z\in U}$

${\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,}$

mit einem einfachen Umlaufweg

${\displaystyle \delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},}$

um ${\displaystyle {}z}$ in ${\displaystyle {}U}$. Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gilt auch

${\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,}$

mit einem Umlaufweg um ${\displaystyle {}0}$ in ${\displaystyle {}U}$, wobei ${\displaystyle {}B\left(0,r\right)\subseteq U}$ gelten und ${\displaystyle {}z}$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

${\displaystyle {}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.}$

Hierbei ist ${\displaystyle {}f(w)}$ auf dem Kreis (bzw. ${\displaystyle {}f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes ${\displaystyle {}z}$ absolut und (als Funktion in ${\displaystyle {}w}$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}}$

Da dies für jedes ${\displaystyle {}z}$ im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von ${\displaystyle {}z}$ sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq {\mathbb {C} }}$, die nicht abgeschlossen ist.

Es sei

${\displaystyle {}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\,}$

die Menge der Stammbrüche. Diese Menge ist nicht abgeschlossen, da der Grenzwert der Folge der Stammbrüche, nämlich ${\displaystyle {}0}$, nicht zu ${\displaystyle {}T}$ gehört. Die Menge ist diskret, da man zu jedem Stammbruch ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ finden kann derart, dass in der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung kein weiterer Stammbruch liegt.

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }z^{-n}}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

Es handelt sich um die Reihe, die entsteht, wenn man in die geometrische Reihe ${\displaystyle {}z^{-1}}$ einsetzt. Nach Korollar 16.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist die Laurent-Reihe für

${\displaystyle {}\vert {z}\vert >1\,}$

konvergent und stellt dort die Funktion

${\displaystyle {}{\frac {1}{1-z^{-1}}}={\frac {z}{z-1}}\,}$

dar.

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.

Es sei

${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X}$

die Kontraktion des topologischen Raumes ${\displaystyle {}X}$ auf den Punkt ${\displaystyle {}P\in X}$ und es sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow X}$

ein stetiger geschlossener Weg in ${\displaystyle {}X}$ mit Aufpunkt ${\displaystyle {}P}$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung ${\displaystyle {}\Psi }$

${\displaystyle [0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X}$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${\displaystyle {}\gamma }$ und dem konstanten Weg ${\displaystyle {}P}$ ergibt. Dies folgt aus

${\displaystyle {}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,}$

für alle ${\displaystyle {}s}$,

${\displaystyle {}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,}$

für alle ${\displaystyle {}s}$,

${\displaystyle {}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,}$

für alle ${\displaystyle {}t}$ und

${\displaystyle {}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,}$

für alle ${\displaystyle {}t}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}\gamma }$ nullhomotop ist.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ eine offene Menge mit ${\displaystyle {}0\notin U}$ und sei ${\displaystyle {}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${\displaystyle {}\exp \left(L(z)\right)=az\,}$

(mit einer Konstanten ${\displaystyle {}a\neq 0}$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${\displaystyle {}U}$. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}L'(z)={\frac {1}{z}}\,}$

gilt.

Wenn

${\displaystyle {}\exp \left(L(z)\right)=az\,}$

gilt, so ist

${\displaystyle {}\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}az\cdot L'(z)=a\,}$

und damit

${\displaystyle {}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.}$