Notation

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen zwei großen öffnenden und schließenden Klammern durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, es werden aber auch eckige verwendet. Zum Beispiel bezeichnen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}}$

Matrizen mit zwei Zeilen und drei Spalten. Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben (manchmal fett gedruckt oder, handschriftlich, einfach oder doppelt unterstrichen), vorzugsweise ${\displaystyle A}$, bezeichnet. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man eine Matrix vom Typ (m,n) oder kurz (m,n)-Matrix. Auch m×n-Matrix oder m × n-Matrix sind verbreitet. Man schreibt sie

${\displaystyle A={\boldsymbol {A}}={\underline {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{i=1,\dotsc ,m;\ j=1,\dotsc ,n}}$.

Elemente der Matrix

Ein ${\displaystyle a_{ij}}$ nennt man Matrixelement oder kurz Element, neuerdings auch Matrixeintrag oder kurz Eintrag. Auch Matrixkomponente oder kurz Komponente werden verwendet. Insbesondere im Fall von (m,1)- oder (1,n)-Matrizen ist der Name Komponente verbreitet. Bei Tensoren spricht man auch von Tensorkoordinate oder kurz Koordinate.

Die Elemente können sowohl reelle als auch komplexe Zahlen sein, aber auch andere mathematische Objekte, z. B. Vektoren, Polynome, Differentiale, andere Formeln oder selbst wieder Matrizen.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch ${\displaystyle a_{11}}$ beschrieben. Allgemein bezeichnet ${\displaystyle a_{ij}}$ das Element in der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und der ${\displaystyle j}$-ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt. Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, werden die beiden Indizes mit einem Komma abgetrennt. So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit ${\displaystyle a_{1,11}}$ bezeichnet.

Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},}$ hier sind ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}}}$ die Spalten oder Spaltenvektoren sowie ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}}$ die Zeilen oder Zeilenvektoren.

Bei einzeln stehenden Zeilen- und Spaltenvektoren einer Matrix wird gelegentlich der unveränderliche Index weggelassen. Manchmal werden Spaltenvektoren zur kompakteren Darstellung als transponierte Zeilenvektoren geschrieben, also:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}}}$ oder ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$ als ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}\end{pmatrix}}^{T}}$ oder ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\end{pmatrix}}^{T}}$

Typ

Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle n}$ Spalten nennt man eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix (sprich: m-mal-n- oder m-Kreuz-n-Matrix). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Eine Matrix, die aus nur einer Spalte oder nur einer Zeile besteht, wird üblicherweise als Vektor aufgefasst. Einen Vektor mit ${\displaystyle n}$ Elementen kann man je nach Kontext als einspaltige ${\displaystyle n\times 1}$-Matrix oder einzeilige ${\displaystyle 1\times n}$-Matrix darstellen. Neben den Begriffen Spaltenvektor und Zeilenvektor sind hierfür die Begriffe Spaltenmatrix und Zeilenmatrix geläufig. Eine ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrix ist sowohl Spalten- als auch Zeilenmatrix und wird als Skalar angesehen.

Formale Darstellung

Eine Matrix ist eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

${\displaystyle A\colon \{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}\to K,\quad (i,j)\mapsto a_{ij},}$

die jedem Indexpaar ${\displaystyle (i,j)}$ als Funktionswert das Element ${\displaystyle a_{ij}}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar ${\displaystyle (1,2)}$ als Funktionswert das Element ${\displaystyle a_{12}}$ zugeordnet. Der Funktionswert ${\displaystyle a_{ij}}$ ist also das Element in der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und der ${\displaystyle j}$-ten Spalte. Die Variablen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge ${\displaystyle \operatorname {Abb} \left(\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\},K\right)}$ aller ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen über der Menge ${\displaystyle K}$ wird in üblicher mathematischer Notation auch ${\displaystyle K^{\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation ${\displaystyle K^{m\times n}}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen ${\displaystyle K^{m,n},}$ ${\displaystyle M(m\times n,K)}$ oder seltener ${\displaystyle {}^{m}K^{n}}$ benutzt.

Matrizenaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen ist komponentenweise definiert:

${\displaystyle A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\dotsc ,m;\ j=1,\dotsc ,n}}$

Rechenbeispiel:

${\displaystyle \left({\begin{array}{r}1&-3&2\\1&2&7\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{r}0&3&5\\2&1&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}1+0&-3+3&2+5\\1+2&2+1&7+(-1)\end{array}}\right)={\begin{pmatrix}1&0&7\\3&3&6\end{pmatrix}}}$

In der linearen Algebra sind die Matrixelemente üblicherweise Elemente eines Körpers (Körperelemente), wie der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Matrixelemente Körperelemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.

Skalarmultiplikation

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird:

${\displaystyle c\cdot A:=(c\cdot a_{ij})_{i=1,\dotsc ,m;\ j=1,\dotsc ,n}}$

Rechenbeispiel:

${\displaystyle 5\cdot \left({\begin{array}{r}1&-3&2\\1&2&7\end{array}}\right)={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{r}5&-15&10\\5&10&35\end{array}}\right)}$

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar ${\displaystyle c}$ und die Matrixelemente demselben Ring ${\displaystyle (K,+,\cdot ,0)}$ entstammen. Die Menge der ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-)Modul über ${\displaystyle K.}$

Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer ${\displaystyle l\times m}$-Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})_{i=1,\dotsc ,l,\;j=1,\dotsc ,m}}$ und einer ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle B=(b_{ij})_{i=1,\dotsc ,m,\;j=1,\dotsc ,n}}$ ist eine ${\displaystyle l\times n}$-Matrix ${\displaystyle C=(c_{ij})_{i=1,\dotsc ,l,\;j=1,\dotsc ,n},}$ deren Elemente berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}}$

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt ${\displaystyle B\cdot A\neq A\cdot B}$. Die Matrizenmultiplikation ist allerdings assoziativ, d. h., es gilt stets:

${\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}$

Eine Kette von Matrix-Multiplikationen kann daher unterschiedlich geklammert werden. Das Problem, eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:

${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$

für alle ${\displaystyle l\times m}$-Matrizen ${\displaystyle A,B}$ und ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen ${\displaystyle C}$ sowie

${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$

für alle ${\displaystyle l\times m}$-Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen ${\displaystyle B,C.}$

Quadratische Matrizen ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$ können mit sich selbst multipliziert werden, analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz ${\displaystyle A^{2}=A\cdot A}$ oder ${\displaystyle A^{3}=A\cdot A\cdot A}$ ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynome einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter Charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring ${\displaystyle R}$, also ${\displaystyle R^{n\times n}}$. Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring, der Matrizenring genannt wird.

Transponierte Matrix

Die Transponierte einer ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ ist die ${\displaystyle n\times m}$-Matrix ${\displaystyle A^{T}=\left(a_{ji}\right)}$, das heißt, zu

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

ist

${\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &&\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

die Transponierte. Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird an ihrer Hauptdiagonalen ${\displaystyle a_{11},a_{22},\dotsc }$ gespiegelt. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A+B)^{T}&=A^{T}+B^{T}\\(c\cdot A)^{T}&=c\cdot A^{T}\\\left(A^{T}\right)^{T}&=A\\(A\cdot B)^{T}&=B^{T}\cdot A^{T}\\\left(A^{-1}\right)^{T}&=\left(A^{T}\right)^{-1}\end{aligned}}}$

Bei Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.

Inverse Matrix

Falls die Determinante einer quadratischen ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ nicht gleich null ist, d. h., falls ${\displaystyle \det(A)\neq 0}$, so existiert die zur Matrix ${\displaystyle A}$ inverse Matrix ${\displaystyle A^{-1}}$. Für diese gilt

${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}$,

wobei ${\displaystyle E}$ die ${\displaystyle n\times n}$-Einheitsmatrix ist. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Diese haben vollen Rang. Umgekehrt werden nichtinvertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet. Eine Verallgemeinerung der Inversen für singuläre Matrizen sind sog. pseudoinverse Matrizen.

Vektor-Vektor-Produkte

Das Matrixprodukt ${\displaystyle v\cdot w}$ zweier ${\displaystyle n\times 1}$-Vektoren ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ ist nicht definiert, da die Anzahl ${\displaystyle 1}$ der Spalten von ${\displaystyle v}$ im Allgemeinen ungleich der Anzahl ${\displaystyle n}$ der Zeilen von ${\displaystyle w}$ ist. Die beiden Produkte ${\displaystyle v^{T}\cdot w}$ und ${\displaystyle v\cdot w^{T}}$ existieren jedoch.

Das erste Produkt ${\displaystyle v^{T}\cdot w}$ ist eine ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das Standardskalarprodukt von ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ genannt und mit ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$ oder ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$ bezeichnet. Geometrisch entspricht dieses Skalarprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem dem Produkt

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}|\cdot |{\vec {w}}|\cdot \cos \sphericalangle ({\vec {v}},{\vec {w}})}$

der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left({\begin{array}{r}-2\\-1\\1\end{array}}\right)={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{r}-2\\-1\\1\end{array}}\right)=1\cdot (-2)+2\cdot (-1)+3\cdot 1=-1}$

Das zweite Produkt ${\displaystyle v\cdot w^{T}}$ ist eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ (geschrieben ${\displaystyle v\otimes w}$). Seine Spalten sind skalare Vielfache von ${\displaystyle v}$, seine Zeilen skalare Vielfache von ${\displaystyle w^{T}}$. Beispielsweise gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{array}{r}-2\\-1\\1\end{array}}\right)^{T}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-2&-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot (-2)&1\cdot (-1)&1\cdot 1\\2\cdot (-2)&2\cdot (-1)&2\cdot 1\\3\cdot (-2)&3\cdot (-1)&3\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-1&1\\-4&-2&2\\-6&-3&3\end{pmatrix}}.}$

Zusammenhang mit linearen Abbildungen

Das Besondere an Matrizen über einem Ring ${\displaystyle K}$ ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich ${\displaystyle K^{n}}$ (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich ${\displaystyle K^{m}}$ definieren, indem man jeden Spaltenvektor ${\displaystyle u\in K^{n}}$ auf ${\displaystyle A\cdot u\in K^{m}}$ abbildet. Umgekehrt entspricht jeder linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon K^{n}\to K^{m}}$ auf diese Weise genau eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$; dabei sind die Spalten von ${\displaystyle A}$ die Bilder der Standard-Basisvektoren ${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}}$ von ${\displaystyle K^{n}}$ unter ${\displaystyle f}$. Diesen Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(K^{n},K^{m})\simeq K^{m\times n}.}$

Er stellt bei vorgegebenem ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies für die Matrixmultiplikation, diese ist also assoziativ.

Ist ${\displaystyle K}$ sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ (der Dimension ${\displaystyle n}$ bzw. ${\displaystyle m}$) betrachten. (Falls ${\displaystyle K}$ ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen ${\displaystyle v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})}$ von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle w=(w_{1},\dotsc ,w_{m})}$ von ${\displaystyle W}$ zu den Koordinatenräumen ${\displaystyle K^{n}}$ bzw. ${\displaystyle K^{m}}$ isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor ${\displaystyle u\in V}$ eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}}$

existiert und die darin vorkommenden Körperelemente ${\displaystyle \alpha _{j}}$ den Koordinatenvektor

${\displaystyle {}_{v}u={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}}$

bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis ${\displaystyle v}$ ab, die daher in der Bezeichnung ${\displaystyle {}_{v}u}$ vorkommt.

Analog verhält es sich im Vektorraum ${\displaystyle W.}$ Ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}$ gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von ${\displaystyle V}$ eindeutig in die Basisvektoren von ${\displaystyle W}$ zerlegen in der Form

${\displaystyle f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}}$

mit Koordinatenvektor

${\displaystyle {}_{w}f(v_{j})={\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}\in K^{m}.}$

Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix

${\displaystyle {}_{w}f_{v}={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}\in K^{m\times n},}$

denn für das Bild des o. g. Vektors ${\displaystyle u}$ gilt

${\displaystyle f(u)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\alpha _{j}w_{i},}$

also ${\displaystyle {}_{w}f(u)={}_{w}f_{v}\cdot {}_{v}u}$ („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix ${\displaystyle {}_{w}f_{v}}$ hängt von den verwendeten Basen ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ ab; bei der Multiplikation wird die Basis ${\displaystyle v}$, die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis ${\displaystyle w}$ bleibt übrig.)

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ${\displaystyle f\colon V\to W}$ und ${\displaystyle g\colon W\to X}$ (mit Basen ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ bzw. ${\displaystyle x}$) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also

${\displaystyle {}_{x}(g\circ f)_{v}={}_{x}g_{w}\cdot {}_{w}f_{v}}$

(auch hier wird die Basis ${\displaystyle w}$ „weggekürzt“).

Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ wieder isomorph zu ${\displaystyle K^{m\times n}.}$ Der Isomorphismus ${\displaystyle f\mapsto {}_{w}f_{v}}$ hängt aber von den gewählten Basen ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis ${\displaystyle v'}$ für ${\displaystyle V}$ bzw. ${\displaystyle w'}$ für ${\displaystyle W}$ wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren ${\displaystyle m\times m}$- bzw. ${\displaystyle n\times n}$-Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich

${\displaystyle {}_{w'}f_{v'}={}_{w'}e_{w}^{W}\cdot {}_{w}f_{v}\cdot {}_{v}e_{v'}^{V}}$

(„Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen ${\displaystyle e^{V}}$ und ${\displaystyle e^{W}}$ jeden Vektor aus ${\displaystyle V}$ bzw. ${\displaystyle W}$ auf sich selbst ab.

Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls ${\displaystyle K}$ ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall ${\displaystyle V=W}$ entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind:

${\displaystyle {}_{v'}f_{v'}=({}_{v}e_{v'}^{V})^{-1}\cdot {}_{v}f_{v}\cdot {}_{v}e_{v'}^{V}}$

In diesem Sinne ist also die Determinante basisunabhängig.

Umformen von Matrizengleichungen

Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor ${\displaystyle x}$ eines linearen Gleichungssystems

${\displaystyle A\cdot x=b}$

mit ${\displaystyle A}$ als ${\displaystyle n\times n}$-Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix ${\displaystyle A^{-1}}$ existiert, kann man mit ihr von links multiplizieren:

${\displaystyle A^{-1}\cdot A\cdot x=A^{-1}\cdot b\Leftrightarrow E\cdot x=A^{-1}\cdot b}$

und man erhält als Lösung

${\displaystyle x=A^{-1}\cdot b.}$

Eigenschaften von Endomorphismen

Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden.

Orthogonale Matrizen

Eine reelle Matrix ${\displaystyle A}$ ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standardskalarprodukt erhält, das heißt, wenn

${\displaystyle \langle Av,Aw\rangle =\langle v,w\rangle }$

gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass ${\displaystyle A}$ die Gleichung

${\displaystyle A^{-1}=A^{T}}$

bzw.

${\displaystyle A\,A^{T}=E}$

erfüllt. Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar.

Unitäre Matrizen

Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix ${\displaystyle A}$ ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt, wenn

${\displaystyle \langle Av,Aw\rangle =\langle v,w\rangle }$

gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass ${\displaystyle A}$ die Gleichung

${\displaystyle A^{-1}=A^{*}}$

erfüllt; dabei bezeichnet ${\displaystyle A^{*}}$ die konjugiert-transponierte Matrix zu ${\displaystyle A.}$ Fasst man den ${\displaystyle n}$-dimensionalen komplexen Vektorraum als ${\displaystyle 2n}$-dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ vertauschen.

Projektionsmatrizen

Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls

${\displaystyle A=A^{2}}$

gilt, sie also idempotent ist: Das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix. Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix. Steht der Nullraum senkrecht auf dem Bildraum, so erhält man eine Orthogonalprojektion.
Beispiel: Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle (m\times n)}$-Matrix und damit selbst nicht invertierbar. Falls der Rang von ${\displaystyle X}$ gleich ${\displaystyle n}$ ist, dann ist ${\displaystyle (X^{T}X)}$ invertierbar und die ${\displaystyle (m\times m)}$-Matrix

${\displaystyle A=X\,(X^{T}X)^{-1}X^{T}}$

idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet.

Nilpotente Matrizen

Eine Matrix ${\displaystyle N}$ heißt nilpotent, falls eine Potenz ${\displaystyle N^{k}}$ (und damit auch jede höhere Potenz) die Nullmatrix ergibt.

Eigenschaften von Bilinearformen

Im Folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform

${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{T}Aw}$

entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen.

Symmetrische Matrizen

Eine Matrix ${\displaystyle A}$ heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist:

${\displaystyle A^{T}=A}$

Anschaulich gesprochen sind die Elemente symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Beispiel:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}}$

Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen:

${\displaystyle v^{T}Aw=w^{T}Av,}$

andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen:

${\displaystyle \langle Av,w\rangle =\langle v,Aw\rangle }$

Hermitesche Matrizen

Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen.
Eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt:

${\displaystyle A=A^{*}}$

Schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix ${\displaystyle A}$ heißt schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn gilt:

${\displaystyle -A^{T}=A}$

Um diese Bedingung zu erfüllen, müssen alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert Null haben; die restlichen Werte werden an der Hauptdiagonale gespiegelt und mit ${\displaystyle -1}$ multipliziert.
Beispiel:

${\displaystyle \left({\begin{array}{r}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{array}}\right)}$

Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen:

${\displaystyle v^{T}\cdot A\cdot w=-w^{T}\cdot A\cdot v}$

und antiselbstadjungierten Endomorphismen:

${\displaystyle \langle Av,w\rangle =-\langle v,Aw\rangle }$

Positiv definite Matrizen

Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren ${\displaystyle v\neq 0}$ gilt:

${\displaystyle v^{T}\cdot A\cdot v>0}$

Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Hat die Bilinearform keine negativen Werte, heißt die Matrix positiv semidefinit. Analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise negativ semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform nur negative beziehungsweise keine positiven Werte hat. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit.

Weitere Konstruktionen

Konjugierte und adjungierte Matrix

Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix ${\displaystyle A}$ wird mit ${\displaystyle A^{*}}$ bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden.

Adjunkte oder komplementäre Matrix

Die komplementäre Matrix ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten ${\displaystyle \det(A_{ij})}$ werden die ${\displaystyle i}$-te Zeile und ${\displaystyle j}$-te Spalte von ${\displaystyle A}$ gestrichen. Aus der resultierenden ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Matrix wird dann die Determinante ${\displaystyle \det(A_{ij})}$ berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Elemente ${\displaystyle (-1)^{i+j}\det(A_{ji}).}$ Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet.
Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix ${\displaystyle A}$, denn nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt:

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)\cdot A=A\cdot \operatorname {adj} (A)=\det(A)\cdot E_{n}}$

Damit ist die Inverse ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot \operatorname {adj} (A),}$ wenn ${\displaystyle \det(A)\neq 0.}$

Übergangs- oder stochastische Matrizen

Eine Übergangs- oder stochastische Matrix ist eine Matrix, deren Elemente alle zwischen 0 und 1 liegen und deren Zeilen bzw. Spaltensummen 1 ergeben. Sie dienen in der Stochastik zur Charakterisierung zeitlich diskreter Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum. Ein Spezialfall hiervon sind die doppelt-stochastischen Matrizen.

Matrizen in Tabellenkalkulationsprogrammen

In Microsoft Excel und dem freien LibreOffice Calc kann jeder rechteckige Bereich, der Zahlen enthält, als Matrix interpretiert werden. Eine Matrix kann sich an beliebiger Stelle auf dem Tabellenblatt befinden. Wie in den „klassischen“ Programmiersprachen können die Matrixelemente nur Zahlen sein. Excel und Calc enthalten Funktionen speziell für Matrizen. Bei Excel (Calc) sind dies die folgenden Funktionen:

• Die Funktion MMULT gibt das Produkt zweier Matrizen zurück.
• Die Funktion MINV (MINVERSE) gibt die Inverse einer Matrizen zurück.
• Die Funktion MDET (MDETERM) liefert die Determinante einer Matrix.

Der Screenshot zeigt ein Beispiel für eine Matrix, das Produkt der Matrix mit sich selbst, ihre inverse Matrix und ihre Determinante. Mit der inversen Matrix kann auch ein lineares Gleichungssystem kompakt gelöst werden.

Die Formel muss als Matrixformel eingegeben werden, damit sie richtig funktioniert. Nach Eingabe der Formel muss bei der Version Microsoft 365 die EINGABETASTE gedrückt werden, ansonsten die Tastenkombination STRG+UMSCHALT+EINGABETASTE.

In beiden Tabellenkalkulationen gibt es Programmiersprachen, mit denen den Matrixelementen Werte zugewiesen werden können, wie in anderen „klassischen“ Programmiersprachen auch. Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit, die es dort nicht gibt. Die Werte für die Matrixelemente können auch von einem Tabellenblatt gelesen und nach der Ausführung einer Berechnung auf ein Tabellenblatt geschrieben werden. Dies kann helfen, den Berechnungsvorgang transparenter zu machen.

Matrizen in Mathematica

In Computeralgebrasysteme Mathematica entfällt die separate Deklaration des Felds, das nachfolgend ebenfalls FeldX genannt wird. Die Matrixelemente können sowohl Zahlen als auch Symbole sein. Verwenden wir im nachfolgenden Beispiel Symbole. Die Matrixelemente werden in einer speziellen Syntax Zeile für Zeile eingegeben. Mit der Funktion MatrixForm wird die Matrix in der üblichen Form angezeigt. Präfixe werden von Mathematica in kleiner Schrift und in der Farbe blau ausgeschrieben (sind also keine Links). In den Klammern (* … *) stehen erläuternde Kommentare:

In[1]:= MatrixForm [FeldX={{a, b, 0}, {c, a, b}, {0, c, a}}] (* Matrixelemente eingeben *)

Out[1]//MatrixForm=

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&0\\c&a&b\\0&c&a\\\end{pmatrix}}}$

Für die Matrizenmultiplikation wird zwischen die Feldnamen ein schlichter Punkt (.) gesetzt. Zum Beispiel für die Multiplikation des Felds FeldX mit sich selbst sieht die Syntax so aus:

In[2]:= MatrixForm [FeldX.FeldX] (* Matrix mit sich selbst multiplizieren *)

Out[2]//MatrixForm=

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{2}+bc&2ab&b^{2}\\2ac&a^{2}+2bc&2ab\\c^{2}&2ac&a^{2}+bc\\\end{pmatrix}}}$

Mathematica enthält eine Vielzahl von Funktionen, um Matrizen zu erzeugen, etwa eine Hilbert-Matrix oder eine Hankel-Matrix, und solche, um Matrizen zu manipulieren, zum Beispiel auch exotische, wie die, die einer Matrix Zeilen/Spalten oder den Teil oberhalb/unterhalb der Diagonalen entnehmen.

Matrizen in Maple

In der Computeralgebrasystem Maple wird eine Matrix als zweidimensionales Datenfeld mit Zeilen- und Spaltenindizes dargestellt, die von 1 aus indiziert werden. Matrizen können entweder direkt als zweidimensionales Datenfeld mit dem Befehl array oder mit dem Befehl matrix des Pakets für lineare Algebra linalg eingegeben werden. Das Pakets für lineare Algebra ist speziell für das Rechnen mit Vektoren und Matrizen bestimmt. Beispielsweise erstellt der Befehl array(1..m,1..n) eine leere (m x n)-Matrix und der Befehl array(1..10,1..10,identity) eine (10 x 10)-Einheitsmatrix. Spezielle Funktionen erlauben es, bestimmte Eigenschaften der Matrix abzufragen: Ist die Matrix symmetrisch, antisymmetrisch, diagonal, dünn besetzt? Das Paket für lineare Algebra enthält außerdem eine Reihe von Befehlen, um spezielle Matrizen zu erzeugen, zum Beispiel eine Bezout-, Hilbert-, Jacobi-, Sylvester-, Toeplitz- oder Vandermonde-Matrix.

Die Syntax von Maple ist benutzerfreundlich. Die Eingabe eines Befehls wird mit der Taste Enter abgeschlossen und nicht, wie im Fall von Mathematica, mit der Tastenkombination Shift+Enter. Hier drei Eingabemöglichkeiten einer Matrix in Maple:

> FeldX:=array([[a,b,0],[c,a,b],[0,c,a]]);

oder

> FeldX:=array(1..3,1..3,[[a,b,0], [c,a,b], [0,c,a]]);

oder

> FeldX:=linalg[matrix](3,3,[a,b,0, c,a,b, 0,c,a]);

Die Ausschrift nach Drücken der Taste Enter ist für alle drei Eingabevarianten gleich:

${\displaystyle FeldX:={\begin{bmatrix}a&b&0\\c&a&b\\0&c&a\\\end{bmatrix}}}$

Für die Multiplikation des Felds FeldX mit sich selbst sieht die Syntax so aus:

> evalm(FeldX &* FeldX);

Das Ergebnis ist

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a^{2}+bc&2ab&b^{2}\\2ca&2bc+a^{2}&2ab\\c^{2}&2ca&a^{2}+bc\\\end{bmatrix}}.}$

Der Befehl evalm interpretiert den Operator &* als den Matrixmultiplikationsoperator.

Matrizen in Mathcad

Mathcad ist ein kommerzielles Computeralgebrasystem, das ursprünglich von der Firma Mathsoft für rein numerische Berechnungen entwickelt wurde. Für symbolische Berechnungen wird seit der Version 3 (1991) eine Minimalvariante des Computeralgebrasystems Maple verwendet. Die Stärke von Mathcad liegt darin, dass die Eingabe von Formeln, der Arbeitsablauf und die Dokumentation dem normalen Arbeitsablauf von Technikern, Wirtschafts- und Naturwissenschaftlern angepasst wurden. So gibt es zum Beispiel für Matrizen eine eigene Symbolleiste mit einer Matrixschablone (Platzhalter), so dass keine programmspezifische Syntax für die Eingabe von Matrizen erlernt werden muss, wie dies bei den Programmen Mathematica und Maple der Fall ist. Auch das Erlernen einer Programmiersprache ist nicht erforderlich.

Die Symbolleiste Matrix von Mathcad vereinfacht außerdem

• den Zugriff auf ein bestimmtes Matrixelement oder auf eine Matrixspalte,
• die Eingabe zur Berechnung der Transponierten, der Inversen oder der Determinante der Matrix und
• die Eingabe zur Berechnung des Skalar- oder Vektorprodukts zweier Vektoren.

Eine Besonderheit aus physikalischer Sicht ist, dass Mathcad Einheitensysteme verwenden und umrechnen kann. Aufgrund des Kompromisses zwischen einfacher Bedienung und mathematischer Leistungsfähigkeit wird das Programm auch häufig in Schulen eingesetzt.

Matrizen in TeX

Die Auszeichnungssprache TeX (englisch TeX-Markup) wird in der Wikipedia für Formeln verwendet. Die folgende Tabelle zeigt eine Matrix in dieser Auszeichnungssprache, links die Eingabe, rechts das Ergebnis nach dem Rendern:

<math>
\begin{pmatrix}
   a & b & 0 \\
   c & a & b \\
   0 & c & a
\end{pmatrix}
</math>

Das Tag-Paar <math> … </math> eröffnet den Math-Modus für Formeln und schließt ihn ab. \begin{pmatrix} … \end{pmatrix} kennzeichnet, dass eine Matrix dargestellt werden soll, die von runden Klammern (englisch parentheses) umschlossen ist. Der Übergang zum nächsten Matrixelemente der Zeile wird durch das Et-Zeichen & und der Zeilenwechsel durch das Zeichenpaar \\ bewirkt.

Die in der Wikipedia verwendete Syntax unterscheidet sich geringfügig von der originalen Auszeichnungssprache TeX, die für den Buchdruck gedacht ist. In Letzterer sähe das Beispiel so aus:

$$
\begin{pmatrix}
   a & b & 0 \cr
   c & a & b \cr
   0 & c & a
\end{pmatrix}
$$

Das Tag \cr steht für den Zeilenwechsel (englisch carriage return).

Matrizen in Wikitext

Aber auch ohne den Math-Modus lassen sich in der Auszeichnungssprache Wikitext (englisch wiki markup) mittels Tabellen matrixähnliche Strukturen erzeugen, wie sie zum Beispiel im Artikel Falksches Schema für die Matrizenmultiplikation verwendet werden. Die folgende Tabelle zeigt eine einfache Tabelle in der Auszeichnungssprache Wikitext:

{| class="wikitable"
| a || b || 0
|-
| c || a || b
|-
| 0 || c || a
|}

In dieser Auszeichnungssprache werden andere Zeichen für das Springen von Zelle zu Zelle (Element zu Element) und für den Zeilenumbruch verwendet als im Math-Modus. Dies zeigt, dass die verwendeten Zeichen keiner tieferen Logik folgen, sondern auf die Intensionen der ursprünglichen Entwickler zurückgehen.

Matrizen in MathML

Die Mathematical Markup Language (MathML) ist eine weitere Auszeichnungssprache zur Darstellung mathematischer Formeln. Sie gehört zur Familie der XML-Sprachen. MathML wurde ursprünglich als universelle Spezifikation für Browser, Office-Suiten, Computeralgebrasysteme, EPUB-Reader und LaTeX-basierte Generatoren entwickelt. Die Matrix des Beispiels wird in MathML in folgender Syntax formuliert:

<mrow>
  <mo> ( </mo>
  <mtable>
    <mtr>
      <mtd> <mn>a</mn> </mtd> <mtd> <mn>b</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd>
    </mtr>
    <mtr>
      <mtd> <mn>c</mn> </mtd> <mtd> <mn>a</mn> </mtd> <mtd> <mn>b</mn> </mtd>
    </mtr>
    <mtr>
      <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>c</mn> </mtd> <mtd> <mn>a</mn> </mtd>
    </mtr>
  </mtable>
  <mo> ) </mo>
</mrow>

Die Bedeutung der Tags dürfte selbsterklärend sein. Browser wie Firefox und Safari unterstützten eine Teilmenge von MathML, das sogenannte MathML Core.