Gleichungsdarstellung

Ausgeschrieben lautet die Matrixgleichung ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=I}$ mit ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ und ${\displaystyle A^{-1}=({\hat {a}}_{ij})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{11}&\ldots &{\hat {a}}_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\{\hat {a}}_{n1}&\ldots &{\hat {a}}_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&~&0\\~&\ddots &~\\0&~&1\end{pmatrix}}}$.

Die ${\displaystyle j}$-te Spalte der Inversen ${\displaystyle {\hat {a}}_{j}=\left({\hat {a}}_{1j},{\hat {a}}_{2j},\ldots ,{\hat {a}}_{nj}\right)^{T}}$ ergibt sich damit als Lösung des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}}$,

wobei ${\displaystyle e_{j}}$ der ${\displaystyle j}$-te Einheitsvektor ist. Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle A}$ ist demnach spaltenweise in der Form

${\displaystyle A^{-1}=\left({\hat {a}}_{1}~|~{\hat {a}}_{2}~|~\ldots ~|~{\hat {a}}_{n}\right)}$

aus den Lösungen ${\displaystyle n}$ linearer Gleichungssysteme mit jeweils ${\displaystyle A}$ als Koeffizientenmatrix und einem Einheitsvektor als rechter Seite zusammengesetzt.

Verfahren

Die Inverse einer Matrix kann nun effizient mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Die Idee bei diesem Verfahren ist es, die ${\displaystyle n}$ linearen Gleichungssysteme ${\displaystyle A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}}$ simultan zu lösen. Hierzu wird zunächst die Koeffizientenmatrix ${\displaystyle A}$ um die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ erweitert und man schreibt dann

${\displaystyle (\,A\,|\,I\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\,&\,1&~&0\\\vdots &~&\vdots \,&\,~&\ddots &~\\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\,&\,0&~&1\end{array}}\right)}$.

Nun wird die Matrix ${\displaystyle A}$ mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt gebracht, wobei die Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ mit umgeformt wird:

${\displaystyle (\,D\,|\,B\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}\,*\,&\ldots &\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\\~&\ddots &\vdots \,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\end{array}}\right)}$.

An dieser Stelle kann entschieden werden, ob die Matrix ${\displaystyle A}$ überhaupt eine Inverse besitzt. Die Matrix ${\displaystyle A}$ ist nämlich genau dann invertierbar, wenn die Matrix ${\displaystyle D}$ keine Null auf der Hauptdiagonalen enthält. Ist dies der Fall, so kann die Matrix ${\displaystyle D}$ mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zunächst auf Diagonalgestalt gebracht werden und dann durch entsprechende Skalierungen in die Einheitsmatrix überführt werden. Schließlich erhält man die Form

${\displaystyle (\,I\,|\,A^{-1}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&~&0\,&\,{\hat {a}}_{11}&\ldots &{\hat {a}}_{1n}\\~&\ddots &~\,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&1\,&\,{\hat {a}}_{n1}&\ldots &{\hat {a}}_{nn}\end{array}}\right)}$,

wobei auf der rechten Seite dann die gesuchte Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ steht.

Beispiele

Als Beispiel werde die Inverse der reellen ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$

gesucht. Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ergeben sich die Rechenschritte

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}1&2\,&\,1&0\\{\color {BrickRed}2}&3\,&\,0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&{\color {OliveGreen}2}\,&\,1&0\\0&-1\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&{\color {Blue}-1}\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&1\,&\,2&-1\end{array}}\right)}$.

Hierbei wird zunächst die ${\displaystyle \color {BrickRed}2}$ unterhalb der Diagonale eliminiert, was durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten Zeile erfolgt. Anschließend wird die ${\displaystyle \color {OliveGreen}2}$ oberhalb der Diagonale zu null gesetzt, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Im letzten Schritt wird dann das zweite Diagonalelement auf eins normiert, was eine Multiplikation der zweiten Zeile mit ${\displaystyle \color {Blue}-1}$ erfordert. Die Inverse von ${\displaystyle A}$ ist demnach

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$.

Als weiteres Beispiel werde die Inverse der reellen ${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\2&1&0\end{pmatrix}}}$

gesucht. Zunächst werden hier die beiden ${\displaystyle \color {BrickRed}2}$-en in der ersten Spalte eliminiert, was jeweils durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile erfolgt. Nachdem in der zweiten Spalte nun das Pivotelement gleich ${\displaystyle 0}$ ist, wird zur Elimination der ${\displaystyle \color {BrickRed}-3}$ die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erhält die obere Dreiecksform:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\{\color {BrickRed}2}&4&1\,&\,0&1&0\\{\color {BrickRed}2}&1&0\,&\,0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&0&1\,&\,-2&1&0\\0&{\color {BrickRed}-3}&0\,&\,-2&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)}$.

Auch diese Matrix ist also invertierbar. Nun muss lediglich die verbleibende ${\displaystyle \color {OliveGreen}2}$ oberhalb der Diagonalen zu null gesetzt werden, was durch Addition des Zweidrittelfachen der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Schließlich muss noch die zweite Zeile durch ${\displaystyle \color {Blue}-3}$ dividiert werden und man erhält als Ergebnis:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&{\color {OliveGreen}2}&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}{\color {Blue}1}&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&{\color {Blue}-3}&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&1&0\,&\,{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)}$.

Die Inverse von ${\displaystyle A}$ ist demnach

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\-2&1&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&-1\\-6&3&0\end{pmatrix}}}$.

Korrektheit

Dass durch den Gauß-Jordan-Algorithmus tatsächlich die inverse Matrix berechnet wird, kann wie folgt nachgewiesen werden. Sind ${\displaystyle N_{1},\ldots ,N_{m}}$ Elementarmatrizen, mit denen die Matrix ${\displaystyle A}$ in die Einheitsmatrix umgeformt wird, dann gilt

${\displaystyle I=N_{m}\dotsm N_{2}\cdot N_{1}\cdot A}$.

Werden nun beide Seiten dieser Gleichung von rechts mit der Matrix ${\displaystyle A^{-1}}$ multipliziert, folgt daraus

${\displaystyle A^{-1}=N_{m}\dotsm N_{2}\cdot N_{1}\cdot I}$.

Wird demnach eine Matrix ${\displaystyle A}$ durch Multiplikation von links mit einer Reihe von Elementarmatrizen in die Einheitsmatrix umgewandelt, so ergibt die Multiplikation der Einheitsmatrix mit diesen Elementarmatrizen in der gleichen Reihenfolge gerade die Inverse ${\displaystyle A^{-1}}$.

Laufzeit

Die Laufzeit des Gauß-Jordan-Algorithmus für die Inversion einer ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix beträgt ${\displaystyle O(n^{3})}$.

Herleitung

Mit Hilfe der Cramerschen Regel lässt sich die Lösung des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}}$ auch explizit durch

${\displaystyle {\hat {a}}_{ij}={\frac {\det A_{i}}{\det A}}}$

angeben, wobei die Matrix ${\displaystyle A_{i}}$ durch Ersetzen der ${\displaystyle i}$-ten Spalte mit dem Einheitsvektor ${\displaystyle e_{j}}$ entsteht. Wird nun die Determinante im Zähler mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach der ${\displaystyle i}$-ten Spalte entwickelt, ergibt sich

${\displaystyle {\hat {a}}_{ij}={\frac {(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ji}}{\det A}}}$,

wobei ${\displaystyle A_{ij}}$ die Untermatrix von ${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichung der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und ${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht (man beachte in obiger Formel die Vertauschung der Reihenfolge von ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$). Die Unterdeterminanten ${\displaystyle \det A_{ij}}$ werden auch als Minoren von ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Die Zahlen

${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}}$

heißen auch Kofaktoren von ${\displaystyle A}$ und bilden als Matrix zusammengefasst die Kofaktormatrix ${\displaystyle \operatorname {cof} A=({\tilde {a}}_{ij})}$. Die Transponierte der Kofaktormatrix wird auch Adjunkte ${\displaystyle \operatorname {adj} A}$ von ${\displaystyle A}$ genannt. Mit der Adjunkten hat die Inverse einer Matrix dann die explizite Darstellung

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot \operatorname {adj} A}$.

Diese Darstellung gilt auch für Matrizen mit Einträgen aus einem kommutativen Ring mit Eins, sofern ${\displaystyle \det A}$ eine Einheit in dem Ring darstellt.

Explizite Formeln

Für ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$.

Für ${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot {\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle \det A}$ mit der Regel von Sarrus angegeben werden kann. Auch für größere Matrizen können auf diese Weise explizite Formeln für die Inverse hergeleitet werden; ihre Darstellung und Berechnung erweist sich jedoch schnell als sehr aufwändig.

Beispiele

Die Inverse der folgenden reellen ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix ergibt sich zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{4-6}}\,{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}}}$

und die Inverse der folgenden reellen ${\displaystyle (3\times 3)}$-Matrix zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{8-2-2}}\,{\begin{pmatrix}4-1&2-0&1-0\\2-0&4-0&2-0\\1-0&2-0&4-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\2&4&2\\1&2&3\end{pmatrix}}}$.

Herleitung

Ausgenutzt wurde hierbei der Satz von Cayley-Hamilton, welcher besagt, dass sich immer ${\displaystyle 0}$ ergibt, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. Für ${\displaystyle A\in K^{n,n}}$ mit ihrem charakteristischen Polynom ${\displaystyle \chi _{A}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot t^{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot t^{n}}$ gilt also immer:

${\displaystyle \chi _{A}(A)=0\,\,\Longleftrightarrow \,\,\alpha _{0}\cdot I_{n}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i}=0\,\,\Longleftrightarrow \,\,-\alpha _{0}\cdot I_{n}=A\cdot \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i-1}\,\,\Longleftrightarrow \,\,A^{-1}=\displaystyle -{\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i-1}}{\alpha _{0}}}}$

Beispiel

Sei ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}}$. Dann ist ihr charakteristisches Polynom ${\displaystyle \chi _{A}(t)=t^{3}-10\cdot t^{2}+3\cdot t+8}$.

Einsetzen in die Formel ergibt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {-1}{\alpha _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i-1}\\\\&={\frac {-1}{\alpha _{0}}}\left(\alpha _{1}\cdot I_{3}+\alpha _{2}\cdot A+\alpha _{3}\cdot A^{2}\right)\\\\&={\frac {-1}{8}}\left(3\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}21&28&51\\10&15&26\\22&32&58\end{pmatrix}}\right)\\\\&=-{\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}-6&8&1\\0&8&-4\\2&-8&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Wobei hier die Zusammenhänge ${\displaystyle \alpha _{0}=\det(A)}$ (siehe charakteristisches Polynom) sowie ${\displaystyle A^{0}=I_{n}}$(siehe Einheitsmatrix) ausgenutzt wurden.