Kurs:Lineare Algebra/Teil II/23/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren ${\displaystyle {}x,y\in K^{3}}$.
2. Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen den beiden Punkten ${\displaystyle {}A\neq B}$ in einer euklidischen Ebene.
3. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Eine Sesquilinearform auf einem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
5. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
6. Die abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}x\in M}$ und Radius ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Pythagoras in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Der Satz über den Gradienten zu einer Linearform auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Charakterisierungssatz für einen Normalteiler ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.

Bestimme diejenigen Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, deren Summennorm gleich ${\displaystyle {}1}$ und deren Maximumsnorm gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{5}}}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi }$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ ist ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ist.

Wir betrachten Dreiecke mit der Eigenschaft, dass die Eckpunkte ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ fixiert sind und der dritte Eckpunkt ${\displaystyle {}C={\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}}$ (mit ${\displaystyle {}s>0}$) variabel ist.

a) Bestimme den Höhenfußpunkt durch ${\displaystyle {}C}$.

b) Bestimme den Höhenfußpunkt durch ${\displaystyle {}B}$.

c) Bestimme den Höhenschnittpunkt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, auf dem eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ definiert sei. Zeige, dass man eine Orthogonalbasis eines Untervektorraumes ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ im Allgemeinen nicht zu einer Orthogonalbasis von ${\displaystyle {}V}$ ergänzen kann.

Zeige, dass die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ genau die Teilmengen der Form

${\displaystyle {}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${\displaystyle {}d}$ sind.

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

2. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

3. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

4. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )}$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$. Definiere die Begriffe „Halbachse von ${\displaystyle {}G}$“ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse ${\displaystyle {}H}$ sei

${\displaystyle {}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.}$

Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$ die Gruppen ${\displaystyle {}G_{H_{1}}}$ und ${\displaystyle {}G_{H_{2}}}$ isomorph sind.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der Summennorm und als Zielraum mit der euklidischen Norm versehen ist.

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,}$

mit

${\displaystyle {}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,}$

multilinear ist.