Definition

Sei ${\displaystyle f}$ eine reelle Funktion, also eine Funktion ${\displaystyle f\colon D_{f}\to \mathbb {R} }$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ${\displaystyle D_{f}\subset \mathbb {R} }$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ in einem ${\displaystyle {\displaystyle x_{0}\in D_{f}}}$ zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium. ${\displaystyle f}$ heißt stetig in ${\displaystyle x_{0}}$, wenn zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta >0}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle x\in D_{f}}$ mit

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$

gilt:

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung ${\displaystyle \varepsilon }$ des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung ${\displaystyle \delta }$ im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Beispiel: Nachweis der Stetigkeit der Funktion ${\displaystyle f(x)=2x+3}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$

---

Seien ${\displaystyle x,x_{0}\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Es ist

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|=|(2x+3)-(2x_{0}+3)|=|2x-2x_{0}|=2|x-x_{0}|}$.

Damit dies kleiner als die vorgegebene Zahl ${\displaystyle \varepsilon }$ ist, kann z. B.

${\displaystyle \delta (\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\varepsilon }$

gewählt werden. Denn aus

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta ={\tfrac {1}{2}}\varepsilon }$

folgt dann nämlich

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|=2|x-x_{0}|<2\cdot {\tfrac {1}{2}}\varepsilon =\varepsilon }$.

Bemerkungen:

• Da die Funktion ${\displaystyle f}$ an jeder Stelle ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ stetig ist, ist ${\displaystyle f}$ somit auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ stetig.
• Weil ${\displaystyle \delta }$ lediglich von ${\displaystyle \varepsilon }$, nicht aber von der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ abhängt, ist ${\displaystyle f}$ sogar auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gleichmäßig stetig.

Definition mittels Grenzwerten. Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen.
Im ersten Fall formuliert man: ${\displaystyle f}$ heißt stetig in ${\displaystyle x_{0}}$, wenn der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ existiert und mit dem Funktionswert ${\displaystyle f(x_{0})}$ übereinstimmt, wenn also gilt:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$.

Im zweiten Fall formuliert man: ${\displaystyle f}$ heißt stetig in ${\displaystyle x_{0}}$, wenn für jede gegen ${\displaystyle x_{0}}$ konvergente Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ mit Elementen ${\displaystyle a_{n}\in D_{f}}$, die Folge ${\displaystyle {\bigl (}f(a_{n}){\bigr )}}$ gegen ${\displaystyle f(x_{0})}$ konvergiert.
Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.

Statt von Stetigkeit in ${\displaystyle x_{0}}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ oder Stetigkeit an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man ${\displaystyle f}$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) ${\displaystyle x_{0}}$, bzw. bezeichnet ${\displaystyle x_{0}}$ als Unstetigkeitsstelle von ${\displaystyle f}$.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit

• aller rationalen Funktionen (also etwa ${\displaystyle x\mapsto x^{3}+4x^{2}-6x+9}$ oder ${\displaystyle x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}}$)
• der Exponentialfunktionen ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$, für festes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{>0}}$
• der trigonometrischen Funktionen (also Sinus, Kosinus, Tangens,…)
• der Logarithmusfunktionen

Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich aber auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen.

Die Betragsfunktion ist ebenfalls stetig, auch wenn sie im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. Ebenfalls stetig sind alle Potenzfunktionen (etwa ${\displaystyle x\mapsto x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}$), obwohl sie für einen Exponenten kleiner 1 im Punkt 0 ebenfalls nicht differenzierbar sind.
Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig (zum Beispiel ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {1+\cos ^{2}(x-5)}}}$).

Bei der Betrachtung der elementaren Funktionen ist allerdings zu beachten, dass einige elementare Funktionen als Definitionsbereich nur eine echte Teilmenge der reellen Zahlen haben. Bei der Quadratwurzelfunktion werden z. B. alle negativen Zahlen ausgelassen, bei der Tangensfunktion alle Nullstellen des Kosinus.
In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.
Beispielsweise ist die Funktion

${\displaystyle x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}}$

definiert für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x\not =-2}$ und in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig. Sie ist also eine stetige Funktion. Die Frage der Stetigkeit in ${\displaystyle x=-2}$ stellt sich nicht, weil dieser Punkt nicht zum Definitionsbereich gehört. Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist nicht möglich.

Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differenzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen.

Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.

Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:

• die Vorzeichenfunktion (unstetig nur in 0)
• die Dirichlet-Funktion (in jedem Punkt unstetig)
• die thomaesche Funktion (unstetig genau in allen rationalen Zahlen).

Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen

Ähnlich wie die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit eine Eigenschaft, die sich bei vielen Operationen von den Bestandteilen auf die daraus zusammengesetzten Funktionen überträgt. Bei den folgenden Punkten sei die Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ bereits gegeben.

• Hintereinanderausführung: Ist ${\displaystyle g}$ eine weitere reelle Funktion, deren Definitionsbereich den Wertebereich von ${\displaystyle f}$ umfasst und die in ${\displaystyle f(x_{0})}$ stetig ist, dann ist die Komposition ${\displaystyle g\circ f}$ stetig in ${\displaystyle x_{0}}$.
• Algebraische Operationen: Ist ${\displaystyle g}$ eine weitere reelle Funktion mit demselben Definitionsbereich wie ${\displaystyle f}$, die ebenfalls in ${\displaystyle x_{0}}$ stetig ist, dann sind die punktweise definierten Funktionen ${\displaystyle f+g}$, ${\displaystyle f-g}$, ${\displaystyle f\cdot g}$ und ${\displaystyle {\tfrac {f}{g}}}$ ebenfalls stetig in ${\displaystyle x_{0}}$. Im letzten Fall ist allerdings zu beachten, dass der Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion sich als ${\displaystyle D_{f}}$ ohne die Nullstellenmenge von ${\displaystyle g}$ ergibt. Insbesondere darf ${\displaystyle x_{0}}$ selbst in diesem Fall also keine Nullstelle von ${\displaystyle g}$ sein.
• Maximum/Minimum: Unter den gleichen Voraussetzungen wie im vorherigen Punkt sind die punktweise definierten Funktionen ${\displaystyle \max(f,g)}$ und ${\displaystyle \min(f,g)}$ stetig in ${\displaystyle x_{0}}$.

Passen die Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen nicht wie gefordert zusammen, so kann man sich eventuell durch geeignete Einschränkungen der Definitionsbereiche weiter helfen.

Unter bestimmten Voraussetzungen überträgt sich Stetigkeit auch auf die Umkehrfunktion. Allerdings kann die Aussage hier nicht für die punktweise Stetigkeit formuliert werden:

Ist der Definitionsbereich der injektiven, stetigen reellen Funktion ${\displaystyle f}$ ein Intervall, so ist die Funktion streng monoton (steigend oder fallend). Die auf dem Wertebereich von ${\displaystyle f}$ definierte Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ ist ebenfalls stetig.

Mit Hilfe dieser Permanenzeigenschaften kann man zum Beispiel die Stetigkeit der oben angegebenen elementaren Funktion ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {1+\cos ^{2}(x-5)}}}$ aus der Stetigkeit des Kosinus, der identischen Funktion und der konstanten Funktionen ableiten. Verallgemeinert man diese Überlegung, so ergibt sich die Stetigkeit aller elementaren Funktionen als Konsequenz aus den vorher angegebenen einfachen Beispielen.

Hauptsätze über stetige reelle Funktionen

Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen ${\displaystyle f}$ gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass ${\displaystyle D_{f}=[a,b]}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$ ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist:

• Zwischenwertsatz: Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ an.

• Satz vom Minimum und Maximum: ${\displaystyle f}$ ist beschränkt und Infimum und Supremum seiner Funktionswerte werden auch als Funktionswert angenommen. Es handelt sich also tatsächlich um Minimum und Maximum. Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für ihr praktisches Auffinden sind häufig Aussagen aus der Differentialrechnung nötig.

• Fundamentalsatz der Analysis: ${\displaystyle f}$ ist Riemann-integrierbar und die Integralfunktion

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}$

ist eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$.

• Satz von Heine: ${\displaystyle f}$ erfüllt eine strengere Version des Epsilon-Delta-Kriteriums. Die entsprechende Eigenschaft wird gleichmäßige Stetigkeit genannt.

Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass das Bild von ${\displaystyle f}$ ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall (bzw. im Fall einer konstanten Funktion eine einpunktigen Menge) ist.

Andere Stetigkeitsbegriffe

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie die absolute Stetigkeit und die geometrische Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Existenz- und Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie, die geometrische Stetigkeit in der geometrischen Modellierung.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Definition

Seien ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ und ${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$ metrische Räume, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Abbildung und ${\displaystyle x\in X}$.

Dann heißt ${\displaystyle f}$ stetig in ${\displaystyle x}$, wenn aus ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$ stets ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)}$ folgt. Diese Bedingung ist wieder äquivalent zum ${\displaystyle \epsilon }$-${\displaystyle \delta }$-Kriterium.

Die Abbildung ${\displaystyle f}$ heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ stetig ist.

Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen euklidischen Vektorräumen

Eine Abbildung

${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m})\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

ist im Sinne dieser Definition genau dann stetig in ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, wenn die Komponentenabbildungen ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ alle stetig in ${\displaystyle x}$ sind.

Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen

Ein linearer Operator

${\displaystyle T\colon V\rightarrow W}$

zwischen normierten Vektorräumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist, wenn es also eine Konstante ${\displaystyle K}$ gibt, so dass

${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$

für alle ${\displaystyle x\in V}$. Diese Charakterisierung gilt allgemeiner auch für Abbildungen zwischen bornologischen Räumen.

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ sogar Banachräume, so kann der Satz vom abgeschlossenen Graphen oft zum Nachweis der Stetigkeit genutzt werden.

Allgemeiner kann man Stetigkeit auch für Abbildungen zwischen lokalkonvexen Vektorräumen definieren und dann ist ${\displaystyle f}$ genau dann stetig, wenn für jede stetige Halbnorm ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle Y}$ die Halbnorm ${\displaystyle p\circ f}$ stetig auf ${\displaystyle X}$ ist.

Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen

Im Allgemeinen folgt aus der punktweisen Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen ${\displaystyle (f_{k}\colon X\to Y)_{k\in N}}$ nicht die Stetigkeit der Grenzfunktion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$. Zum Beispiel konvergiert für ${\displaystyle X=Y=[0,1]}$ die Funktionenfolge ${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}}$ gegen die unstetige Funktion ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)={\begin{cases}1&x=1\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}}$.

Unter strengeren Konvergenzbegriffen für Funktionenfolgen, insbesondere der (lokal) gleichmäßigen Konvergenz, kann aber stets die Stetigkeit der Grenzfunktion sichergestellt werden.

Mit Hilfe dieses Konvergenzbegriffs von Funktionenfolgen lässt sich die Stetigkeit von durch Potenzreihen definierten komplexen Funktionen im Innern ihres Konvergenzkreises beweisen (siehe auch Abelscher Grenzwertsatz).

Der Satz von Banach-Steinhaus stellt die Stetigkeit der Grenzfunktion sicher, wenn ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume sind und alle ${\displaystyle f_{k}}$ lineare Operatoren sind.

Varianten des Stetigkeitsbegriffs

Für Funktionen zwischen metrischen Räumen gibt eine Reihe weiterer Stetigkeitsbegriffe, die jeweils strengere Bedingungen daran stellen, wie stark der Funktionswert in Abhängigkeit von der Schwankung im Argument schwanken darf. Hier wäre zu nennen: gleichmäßige Stetigkeit (kann auch für Funktionen auf uniformen Räumen definiert werden), (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit, gleichgradige Stetigkeit sowie (falls der Definitionsbereich ein reelles Intervall ist) absolute Stetigkeit.

Definitionen der Stetigkeit

Da man topologische Räume auf unterschiedliche (aber äquivalente) Weise definieren kann, existieren auch mehrere gleichwertige Definitionen der Stetigkeit. Im Folgenden finden sich bei jeder Definition mehrere Varianten, die sich durch ihren Grad an Formalisierung unterscheiden, inhaltlich aber dasselbe aussagen.

Funktionen besitzen einen Definitionsbereich und eine Zielmenge, die mit verschiedenen Topologien versehen werden können. Die Wahl dieser Topologien ist kein Bestandteil der 'Identität' der Funktion aber wesentlich für die Frage der Stetigkeit. Es ist daher eigentlich unpräzise, davon zu sprechen, dass eine Funktion stetig oder unstetig sei.

Eine präzise Formulierung von der unten angegebenen Definition mittels Umgebungen würde zum Beispiel lauten:

Seien ${\displaystyle (X,T_{1})}$ und ${\displaystyle (Y,T_{2})}$ topologische Räume. Sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Funktion und ${\displaystyle \xi \in X}$. Dann heißt ${\displaystyle f}$ stetig in ${\displaystyle \xi }$ bezüglich der Räume ${\displaystyle (X,T_{1})}$ und ${\displaystyle (Y,T_{2})}$, wenn für jede ${\displaystyle (Y,T_{2})}$-Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle f(\xi )}$ das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ eine ${\displaystyle (X,T_{1})}$-Umgebung von ${\displaystyle \xi }$ ist.

In der mathematischen Praxis ist fast immer klar, welche Topologien auf den jeweiligen Räumen verwendet werden sollen. Daher ist die in diesem Artikel verwendete etwas ungenaue Sprechweise üblich. In den seltenen Fällen, wo mehrere Topologien zur Auswahl stehen, wird dies durch entsprechende Erläuterungen deutlich gemacht.

Eigenschaften stetiger Funktionen

• Wenn ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ stetige Funktionen sind, dann ist die Komposition ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ auch stetig.
• Einschränkungen stetiger Funktionen sind stetig.
• Wenn ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ stetig und
  • X kompakt ist, dann ist ${\displaystyle f(X)}$ kompakt.
  • X zusammenhängend ist, dann ist ${\displaystyle f(X)}$ zusammenhängend.
  • X wegzusammenhängend ist, dann ist ${\displaystyle f(X)}$ wegzusammenhängend.
• Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Viele wichtige Sätze über Funktionen setzen voraus, dass diese stetig sind. Hier einige Beispiele:

• Eine stetige Funktion ist Borel-messbar.

• Der Satz von Peano über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen setzt die Stetigkeit der rechten Seite voraus.

• Der in der Topologie wichtige brouwersche Abbildungsgrad und seine in der Funktionalanalysis verwendeten Verallgemeinerungen sind für stetige Abbildungen definiert.

• Eine stetige Funktion von einer nichtleeren kompakten und konvexen Teilmenge eines hausdorffschen topologischen Vektorraums in sich selbst besitzt einen Fixpunkt (Fixpunktsatz von Schauder).

Beispiele stetiger Funktionen

Menge der stetigen Funktionen

Die Menge aller stetigen Funktionen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ wird meist mit ${\displaystyle C(X,Y)}$ oder ${\displaystyle C^{0}(X,Y)}$ bezeichnet. Dabei steht das C für „continuous“, englisch für „stetig“. Ist der Bildraum ${\displaystyle Y}$ aus dem Kontext ersichtlich oder ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$, so schreibt man oft nur ${\displaystyle C(X)}$ bzw. ${\displaystyle C^{0}(X)}$.

${\displaystyle C(X)}$ ist eine Unteralgebra der ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra aller reellwertigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$. Zwei stetige Funktionen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ stimmen bereits überein, wenn sie auf einer dichten Teilmenge von ${\displaystyle X}$ übereinstimmen. Da jede Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ eine höchstens abzählbare dichte Teilmenge besitzt, kann man hieraus ableiten, dass die Mächtigkeit von ${\displaystyle C(X)}$ die Mächtigkeit des Kontinuums ist (falls ${\displaystyle X}$ nicht leer ist). Die Menge aller Funktionen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle \mathbb {C} }$ hat eine wesentlich größere Mächtigkeit (zumindest, wenn ${\displaystyle X}$ ein Intervall mit mehr als einem Element ist). Man kann das so interpretieren, dass Stetigkeit unter reellen Funktionen eine 'seltene' Eigenschaft ist. Dies widerspricht etwas der Alltagserfahrung, da ja alle elementaren Funktionen stetig sind.

Wichtige Unterräume von ${\displaystyle C(X)}$ sind zum Beispiel:

• die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger ${\displaystyle C_{c}(X)}$

• die stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• die beschränkten stetigen Funktionen ${\displaystyle C_{b}(X)}$.

• falls ${\displaystyle X}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist: die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{1}(X)}$ und

• die Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$.

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Raum, so tragen die stetigen Funktionen mehr Struktur. Ist dann zusätzlich ${\displaystyle Y}$ ein metrischer Raum, zum Beispiel wieder ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$, so sind die stetigen Funktionen stets eine Teilmenge der beschränkten Funktionen, es gilt also

${\displaystyle C(X,Y)\subset B(X,Y)}$.

Ist auf ${\displaystyle Y}$ eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$ definiert, so wird über

${\displaystyle \|f\|_{\sup }:=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}}$

eine Norm auf ${\displaystyle C(X,Y)}$ definiert, die sogenannte Supremumsnorm. Diese Definition ist aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf kompakten Räumen sinnvoll.

Ist ${\displaystyle Y}$ ein Banach-Raum, also ein vollständiger normierter Raum, so ist auch ${\displaystyle C(X,Y)}$ ein Banach-Raum. Die stetigen Funktionen sind dann ein abgeschlossener Unterraum der beschränkten Funktionen.

Zu einer Familie stetiger Funktionen kann man auf dem Definitionsbereich nach einer möglichst groben Topologie sucht, bezüglich der die Funktionen immer noch stetig sind, bzw. auf der Zielmenge nach einer möglichst feinen. Diese Topologien werden als Initialtopologie und Finaltopologie bezeichnet.

Algebren stetiger komplexwertiger Funktionen

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ bildet ${\displaystyle C(X)}$, die Menge der stetigen komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, wie bereits festgestellt, eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra. Diese ist natürlich kommutativ und unital (die Funktion mit dem konstanten Wert 1 ist das Einselement).

Zusätzlich ist auf dieser Algebra in natürlicher Weise eine konjugiert lineare Involution gegeben, die auch mit der Multiplikation verträglich ist. Diese ist gegeben durch ${\displaystyle {\overline {f}}(x)={\overline {f(x)}}}$ für ${\displaystyle x\in X,f\in C(X)}$.

${\displaystyle C(X)}$ ist also eine unitale, kommutative *-Algebra. Man beachte, dass die Untersuchung dieser Algebren die Untersuchung der Algebren aller komplexwertigen Funktionen auf einer beliebigen Menge einschließt, da man jede Menge mit der diskreten Topologie versehen kann, wodurch alle Funktionen stetig werden.

Das Lemma von Urysohn stellt für die meisten wichtigen topologischen Räume sicher, dass ${\displaystyle C(X)}$ ausreichend reichhaltig ist. Tatsächlich erweist sich diese Algebra als oftmals zu groß für die praktische Untersuchung. Man geht daher meist zur unitalen *-Unteralgebra ${\displaystyle C_{b}(X)}$ der beschränkten, stetigen komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ über. Falls ${\displaystyle X}$ kompakt ist, so gilt ${\displaystyle C(X)=C_{b}(X)}$, wegen (15').

${\displaystyle C_{b}(X)}$ wird durch die Supremumsnorm zu einer kommutativen, unitalen C*-Algebra.

Der Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass jede kommutative, unitale C*-Algebra isomorph ist zu ${\displaystyle C(K)}$ für einen geeignet gewählten kompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle K}$. Dabei ist ${\displaystyle K}$ bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt (und der Satz gibt auch ein konstruktives Verfahren zur Ermittlung von ${\displaystyle K}$ an). Somit kann die Theorie der kommutativen, unitalen C*-Algebren vollständig identifiziert werden mit der Theorie der kompakten Hausdorff-Räume. Dies ist ein mächtiges Werkzeug, da Aussagen, die in der einen Theorie schwierig zu beweisen sind, in die andere Theorie übertragen werden können, wo ihr Beweis oft viel einfacher ist.

In Erweiterung dieses Ergebnisses kann die Theorie der kommutativen, eventuell nicht unitalen, C*-Algebren mit der Theorie der lokalkompakten Hausdorff-Räume identifiziert werden. Hierbei wird allerdings zu einem lokalkompakten Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ nicht ${\displaystyle C_{b}(X)}$, sondern die Unteralgebra der C₀-Funktionen auf ${\displaystyle X}$ betrachtet.

Bemerkung: Mittels der GNS-Konstruktion kann auch jede nicht-kommutative C*-Algebra mit einer Algebra stetiger (linearer) Funktionen identifiziert werden. Hierbei wird allerdings als Multiplikation die Komposition von Operatoren und nicht die punktweise Multiplikation verwendet. Daher sollten diese beiden Vorgehensweisen nicht miteinander verwechselt werden.

Zwei weitere wichtige Ergebnisse über die Struktur von ${\displaystyle C(K)}$ für kompakte Hausdorff-Räume ${\displaystyle K}$ sind der Satz von Stone-Weierstraß (Charakterisierung der dichten *-Unteralgebren von ${\displaystyle C(K)}$) und der Satz von Arzelà-Ascoli (Charakterisierung der relativ kompakten Teilmengen von ${\displaystyle C(K)}$). Ein Spezialfall des ersten Satzes ist der Approximationssatz von Weierstraß, der besagt, dass auf einer kompakten Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jede stetige, komplexwertige Funktion gleichmäßig durch eine Folge von Polynomfunktionen approximiert werden kann.

Verknüpfung von algebraischen und topologischen Strukturen

Viele der in der Mathematik untersuchten Mengen tragen in natürlicher Weise sowohl eine topologische als auch eine algebraische Struktur. Ein einfaches Beispiel hierfür sind die Mengen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \mathbb {C} }$, die durch die Betragsmetrik zu metrischen Räumen werden, und die gleichzeitig durch die Grundrechenarten zu Körpern werden. Eine besonders reichhaltige Theorie ergibt sich, wenn diese beiden Strukturen harmonieren. Dies ist dann gegeben, wenn die Verknüpfung(en), die die algebraische Struktur definieren, stetige Funktionen bezüglich der betrachteten Topologie sind. Auf diese Weise ergeben sich sehr einfach die Definition einer topologischen Gruppe, eines topologischen Rings/Körpers und eines topologischen Vektorraums.

Hat man zwei Exemplare einer solchen Kategorie (also etwa zwei topologische Gruppen), so bietet es sich an, die Funktionen zwischen diesen beiden zu untersuchen, die verträglich mit beiden Strukturen sind, die also stetige Homomorphismen sind. In der Funktionalanalysis werden zum Beispiel intensiv die Eigenschaften von (Räumen von) stetigen linearen Operatoren untersucht. In allen genannten Kategorien ist ein Homomorphismus übrigens entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig.

Mit dem Auswahlaxiom kann man zahlreiche unstetige Homomorphismen zwischen topologischen Gruppen konstruieren, insbesondere auch zahlreiche unstetige Homomorphismen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$.

Andererseits sind stetige Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen stets differenzierbar.