Normalisieren und Reduzieren

Zunächst wird die Gleichung mit der Substitution

${\displaystyle x=u-{\frac {B}{4A}}}$

dahingehend vereinfacht, dass der kubische Koeffizient ${\displaystyle B}$ verschwindet (Tschirnhaus-Transformation) und gleichzeitig der führende Koeffizient durch Division der gesamten Gleichung durch ${\displaystyle A}$ zu ${\displaystyle 1}$ gesetzt wird.

Mit den Festlegungen

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\alpha &=-{\dfrac {3B^{2}}{8A^{2}}}+{\dfrac {C}{A}}\\[1em]\beta &={\dfrac {B^{3}}{8A^{3}}}-{\dfrac {B\,C}{2A^{2}}}+{\dfrac {D}{A}}\\[1em]\gamma &=-{\dfrac {3B^{4}}{256A^{4}}}+{\dfrac {B^{2}\,C}{16A^{3}}}-{\dfrac {B\,D}{4A^{2}}}+{\dfrac {E}{A}}\end{array}}}$

reduziert sich die Gleichung zu

${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0}$.

Am Ende der Rechnung werden die Nullstellen des Ausgangspolynoms als ${\displaystyle x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{\tfrac {B}{4A}}}$ zurückgewonnen. Im Folgenden kann also angenommen werden, dass der Koeffizient dritten Grades Null ist.

Fall, dass nur gerade Exponenten auftreten

Ist ${\displaystyle \beta =0}$, dann erhält man den Spezialfall einer (echten) biquadratischen Gleichung

${\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0}$

und kann die Nullstellen als Quadratwurzeln in beiden Vorzeichenvarianten aus den Lösungen der durch die Substitution ${\displaystyle u^{2}=m}$ gewonnenen quadratischen Gleichung

${\displaystyle m^{2}+\alpha m+\gamma =0}$

bestimmen.

Sind die Koeffizienten reell und ${\displaystyle \gamma >{\tfrac {\alpha ^{2}}{4}}\geq 0}$, so ist es sinnvoller, nicht direkt die dann komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung in ${\displaystyle m}$ zu bestimmen und daraus die Quadratwurzeln, sondern die Gleichung erst auf andere Art reell zu faktorisieren, wobei die zwei quadratischen Faktoren wieder reelle Koeffizienten haben:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[(u^{2}+{\sqrt {\gamma }})^{2}\right]-\left[(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha )\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\;\cdot \;\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\\&=\left(u^{2}+{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\;\cdot \;\left(u^{2}-{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\end{array}}}$

Für jeden Faktor können jetzt wieder einzeln die Nullstellen bestimmt werden:

${\displaystyle u_{1}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}$	${\displaystyle u_{2}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}$
${\displaystyle u_{3}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}$	${\displaystyle u_{4}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}$

Allgemeiner Fall

Ist ${\displaystyle \beta \neq 0}$, so versucht man, die Gleichung als Differenz zweier vollständiger Quadrate zu schreiben. Dabei werden komplexe Parameter ${\displaystyle w,y,z}$ eingeführt. Die Darstellung als Differenz führt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma &=(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(w\,u-z)^{2}\\&=(u^{2}+w\,u-z+\alpha +y)\,(u^{2}-w\,u+z+\alpha +y)\end{array}}}$

Durch Vergleich mit

${\displaystyle u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}$

ergeben sich ${\displaystyle w^{2}=\alpha +2y}$ und ${\displaystyle z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma }$ sowie ${\displaystyle \beta =2wz}$.

Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in ${\displaystyle u}$ ist, muss die Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden:

${\displaystyle 0=4w^{2}z^{2}-\beta ^{2}=4\,(\alpha +2y)\,((\alpha +y)^{2}-\gamma )-\beta ^{2}}$

${\displaystyle 0=y^{3}+{\tfrac {5}{2}}\alpha \,y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\,y+{\tfrac {1}{2}}\alpha (\alpha ^{2}-\gamma )-{\tfrac {1}{8}}\beta ^{2}}$

Dies ist eine kubische Gleichung in ${\displaystyle y}$.

Aus einer der Lösungen für ${\displaystyle y}$ ergeben sich zwei quadratische Gleichungen in ${\displaystyle u}$, die zu insgesamt vier Lösungen für ${\displaystyle u}$ bzw. dann ${\displaystyle x}$ führen.

Zusammenfassung

Insgesamt werden folgende Rechenschritte durchgeführt:

${\displaystyle P=-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}-\gamma }$,

${\displaystyle Q=-{\frac {\alpha ^{3}}{108}}+{\frac {\alpha \gamma }{3}}-{\frac {\beta ^{2}}{8}}}$,

${\displaystyle y=-{\frac {5}{6}}\alpha +{\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}}$ mit ${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}}$

${\displaystyle w={\sqrt {\alpha +2y}}}$

${\displaystyle z={\frac {\beta }{2w}}}$.

Nun können die Nullstellen wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle u_{1,2,3,4}={\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {w^{2}-4\left(\alpha +y+s\,z\right)}}\right]}$

und in der Variablen der ursprünglichen Gleichung

${\displaystyle x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +s\,{\tfrac {\beta }{w}}\right)}}\right]}$.

Die Parameter ${\displaystyle r,s\in \{-1,1\}}$ geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ sind nötig, um die vier Lösungen zu erhalten.

B = 0 und D = 0

Diese in der Schulmathematik häufigste Art von quartischen Gleichungen lässt sich durch Substitution relativ einfach auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Dazu substituiert man mit ${\displaystyle x^{2}=z}$ und erhält: ${\displaystyle Az^{2}+Cz+E=0}$. Diese kann man durch die quadratische Lösungsformel lösen. Man erhält die Lösungen ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$. Aus der Rücksubstitution folgt:

${\displaystyle x_{1,2}^{2}=z_{1}}$

${\displaystyle x_{3,4}^{2}=z_{2}}$

Diese rein quadratischen Gleichungen haben je zwei Lösungen:

${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}}$

${\displaystyle x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}}$

E = 0

In diesem Fall ist ${\displaystyle x_{1}=0}$ eine Lösung der Gleichung. Dann kann man den Faktor ${\displaystyle x-x_{1}}$, also ${\displaystyle x-0=x}$ ausklammern und erhält die Gleichung

${\displaystyle x\,\left(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D\right)=0}$.

Die Lösungen der quartischen Gleichung sind dann ${\displaystyle 0}$ und die drei Lösungen der kubischen Gleichung

${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$.

Reelle Koeffizienten

Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich Fallunterscheidungen für die möglichen Lösungen angeben. Dies beruht auf folgender Tatsache: Ist die nicht-reelle Zahl ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ mit ${\displaystyle b\neq 0}$ Nullstelle eines beliebigen Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist es auch die konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle a-b\mathrm {i} }$ (Beweis). Bei der Zerlegung des zugehörigen Polynoms ergibt das Produkt der beiden Faktoren

${\displaystyle (x-(a+b\mathrm {i} ))(x-(a-b\mathrm {i} ))}$

ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten, nämlich ${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$. Also lässt sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten unabhängig von seinem Grad in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen. Es gibt für die quartische Gleichung also drei Möglichkeiten:

• Die Gleichung hat vier reelle Lösungen. Sie zerfällt in vier Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten.
• Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie zerfällt in zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten.
• Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen. Sie zerfällt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten.

Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten

Für den Fall reeller Koeffizienten kann man die Gleichung wie folgt lösen. Gegeben sei eine Gleichung vierten Grades

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

mit reellen Koeffizienten ${\displaystyle a,b,c,d,e}$ und ${\displaystyle a\neq 0}$. Durch die Substitution

${\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}$

überführt man diese in die reduzierte Gleichung

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}$

mit reellen Koeffizienten ${\displaystyle p,q}$ und ${\displaystyle r}$. Im Fall ${\displaystyle q=0}$ ist diese Gleichung biquadratisch und somit leicht zu lösen. Im allgemeinen Fall ${\displaystyle q\neq 0}$ erhält man aus den Lösungen der reduzierten Gleichung durch Rücksubstitution die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Mittels der Koeffizienten der reduzierten Gleichung bildet man die sogenannte kubische Resolvente

${\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0}$.

Die Lösungen der Gleichung vierten Grades hängen folgendermaßen mit den Lösungen der kubischen Resolvente zusammen:

Die Lösungen der kubischen Resolvente seien ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$. Für jedes ${\displaystyle j\in \{1,2,3\}}$ sei ${\displaystyle {\sqrt {z_{j}}}}$ eine beliebige der beiden komplexen Wurzeln aus ${\displaystyle z_{j}}$. Dann erhält man die Lösungen der reduzierten Gleichung durch

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}}$

wobei ${\displaystyle \sigma \in \{-1,+1\}}$ so zu wählen ist, dass

${\displaystyle \sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q}$.

Durch die Rücksubstitution

${\displaystyle x_{i}=y_{i}-{\frac {b}{4a}},\,i=1,2,3,4}$

erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung vierten Grades.