Im Hexadezimalsystem oder Sedezimalsystem werden Zahlen in einem Stellenwertsystem zur Basis 16 dargestellt. „Hexadezimal“ (von griech. hexa „sechs“ und lat. decem „zehn“) ist ein lateinisch-griechisches Mischwort; korrekt ist die Übersetzung „Sedezimal“ (von lat. sēdecim „sechzehn“).

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem sehr oft verwendet, da es sich hierbei letztlich um eine komfortablere Verwaltung des Binärsystems handelt. Die Datenwörter bestehen in der Informatik meist aus Oktetten, die statt als achtstellige Binärzahlen auch als nur zweistellige Hexadezimalzahlen dargestellt werden können. Im Gegensatz zum Dezimalsystem eignet sich das Hexadezimalsystem mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz (16 = 2⁴) zur einfacheren Notation der Binärzahlen, da stets eine feste Anzahl Zeichen zur Wiedergabe des Datenwortes benötigt wird. Ein Nibble kann exakt mit einer hexadezimalen Ziffer und ein Byte mit zwei hexadezimalen Ziffern dargestellt werden.

In den 1960er und 1970er Jahren wurde in der Informatik häufig auch das Oktalsystem mit seiner Basis als dritte Zweierpotenz (8 = 2³) verwendet, da es mit den üblichen Ziffern von 0 bis 7 auskommt. Es findet aber heute seltener Anwendung, beispielsweise zur Darstellung von Zeichen in der Programmiersprache C. Auch gibt es noch weitere Zahlensysteme mit verschiedenen Basiswerten.

Menschen sind es gewohnt, im Dezimalsystem zu rechnen. Das indo-arabische Zahlensystem verwendet zehn Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen sechzehn Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück.

Etymologie

Bei hexadezimal handelt es sich um eine Mischung eines griechischen und eines lateinischen Wortpartikels. Zwar könnte die 16 ohne Rückgriff auf die jeweils andere Sprache ausgedrückt werden (sedezimal von lat. sedecim bzw. hexadekadisch vom Griechischen), diese Bezeichnungen sind jedoch höchstens akademisch und haben keine Verbreitung gefunden.

Hexadezimal ist zu unterscheiden vom Wort hexagesimal, das synonym zu sexagesimal ist und das Zahlensystem zur Basis 60 bezeichnet.

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um hexadezimale von dezimalen Zahlen unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise werden hexadezimale Zahlen mit einem Index oder Präfix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind: 72₁₆, 72_hex, 72h, 72H, 72_H, 0x72, $72, "72 und X'72', wobei das Präfix 0x und das Suffix h insbesondere in der Programmierung und technischen Informatik Verwendung finden. Das Anhängen eines h an die Hex-Zahl ist auch als Intel-Konvention geläufig. Die Schreibweise mit dem Dollar-Präfix ist in Assemblersprachen bestimmter Prozessorfamilien üblich, insbesondere bei Motorola, zum Beispiel beim Motorola 68xx und 68xxx, aber auch beim MOS 65xx; die Schreibweise X'72' ist in der Welt der IBM-Großrechner üblich, wie in REXX.

Der Übersicht dienende Trennpunkte können bei Hexadezimalzahlen alle vier Stellen gesetzt werden, trennen also Gruppen von jeweils sechzehn Bit. Die Bedeutung der 1.0000₁₆ = 65.536₁₀ unter den hexadezimalen Zahlen entspricht also jener der 1.000₁₀ unter den dezimalen Zahlen.

Zum Vergleich ein voller Vierundsechzig-Bit-Bus mit und ohne Trennpunkte: FFFF.FFFF.FFFF.FFFF und FFFFFFFFFFFFFFFF

Dezimale Zahlen werden, wo sie nicht der zu erwartende Normalfall sind, indiziert: 114₁₀

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

Aussprache der Hexadezimalzahlen

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher meist Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

• 10 sprich: „eins-null“ (nicht: „zehn“),
• 1E sprich: „eins-E“,
• F112 sprich: „F-eins-eins-zwei“.

Analog lässt sich jedoch auch die Zählweise des Dezimalsystems verwenden, ohne dass der Einsatz des Hexadezimalsystems bei jeder Zahl gehört werden kann und sich dann zum Beispiel aus dem Kontext ergeben muss. Da es allerdings zu Verwechslungen mit Dezimalzahlen kommen kann, wird dies seltener angewendet.

Beispiele:

• 10 sprich: „zehn“,
• 1E sprich: „E-zehn“,
• BD sprich: „D-und-B-zig“,
• F2A sprich: „F-hundert-A-undzwanzig“,
• F112 sprich: „F-tausendeinhundertzwölf“.

Hexadezimale Multiplikationstafel (kleines Einmaleins)

Beispiel: 2 · 5 = A

Von der Spalte mit dem Wert 2 vertikal hinunter gehen bis Schnittpunkt der Zeile mit Wert 5 → Ergebnis: A

Hexadezimalbrüche

Da das Hexadezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, haben die Stellen nach dem Komma (das auch hier manchmal als Punkt geschrieben wird) den Stellenwert ${\displaystyle 1 \over B^{n}}$, wobei ${\displaystyle B}$ die dezimale Basis 16 und ${\displaystyle n}$ die Position der jeweiligen Nachkommastelle ist. Die erste Nachkommastelle (${\displaystyle n=1}$) hat damit den Stellenwert ${\displaystyle {1 \over 16^{1}}={1 \over 16}}$, die zweite Nachkommastelle (${\displaystyle n=2}$) hat den Stellenwert ${\displaystyle {1 \over 16^{2}}={1 \over 256}}$, die dritte Nachkommastelle (${\displaystyle n=3}$) hat den Wert ${\displaystyle {1 \over 16^{3}}={1 \over 4096}}$ und so weiter.

Da die Zahl 16 nur über den einzigen Primfaktor 2 verfügt, ergibt sich bei allen gekürzten Brüchen, deren Nenner keine Zweierpotenz ist, eine periodische Kommadarstellung im Hexadezimalsystem:

${\displaystyle 1 \over 1}$ = 1	${\displaystyle 1 \over 5}$ = 0,316	${\displaystyle 1 \over 9}$ = 0,1C716	${\displaystyle 1 \over \mathrm {D} _{16}}$ = 0,13B16
${\displaystyle 1 \over 2}$ = 0,816	${\displaystyle 1 \over 6}$ = 0,2A16	${\displaystyle 1 \over \mathrm {A} _{16}}$ = 0,1916	${\displaystyle 1 \over \mathrm {E} _{16}}$ = 0,124916
${\displaystyle 1 \over 3}$ = 0,516	${\displaystyle 1 \over 7}$ = 0,24916	${\displaystyle 1 \over \mathrm {B} _{16}}$ = 0,1745D16	${\displaystyle 1 \over \mathrm {F} _{16}}$ = 0,116
${\displaystyle 1 \over 4}$ = 0,416	${\displaystyle 1 \over 8}$ = 0,216	${\displaystyle 1 \over \mathrm {C} _{16}}$ = 0,1516	${\displaystyle 1 \over 10_{16}}$ = 0,116

Negative Zahlen

Negative Zahlen lassen sich ebenfalls darstellen. Dazu wird in den meisten Fällen die Zweierkomplement-Darstellung verwendet. Durch ihre Auslegung braucht an den Mechanismen für Rechnungen in den Grundrechenarten keine Änderung vorgenommen zu werden.

Anwendung

Konvertierung in andere Zahlensysteme

Viele Taschenrechner, aber auch die genauso genannten Hilfsprogramme auf Personal Computern, bieten Umrechnungen zum Zahlbasiswechsel an. Insbesondere rechnen die Windows- und macOS-Programme „Rechner“ Binär-, Hexadezimal- und Oktalzahlen in Dezimale und zurück, wenn man unter „Ansicht“ (Windows) bzw. „Darstellung“ (macOS) den Menüpunkt „Programmierer“ auswählt. In vielen Linux-Distributionen ist ein Taschenrechner-Hilfsprogramm vorinstalliert, das eine solche „Programmierer-Option“ beinhaltet, oder man kann in der Kommandozeile die Anweisung printf (als eingebauten bash-Befehl oder gesondertes Hilfsprogramm) dafür benutzen.

1278 : 16 = 79 Rest: 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest: 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest:  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

Formuliert im Dezimalsystem:

${\displaystyle h_{m}h_{m-1}\cdots h_{0},h_{-1}h_{-2}\cdots h_{-n}=\sum _{i=-n}^{m}h_{i}\cdot {(16_{10})}^{i}\qquad m,n\in \mathbb {N} \quad h_{i}\in \{0;1;\cdots ;15\}}$

Formuliert im Hexadezimalsystem:

${\displaystyle h_{m}h_{m-1}\cdots h_{0},h_{-1}h_{-2}\cdots h_{-n}=\sum _{i=-n}^{m}h_{i}\cdot {(10_{16})}^{i}\qquad m,n\in \mathbb {N} \quad h_{i}\in \{0;1;\cdots ;9;A;\cdots ;F\}}$

Ein- und zweihändiges Zählen mit den Fingerspitzen und Gelenken

Wie auch das altbabylonische Sexagesimalsystem lässt sich auch das Hexadezimalsystem mit den Fingern abzählen. Mithilfe der folgenden Technik wird mit beiden Händen zusammen ein Byte dargestellt. Jede Hand repräsentiert dabei ein Nibble. Dessen oberes Crumb (Hälfte des Nibbles) zeigt sich am benutzten Finger, sein unteres Crumb dagegen am bezeigten Gelenk bzw. der Fingerspitze. Ein Bitflip ist durch Punktspiegelung der Daumenposition am Mittelpunkt der Fingerfläche herbeiführbar.

Siehe auch

• Hexadezimale Farbdefinition – die Darstellung einer Farbe mit hexadezimaler Kodierung des Rot-, Grün- und Blauwertes
• Hex-Editor – ein Editor, um beliebige Dateien, die als Folge von Hexadezimalzahlen dargestellt werden, zu bearbeiten
• Hexadezimalzeit – ein 1863 vorgeschlagenes Uhrzeitformat, das sich nicht durchgesetzt hat
• Hexspeak – spezielle Begriffe, die sich durch Ziffern und die Buchstaben A–F darstellen lassen
• Stellenwertsystem
• Unärsystem (1)
• Dualsystem (2)
• Ternärsystem (3)
• Quaternär (4)
• Quinär (5)
• Senär (6)
• Dezimalsystem (10)

Weblinks

• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme
• Zahlensysteme im Vergleich
• Historischer mechanischer Taschenrechner für das Hexadezimalsystem auf einestages

Einzelnachweise

1. ↑ Umrechnen mit verschiedenen Basiswerten, abgerufen am 30. Oktober 2018