Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle G\times V\longrightarrow V}$

eine lineare Operation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.

1. Die Operation auf dem ${\displaystyle {}k}$-ten Produkt von ${\displaystyle {}V}$ mit sich selbst, also

   ${\displaystyle G\times V^{k}\longrightarrow V^{k},\,(\sigma ,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto (\sigma (v_{1}),\ldots ,\sigma (v_{k})).}$

2. Die Operation auf dem ${\displaystyle {}k}$-ten Dachprodukt ${\displaystyle {}\bigwedge ^{k}V}$, also

   ${\displaystyle G\times \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,}$

   die durch ${\displaystyle {}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto \sigma (v_{1})\wedge \ldots \wedge \sigma (v_{k})}$ festgelegt ist.

3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum ${\displaystyle {}{V}^{*}}$, also die Abbildung

   ${\displaystyle {V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma .}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und

${\displaystyle G\times V\longrightarrow V}$

eine lineare Operation einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die induzierte Operation auf dem Polynomring ${\displaystyle {}K[V]}$ homogen, d.h. dass für jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ und ${\displaystyle {}f\in R_{d}}$ auch ${\displaystyle {}f\sigma \in R_{d}}$ gilt.

Bestimme in Beispiel 3.15 und Beispiel 3.18 die induzierte Wirkung der Gruppe auf der ${\displaystyle {}d}$-ten Stufe des Polynomringes ${\displaystyle {}K[V]}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${\displaystyle {}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.}$

2. Wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist, so ist auch ${\displaystyle {}R^{G}}$ ein Körper.

Inwiefern ist die Galoistheorie ein Spezialfall der (algebraischen) Invariantentheorie?

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ sowohl ${\displaystyle {}\sum _{\sigma \in G}f\sigma }$ als auch ${\displaystyle {}\prod _{\sigma \in G}f\sigma }$ zum Fixring ${\displaystyle {}R^{G}}$ gehören.

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, die durch die Dritteldrehung gegeben ist, also durch die drei Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\sigma ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,\sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},}$

und die zugehörige Operation der Gruppe auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [X,Y]}$.

a) Bestimme das Bild von ${\displaystyle {}X}$ unter den beiden zugehörigen nichttrivialen Ringautomorphismen, also ${\displaystyle {}X\sigma }$ und ${\displaystyle {}X\sigma ^{2}}$.

b) Berechne ${\displaystyle {}X+X\sigma +X\sigma ^{2}}$.

c) Zeige, dass es keine invariante Linearform ${\displaystyle {}\neq 0}$ gibt.

d) Berechne ${\displaystyle {}X\cdot X\sigma \cdot X\sigma ^{2}}$. Bestätige, dass dieses Polynom invariant ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein unendlicher Körper und ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Die Einheitengruppe ${\displaystyle {}K^{\times }}$ operiere durch skalare Multiplikation auf ${\displaystyle {}R}$, d.h. zu ${\displaystyle {}\lambda \in K^{\times }}$ gehört der durch ${\displaystyle {}X_{i}\mapsto \lambda X_{i}}$ definierte ${\displaystyle {}K}$- Algebraautomorphismus. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation ${\displaystyle {}K}$ ist.

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Bestimme (zu ${\displaystyle {}n=2,3,4}$) für jede Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq S_{n}}$ den Fixring ${\displaystyle {}R^{H}}$.

Es sei ${\displaystyle {}S}$ ein kommutativer Ring mit ${\displaystyle {}2\neq 0}$ und ${\displaystyle {}a\in S}$. Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}}$ auf der quadratischen Erweiterung

${\displaystyle {}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,}$

als Gruppe von ${\displaystyle {}S}$- Algebrahomomorphismen operiert, indem ${\displaystyle {}-1}$ durch ${\displaystyle {}X\mapsto -X}$ wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ${\displaystyle {}R^{G}=R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass auf ${\displaystyle {}K[X,Y]/(XY)}$ eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}G=(R,+)}$ die additive Gruppe zu ${\displaystyle {}R}$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \varphi _{r},}$

wobei ${\displaystyle {}\varphi _{r}}$ den durch ${\displaystyle {}X\mapsto X+r}$ gegebenen ${\displaystyle {}R}$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}G}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ definiert ist.

b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}G=(R^{\times },\cdot )}$ die multiplikative Gruppe zu ${\displaystyle {}R}$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \psi _{r},}$

wobei ${\displaystyle {}\psi _{r}}$ den durch ${\displaystyle {}X\mapsto rX}$ gegebenen ${\displaystyle {}R}$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}G}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${\displaystyle {}R}$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein unendlicher Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Zeige, dass ${\displaystyle {}f\in K[V]}$ genau dann zu ${\displaystyle {}K[V]^{G}}$ gehört, wenn ${\displaystyle {}f\colon V\rightarrow K}$ ${\displaystyle {}G}$- invariant ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Es sei ${\displaystyle {}F}$ eine komplexe, auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ konvergente Potenzreihe der Form

${\displaystyle {}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.}$

Zeige, dass für jede ${\displaystyle {}n}$-te komplexe Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ die Gleichheit ${\displaystyle {}F(\zeta z)=F(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}F=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i}}$ eine komplexe auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ konvergente Potenzreihe und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Für jede ${\displaystyle {}n}$-te komplexe Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ gelte ${\displaystyle {}F(\zeta z)=F(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}c_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ gilt, die kein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ sind.

Es sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   mit ${\displaystyle {}f(z)=g(\vert {z}\vert )}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

2. Für alle ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln ${\displaystyle {}\zeta \in {\mathbb {C} }}$ (alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$) ist ${\displaystyle {}f(\zeta z)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.
3. Für alle ${\displaystyle {}w\in {\mathbb {C} }}$ mit ${\displaystyle {}\vert {w}\vert =1}$ ist ${\displaystyle {}f(wz)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Wir betrachten die Operation der ${\displaystyle {}r}$-ten komplexen Einheitswurzeln ${\displaystyle {}G=\mu _{r}{\left({\mathbb {C} }\right)}}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$, dessen Fixring ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X^{r}]}$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung ${\displaystyle {}r}$ und die zugehörige Operation auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y]}$.

a) Zeige

${\displaystyle {}\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.}$

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.

Betrachte die Untergruppe ${\displaystyle {}G\subset \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$ aus Aufgabe 3.20. Bestimme zu jeder Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ ein Polynom aus ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y]}$, das bezüglich ${\displaystyle {}H}$ invariant ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der positiven Charakteristik ${\displaystyle {}p}$. Wir betrachten die durch ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf ${\displaystyle {}K[X,Y]}$. Zeige, dass der Invariantenring gleich

${\displaystyle K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ ein kommutativer Ring und

${\displaystyle {}R=A\times A\times \cdots \times A\,}$

der ${\displaystyle {}n}$-fache Produktring von ${\displaystyle {}A}$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe ${\displaystyle {}S_{n}}$ auf ${\displaystyle {}R}$ durch Vertauschen der Komponenten operiert.

b) Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

c) Zeige, dass für jede transitive Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq S_{n}}$ der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.