Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.
2. Eine Orthogonalbasis in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.

4. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

   ${\displaystyle \varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}}$

   für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Thales.
2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${\displaystyle {}g\in G}$ in einer endlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

gleich ${\displaystyle {}1}$ oder gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Ohne Einschränkung sei gemäß Satz 33.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))

${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{n}\,}$

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n}}$ sind

${\displaystyle {}u_{i}=\varphi (e_{i})\,,}$

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Insbesondere ist

${\displaystyle {}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine Isometrie und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${\displaystyle {}U^{\perp }}$ ebenfalls ${\displaystyle {}\varphi }$-invariant ist.

Es ist

${\displaystyle {}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.}$

Für ein solches ${\displaystyle {}v\in U^{\perp }}$ und ein beliebiges ${\displaystyle {}u\in U}$ ist

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,}$

da ${\displaystyle {}u'=\varphi ^{-1}(u)\in U}$ wegen der Invarianz von ${\displaystyle {}U}$ liegt. Also ist wieder ${\displaystyle {}\varphi (v)\in U^{\perp }}$.

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit einer von ${\displaystyle {}2}$ verschiedenen Charakteristik und sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$. Zeige

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}&={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(4\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}}$

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}z\neq 0}$, die Vektoren

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1\end{aligned}}}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(-z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1,\end{aligned}}}$

somit sind dies Beobachtervektoren.

Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ein Beobachtervektor, also

${\displaystyle {}x^{2}-y^{2}=-1\,.}$

Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}=y\,.}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}z}$ führt auf

${\displaystyle {}z^{2}-2yz+1=0\,}$

bzw. auf

${\displaystyle {}(z-y)^{2}+1-y^{2}=0\,}$

und auf

${\displaystyle {}z=\pm {\sqrt {y^{2}-1}}+y\,,}$

wobei die Wurzel stets existiert, und zwar gleich ${\displaystyle {}\pm x}$ ist. Je nachdem, ob ${\displaystyle {}x}$ positiv oder negativ ist, muss man ${\displaystyle {}z}$ entsprechend wählen.

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist:

${\displaystyle x\sim y,{\text{ falls }}7{\text{ ein Teiler von }}x-y{\text{ ist}}.}$

Es ist ${\displaystyle {}7}$ ein Teiler von

${\displaystyle {}0=x-x\,,}$

daher ist ${\displaystyle {}x\sim x}$, was die Reflexivität bedeutet. Sei ${\displaystyle {}x\sim y}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}7}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}x-y}$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${\displaystyle {}x-y=7\cdot c\,}$

mit einem gewissen ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Z} }$ ist. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}-1}$ erhält man

${\displaystyle {}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}7}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}y-x}$ und somit ist ${\displaystyle {}y\sim x}$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich ${\displaystyle {}x\sim y}$ und ${\displaystyle {}y\sim z}$. Somit ist

${\displaystyle {}x-y=7c\,}$

und

${\displaystyle {}y-z=7d\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$. Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle {}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,}$

sodass auch ${\displaystyle {}x-z}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}7}$ ist. Also ist ${\displaystyle {}x\sim z}$.

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ die zyklische Gruppe und ${\displaystyle {}g\in G}$ ein Erzeuger. Dann lassen sich je zwei Elemente ${\displaystyle {}x,y\in G}$ als ${\displaystyle {}x=g^{n}}$ und ${\displaystyle {}y=g^{m}}$ mit ${\displaystyle {}n,m\in \mathbb {Z} }$ darstellen. Somit ist unter Verwendung der Potenzgesetze

${\displaystyle {}xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m}g^{n}=yx\,,}$

also ist die Gruppe kommutativ.

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Lemma 44.21 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) vor. Wir verwenden Lemma 46.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Es sei also ${\displaystyle {}x\in G}$ beliebig und ${\displaystyle {}h\in \operatorname {kern} \varphi }$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,}$

also gehört ${\displaystyle {}xhx^{-1}}$ ebenfalls zum Kern.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei

${\displaystyle {}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,}$

die Menge aller invertierbaren ${\displaystyle {}2\times 2}$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${\displaystyle {}M}$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

${\displaystyle M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Definiere auf ${\displaystyle {}M}$ eine Relation durch

${\displaystyle f\sim g{\text{ falls }}f(0)=g(0),\,f'(0)=g'(0){\text{ und }}f^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).}$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

a) Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle H\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,f\longmapsto (f(0),f'(0),f^{\prime \prime }(1)).}$

Zwei Funktionen ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter ${\displaystyle {}H}$ übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und ${\displaystyle {}H}$ beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

${\displaystyle a+bx+{\frac {c}{2}}x^{2}}$

wird unter ${\displaystyle {}H}$ auf ${\displaystyle {}(a,b,c)}$ abgebildet, sodass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei ${\displaystyle {}f_{1}\sim g_{1}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}\sim g_{2}}$. Es ist ${\displaystyle {}(f_{1}+f_{2})\sim (g_{1}+g_{2})}$ zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten ${\displaystyle {}f_{1}=g_{1}=x}$ und ${\displaystyle {}f_{2}=x}$ und ${\displaystyle {}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x}$. Offenbar ist ${\displaystyle {}f_{1}\sim g_{1}}$. Die relevanten Werte für ${\displaystyle {}f_{2}}$ sind wegen ${\displaystyle {}f_{2}=x,\,f_{2}'=1,\,f_{2}^{\prime \prime }=0}$ einfach

${\displaystyle H(f_{2})=(0,1,0).}$

Für ${\displaystyle {}g_{2}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x,\,g_{2}'=3x^{2}-6x+1,\,g_{2}^{\prime \prime }=6x-6}$. Daher ist

${\displaystyle H(g_{2})=(0,1,0),}$

sodass ${\displaystyle {}f_{2}\sim g_{2}}$ ist. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}f_{1}f_{2}}$ und ${\displaystyle {}g_{1}g_{2}}$ nicht äquivalent sind. Es ist ${\displaystyle {}f_{1}f_{2}=x^{2}}$ mit den Ableitungen ${\displaystyle {}(x^{2},2x,2)}$ und daher ist

${\displaystyle H(f_{1}f_{2})=(0,0,2).}$

Für ${\displaystyle {}g_{1}g_{2}=x(x^{3}-3x^{2}+x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}}$ hat man die Ableitungen ${\displaystyle {}(x^{4}-3x^{3}+x^{2},4x^{3}-9x^{2}+2x,12x^{2}-18x+2)}$ und daher ist

${\displaystyle H(g_{1}g_{2})=(0,0,-4)\neq H(f_{1}f_{2}).}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit ${\displaystyle {}p}$ Elementen, wobei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist.

Es sei ${\displaystyle {}x\in R}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$. Wir betrachten die von ${\displaystyle {}x}$ erzeugte additive Untergruppe von ${\displaystyle {}R}$. Wegen ${\displaystyle {}x\neq 0}$ handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt ${\displaystyle {}x}$ schon ganz ${\displaystyle {}R}$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}nx=1\,.}$

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass ${\displaystyle {}x}$ eine Einheit ist.

Es sei ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n}}$ die Standardbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle {}n\geq 1}$) und sei

${\displaystyle {}T=\{\pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}\}\,.}$

Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von ${\displaystyle {}T}$ gerade ${\displaystyle {}2^{n-1}(n!)}$ Elemente besitzt.

Eine (eigentliche oder uneigentliche) Symmetrie von ${\displaystyle {}T}$ muss jeden Standardvektor ${\displaystyle {}e_{i}}$ auf einen der Vektoren ${\displaystyle {}\pm e_{j}}$ abbilden. Damit eine Bijektion vorliegt, muss jeder Index ${\displaystyle {}j}$ unabhängig vom Vorzeichen genau einmal vorkommen. Da dann stets eine Orthonormalbasis vorliegt, handelt es sich um eine Isometrie. Für ${\displaystyle {}e_{1}}$ gibt es ${\displaystyle {}2n}$ Möglichkeiten, für ${\displaystyle {}e_{2}}$ gibt es ${\displaystyle {}2(n-1)}$ Wahlmöglichkeiten, da ${\displaystyle {}\pm \varphi (e_{1})}$ ausgeschlossen ist, u.s.w., sodass es insgesamt ${\displaystyle {}2^{n}(n!)}$ Symmetrien gibt. Die Determinante einer beschreibenden Matrix ist ${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$, und durch Multiplikation einer Spalte mit ${\displaystyle {}-1}$ kann man erreichen, dass die Determinante ${\displaystyle {}1}$ wird. Daher ist die Hälfte der Symmetrien eigentlich, und deren Anzahl ist ${\displaystyle {}2^{n-1}(n!)}$.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der Maximumsnorm und als Zielraum mit der Summennorm versehen ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der Summe der Beträge der beiden Einträge, also ${\displaystyle {}\vert {x+2y}\vert +\vert {4x+3y}\vert }$ für die Menge

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {max} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}\,,}$

also ${\displaystyle {}10}$.

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${\displaystyle {}1,2,3,4,5,6}$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$. Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).

Die zugehörige stochastische Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&0&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}&0&0&0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}}$

1. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Untervektorraum eines endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$. Wie kann man die Dimension des Restklassenraumes ${\displaystyle {}V/U}$ ausdrücken?
2. Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ${\displaystyle {}\bigwedge ^{n}V=F/U}$ ausrechnen, wobei ${\displaystyle {}U\subseteq F}$ die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?

1. Es ist

   ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V/U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.}$

2. Nein, da ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}U}$ unendlichdimensional sind.

Berechne in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}}$ das Tensorprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}&={\left(-7e_{1}+3e_{2}\right)}\otimes {\left(3e_{1}-2e_{2}+4e_{3}\right)}\\&=-21e_{1}\otimes e_{1}+14e_{1}\otimes e_{2}-28e_{1}\otimes e_{3}+9e_{2}\otimes e_{1}-6e_{2}\otimes e_{2}+12e_{2}\otimes e_{3}.\end{aligned}}}$