Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.
2. Eine eigentliche Isometrie

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

3. Ein Minkowski-Raum.
4. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}(M,d)}$.
6. Die aus einer ${\displaystyle {}K}$- linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   durch einen Körperwechsel ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ gewonnene ${\displaystyle {}L}$-lineare Abbildung.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und der zugehörigen Norm ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert }$. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,}$

gilt.

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,}$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$ ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ von ${\displaystyle {}M}$ ist. Verwende die Verdoppelungsformeln

${\displaystyle {}\sin \left(2\beta \right)=2\sin \beta \cos \beta \,}$

und

${\displaystyle {}\cos \left(2\beta \right)=2\cos ^{2}\beta -1\,.}$

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.

Es sei ${\displaystyle {}A=\{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}}$ der Ursprungspunkt des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und ${\displaystyle {}B}$ der (euklidische) Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und Radius ${\displaystyle {}1}$.

a) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich des euklidischen Abstandes und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

b) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich der Maximumsnorm und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

c) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich der Summennorm und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}U=Kv}$ ein eindimensionaler Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$, und sei ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass der Orthogonalraum zu ${\displaystyle {}U}$ die Dimension ${\displaystyle {}n}$ oder die Dimension ${\displaystyle {}n-1}$ besitzt.

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ die Werte ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle }$ zu ${\displaystyle {}v\in V}$ stets reell sind.

Eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ definiert einen Endomorphismus ${\displaystyle {}\mu _{z}\colon x\rightarrow zx}$. Skizziere in der Ebene ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}\mu _{z}}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$ eine irrationale Zahl und sei

${\displaystyle {}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)}$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${\displaystyle {}G}$ kein positives minimales Element gibt.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und sei ${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow N}$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${\displaystyle {}x\sim y\,,}$

wenn

${\displaystyle {}f(x)=f(y)\,,}$

eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ definiert wird.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )}$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Halbachsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

a) Die Isotropiegruppe zur positiven ${\displaystyle {}x}$-Achse und zur positiven ${\displaystyle {}z}$-Achse.

b) Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}$ und zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$.

c) Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei mit der euklidischen Norm versehen, wir betrachten die zugehörige Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum

${\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\right)}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )\,.}$

1. Zeige, dass eine Matrix ${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )}$ über die Zuordnung

   ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \mid \mid \!M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}}$

   eine quadratische Form auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ definiert.

2. Es sei ${\displaystyle {}G}$ die zugehörige quadratische symmetrische Matrix zur quadratischen Form aus (1), und es sei ${\displaystyle {}r}$ der größte Eigenwert von ${\displaystyle {}G}$. Zeige

   ${\displaystyle {}\mid \mid \!M\!\mid \mid _{\operatorname {max} }={\sqrt {r}}\,.}$

Vereinfache den Ausdruck in ${\displaystyle {}\bigwedge ^{4}\mathbb {R} ^{4}}$:

${\displaystyle {\left(-3e_{1}-2e_{3}+7e_{4}\right)}\wedge e_{3}\wedge {\left(4e_{1}-5e_{3}\right)}\wedge {\left(3e_{1}-3e_{2}+7e_{3}-6e_{4}\right)}.}$